【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 項(xiàng)公式再由數(shù)列 的通項(xiàng)公式分析可知數(shù)列 是一n ??nb個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列” ，可用錯(cuò)項(xiàng)相減的方法求和。解析：（1）易求得 2na?（2）由（1）得 令 （Ⅰ）則bxns23462nxx???（Ⅱ）用（Ⅰ）減去（Ⅱ） （注意錯(cuò)過(guò)一位再相減）得??23 14nnxs????當(dāng) 當(dāng)??23112nnxx??? x???11nnxsx?????????14時(shí)1x???24621nsn????綜上可得：當(dāng) 當(dāng) 時(shí)?11nnxsx???????? ??24621nsn?????【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】一般情況下對(duì)于數(shù)列 有 其中數(shù)列 和 分別為等差數(shù)列和??nab??nb等比數(shù)列，則其前 n 項(xiàng)和可通過(guò)在原數(shù)列的每一項(xiàng)的基礎(chǔ)上都乘上等比數(shù)列的公比再錯(cuò)過(guò)一項(xiàng)相減的方法來(lái)求解，實(shí)際上課本上等比數(shù)列的求和公式就是這種情況的特例。【練 16】 （2022 全國(guó)卷一理）已知 121nnnuabab??????當(dāng) 時(shí)，求數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和??,0nNab?????s答案： 時(shí) 當(dāng) 時(shí) .1????2122nnnsa????1a???32n?【易錯(cuò)點(diǎn) 17】不能根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項(xiàng)求和方法時(shí)對(duì)裂項(xiàng)后抵消項(xiàng)的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)。例 1求 … ．?nS??321n??321【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題解答時(shí)一方面若不從通項(xiàng)入手分析各項(xiàng)的特點(diǎn)就很難找到解題突破口，其次在裂項(xiàng)抵消中間項(xiàng)的過(guò)程中，對(duì)消去哪些項(xiàng)剩余哪些項(xiàng)規(guī)律不清而導(dǎo)致解題失誤。解：由等差數(shù)列的前 項(xiàng)和公式得 ，∴)1(??， 取 ， ， ，…，就分別得到 ，)1(2)1(321????nn? 23321,?…，∴ ?nS )1(43???n?．1)(?【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】 “裂項(xiàng)法”有兩個(gè)特點(diǎn)，一是每個(gè)分式的分子相同；二是每項(xiàng)的分母都是兩個(gè)數(shù)（也可三個(gè)或更多）相乘，且這兩個(gè)數(shù)的第一個(gè)數(shù)是前一項(xiàng)的第二個(gè)數(shù)，如果不具備這些特點(diǎn)，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。同是要明確消項(xiàng)的規(guī)律一般情況下剩余項(xiàng)是前后對(duì)稱的。常見(jiàn)的變形題除本題外，還有其它形式，例如：求 ，方法還是抓通項(xiàng)，即n21634212???，問(wèn)題會(huì)很容易解決。另外還有一些類似“裂項(xiàng)法”的題目，)(1)(2 ??nn如： ，求其前 項(xiàng)和，可通過(guò)分母有理化的方法解決。數(shù)列求和的常用方法：公式1?an法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。15【練 17】 （2022 濟(jì)南統(tǒng)考）求和 ＋ ＋ ＋…＋ ．12???nS42162??1)(2??n答案： … ＝ ．???7531nS【易錯(cuò)點(diǎn) 18】易由特殊性代替一般性誤將必要條件當(dāng)做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。例 1 （2022 年高考數(shù)學(xué)江蘇卷，20）設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列{a n}的前 n 項(xiàng)和為 Sn.(Ⅰ) 若首項(xiàng) ，公差 ，求滿足 的正整數(shù) k；?1a32 1d2)(2kS?(Ⅱ) 求所有的無(wú)窮等差數(shù)列{a n}，使得對(duì)于一切正整數(shù) k 都有 )(2?【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本小題主要考查數(shù)列的基本知識(shí)，(Ⅱ)時(shí)極易根據(jù)條件“對(duì)于一切正整數(shù) k 都有 成立”這句話將 k 取兩個(gè)特殊值確定出等)(2k差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，但沒(méi)有認(rèn)識(shí)到求解出的等差數(shù)列僅是對(duì)已知條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件。