【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 曲率較大 ,有 : ?bddydx??||0|| 此時(shí) |dy|近似 ?角接近 ?/2或 3?/2時(shí) ,兩端的曲率較大 ,有 : 0||||??dyaddx ? 此時(shí) |dx|近似 由于 ab， 所以兩端點(diǎn)多，而兩側(cè)點(diǎn)少。且周長(zhǎng)增量大小之比 ? a/b 我們希望的周長(zhǎng)增量可以自動(dòng)獲得 等于弧長(zhǎng) 等于弧長(zhǎng) 39 ????????????????????ibiayyibiaxxdnnnnnnc o ss i ns i nc o ss i ns i nc o sc o s1111111????????????????ibiayyibiaxxccc oss i ns i nc oss i ns i nc osc os????Nd?? 2? N——橢圓上顯示點(diǎn)的個(gè)數(shù) i (xc,yc) 40 中點(diǎn)法 給定橢圓參數(shù)中心 (0， 0)、長(zhǎng)半軸 a和短半軸 b，該橢圓的一般方程為： X2/a2+Y2/b2=1 F(x,y)=b2x2+a2y2a2b2=0 中點(diǎn)畫圓法可以推廣到一般二次曲線的生成 現(xiàn)討論第一象限橢圓弧的生成。在處理這段橢圓弧時(shí)，我們進(jìn)一步把它分為兩部分：上部分和下部分，以弧上斜率為 1的點(diǎn)作為分界。 上半部分，斜率的絕對(duì)值 1,單位步長(zhǎng)應(yīng)為 X方向，來(lái)確定下一個(gè)象素的位置 下半部分，斜率的絕對(duì)值 1,單位步長(zhǎng)應(yīng)為 Y方向，從而確定下一個(gè)象素的位置 則該公式可作為中點(diǎn)算法的判別式： F(x,y) 0 =0 0 說(shuō)明 (x， y)在橢圓邊界內(nèi) 說(shuō)明 (x， y)在橢圓邊界上 說(shuō)明 (x， y)在橢圓邊界外 41 橢圓的斜率： dy/dx=2b2x/(2a2y) 中點(diǎn)畫橢圓，當(dāng)我們確定一個(gè)象素之后，接著在兩個(gè)候選點(diǎn)的中點(diǎn)計(jì)算一個(gè)判別式的值。并根據(jù)判別式符號(hào)確定哪個(gè)象素離橢圓更近。 有一個(gè)象素點(diǎn)（ xp,yp),那么下一對(duì)候選象素的中點(diǎn)是（ xp+1,)。 xp,yp xp+1, 當(dāng)斜率為 1時(shí)則： 2b2x=2a2y 上半部分的條件是： 2b2x=2a2y 下半部分的條件是： 2b2x=2a2y 假如上半部分橢圓 判別