還應(yīng)進(jìn)一步的由特殊到一般。解：（I）當(dāng) 時(shí)1,231?da nndnaSn ???????21 1)(3)(由 ，即 又 .224)(2 kkSk得 04k4,??k所 以（II）設(shè)數(shù)列{a n}的公差為 d，則在 中分別取 k=1,2,得)(2n?????????????? 211241 )(34,)( daaS即由（1）得 ,60,0?或得代 入時(shí)若 成立 ,2, knSSda從 而則若 故所得知由則 134)(,8)(63?n,)(239Ss? ,642,1 ??? dda 或解 得得代 入時(shí)若 。,021 2成 立從 而則 kn若 .成 立從 而則 22)(,)(1,2 nSda ????綜上，共有 3 個(gè)滿足條件的無(wú)窮等差數(shù)列：①{a n} : an=0，即 0，0，0，…；②{ an} : an=1，即 1，1，1，…； ③{a n} : an=2n－1，即1，3，5，…，【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實(shí)上， “條件中使得對(duì)于一切正整數(shù) k 都有 成立.”就等價(jià)于關(guān)于 k 的2)(2kS方程的解是一切正整數(shù)又轉(zhuǎn)化為關(guān)于 k 的方程的各項(xiàng)系數(shù)同時(shí)為零，于是本題也可采用這程等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想解答，這樣做就能避免因忽視充分性的檢驗(yàn)而犯下的邏輯錯(cuò)誤。在上述解法中一定要注意這種特殊與一般的關(guān)系。【練 18】 （1） （2022 全國(guó)）已知數(shù)列 ,其中 ,且數(shù)列 ??nc3n????1ncp??p答案：p=2 或 p=3（提示可令 n=1,2,3 根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立關(guān)于 p 的方程，再說(shuō)明 p 值對(duì)任意自然數(shù)n 都成立）【易錯(cuò)點(diǎn) 19】用判別式判定方程解的個(gè)數(shù)（或交點(diǎn)的個(gè)數(shù)）時(shí)，易忽略討論二次項(xiàng)的系數(shù)是否為０．尤其是直線與圓錐曲線相交時(shí)更易忽略.例 1已知雙曲線 ，直線 ，討論直線與雙曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)24xy????1ykx?（1）（2）16【易錯(cuò)點(diǎn)分析】討論直線與曲線的位置關(guān)系，一般將直線與曲線的方程聯(lián)立，組成方程組，方程組有幾解，則直線與曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)，但在消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 或 y 的方程后，易忽視對(duì)方程的種類進(jìn)行討論而主觀的誤認(rèn)為方程就是二次方程只利用判別式解答。解析：聯(lián)立方程組 消去 y 得到 （1）當(dāng)??214ykx????????2240kk????時(shí)，即 ，方程為關(guān)于 x 的一次方程，此時(shí)方程組只有解，即直線與雙曲線只有一210k??個(gè)交點(diǎn)。 （2）當(dāng) 時(shí)即 ，方程組只有一解，故直線與雙曲線有一個(gè)交??21043k????????23k??點(diǎn)（3）當(dāng) 時(shí)，方程組有兩個(gè)交點(diǎn)此時(shí) 且 。 （4）20k?? 23k??1??當(dāng) 時(shí)即 或 時(shí)方程組無(wú)解此時(shí)直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)。??2104k????????32k?綜上知當(dāng) 或 時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng) 且 。時(shí)k?2323k??1??直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng) 或 時(shí)方程組無(wú)解此時(shí)直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)。k?23?【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系有兩種方法：一種代數(shù)方法即判斷方程組解的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)另一種方法借助于漸進(jìn)線的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合的方法解答，并且這兩種方法的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下上題中的第一種情況對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行，此時(shí)叫做直線與雙曲線相交但只有一個(gè)公共點(diǎn)，通過(guò)這一點(diǎn)也說(shuō)明直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與雙曲線相切的必要但不充分條件。第二種情況對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線相切。通過(guò)本題可以加深體會(huì)這種數(shù)與形的統(tǒng)一?！揪?19】 （1） （2022 重慶卷）已知橢圓 的方程為 ，雙曲線 的左右焦點(diǎn)分別為 的左1c214xy??2c1c右頂點(diǎn)，而 的左右頂點(diǎn)分別是 的左右焦點(diǎn)。 （1）求雙曲線的方程（2）若直線 與2c1 :2lykx??橢圓 及雙曲線 恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且與 的兩個(gè)交點(diǎn) A 和 B 滿足 ，其中 O 為1 c6????原點(diǎn)，求 k 的取值范圍。答案：（1） （2）213xy??31,525?????????????????????（2）已知雙曲線C： ，過(guò)點(diǎn)P （1，1）作直線l, 使l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足上述條件的直線l共有____條。答案：4條（可知k l存在時(shí)，令l: y1=k(x1)代入 中整理有(4k 2)x2+2k(k1)x142??yx17(1k2)4=0,∴ 當(dāng)4k 2=0即k=177。2時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k≠177。2時(shí)，由Δ=0有 ，有一個(gè)切點(diǎn)另：當(dāng)25?kkl不存在時(shí)，x=1也和曲線C有一個(gè)切點(diǎn)∴綜上，共有4條滿足條件的直線）【易錯(cuò)點(diǎn) 20】易遺忘關(guān)于 和 齊次式的處理方法。sin?co例 已知 ，求（1） ；（2） ??sin??????【思維分析】將式子轉(zhuǎn)化為正切如利用 可將（2）式分子分母除去 即可。co??in解：（1） ；231tacosi1sinco ???? (2) ?????2222 cosinii .3411cosin2???【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（如果不具備，通過(guò)構(gòu)造的辦法得到） ，進(jìn)行弦、切互化，就會(huì)使解題過(guò)程簡(jiǎn)化。 2222(icosetan????tcot??這些統(tǒng)稱為 1 的代換) 常數(shù) “1”的種種代換有著廣泛的應(yīng)用．【練 20】 ． （2022 年湖北卷理科）已知 的值.)32sin(],[,0cos2sini62 ????????求答案： （原式可化為 ， ）531?tant6?????2ta1tni?????????【易錯(cuò)點(diǎn) 21】解答數(shù)列應(yīng)用題，審題不嚴(yán)易將有關(guān)數(shù)列的第 n 項(xiàng)與數(shù)列的前 n 項(xiàng)和混淆導(dǎo)致錯(cuò)誤解答。例 2如果能將一張厚度為 的報(bào)紙對(duì)拆,再對(duì)拆....對(duì)拆 50 次后,報(bào)紙的厚度是多少?你相信這時(shí)報(bào)紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋嗎?(已知地球與月球的距離約為 米)8410?【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)拆 50 次后,報(bào)紙的厚度應(yīng)理解一等比數(shù)列的第 n 項(xiàng),易誤理解為是比等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和。解析：對(duì)拆一次厚度增加為原來(lái)的一倍，設(shè)每次對(duì)拆厚度構(gòu)成數(shù)列 ，則數(shù)列 是以nan米為首項(xiàng)，公比為 2 的等比數(shù)列。從而對(duì)拆 50 次后紙的厚度是此等比數(shù)列的第 51 項(xiàng)，31a=?利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式易得 a51=103250=1010,而地球和月球間的距離為41081010 故可建一座橋。18【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】 以數(shù)列為數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用題曾是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，其中有很多問(wèn)題都是涉及到等差或者等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和或第 n 項(xiàng)的問(wèn)題，在審題過(guò)程中一定要將兩者區(qū)分開(kāi)來(lái)?！揪?21】 （2022 全國(guó)高考）從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入 800 萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少 ，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)51為 400 萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加 .41(1)設(shè) n 年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為 an 萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為 bn 萬(wàn)元，寫(xiě)出 an,bn 的表達(dá)式；(2)至少經(jīng)過(guò)幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入（1）a n=800+800(1－ )+…+800(1－ )n－1 = 800(1－ )k－1 =4000［1－( )n］515??k554bn=400+400(1+ )+…+400(1+ )k－1 = 400( )k－1 =1600［( )n－1］44?n44（2）至少經(jīng)過(guò) 5 年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入【易錯(cuò)點(diǎn) 22】單位圓中的三角函數(shù)線在解題中一方面學(xué)生易對(duì)此知識(shí)遺忘，應(yīng)用意識(shí)不強(qiáng)，另一方面易將角的三角函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)線與線段的長(zhǎng)度二者等同起來(lái)，產(chǎn)生概念性的錯(cuò)誤。例 2下列命題正確的是（）A、 、 都是第二象限角，若 ，則 B、 、 都是第三象限角，若??sini???tant???，則 C、 、 都是第四象限角，若 ，則cos? sini??D、 、 都是第一象限角，若 ，則 。tant cos【易錯(cuò)點(diǎn)分析】學(xué)生在解答此題時(shí)易出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：（1）將象限角簡(jiǎn)單理解為銳角或鈍角或 270 到 360度之間的角。（2）思維轉(zhuǎn)向利用三角函數(shù)的單調(diào)性，沒(méi)有應(yīng)用三角函數(shù)線比較兩角三角函數(shù)值大小的意識(shí)而使思維受阻。解析：A、由三角函數(shù)易知此時(shí)角 的正切線的數(shù)量比角 的正切線的數(shù)量要小即 B、??tant???同理可知 C、知滿足條件的角 的正切線的數(shù)量比角 的正切線的數(shù)量要大即sini??。正確。D、同理可知應(yīng)為 。tat??sini?【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】單位圓的三角函數(shù)線將抽象的角的三角函數(shù)值同直觀的有向線段的數(shù)量對(duì)應(yīng)起來(lái)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，要注意一點(diǎn)的就是角的三角函數(shù)值是有向線段的數(shù)量而不是長(zhǎng)度。三角函數(shù)線在解三角不等式、比較角的同名函數(shù)值的大小、三角關(guān)系式的證明都有著廣泛的應(yīng)用并且在這些方面19有著一定的優(yōu)越性。例如利用三角函數(shù)線易知 ，0,sinta2???????????等。sinco1???【練 22】（2022 全國(guó)高考）已知 ，那么下列命題正確的是（）sini??A、 若 、都是第一象限角，則 B、若 、都是第二象限角，則?cos?tant???B、 若 、都是第三象限角，則 D、若 、都是第四象限角，則?答案：D【易錯(cuò)點(diǎn) 23】在利用三角函數(shù)的圖象變換中的周期變換和相位變換解題時(shí)。易將 和 求錯(cuò)。??例 23．要得到函數(shù) 的圖象，只需將函數(shù) 的圖象（）sin23yx?????????1sin2yx?A、 先將每個(gè) x 值擴(kuò)大到原來(lái)的 4 倍，y 值不變，再向右平移 個(gè)單位。3?B、 先將每個(gè) x 值縮小到原來(lái)的 倍，y 值不變，再向左平移 個(gè)單位。1C、 先把每個(gè) x 值擴(kuò)大到原來(lái)的 4 倍，y 值不變，再向左平移個(gè) 單位。6D、 先把每個(gè) x 值縮小到原來(lái)的 倍，y 值不變，再向右平移 個(gè)單位。?【易錯(cuò)點(diǎn)分析】 變換成 是把每個(gè) x 值縮小到原來(lái)的 倍，有的同學(xué)誤認(rèn)為是1sin2y?sin2?14擴(kuò)大到原來(lái)的倍，這樣就誤選 A 或 C，再把 平移到 有的同學(xué)平移方向錯(cuò)iysin23yx????????了，有的同學(xué)平移的單位誤認(rèn)為是 。3?解析：由 變形為 常見(jiàn)有兩種變換方式，一種先進(jìn)行周期變換，即將1sin2yx?sin23yx????????的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 倍得到函數(shù) 的圖象，i 142sinyx?再將函數(shù) 的圖象縱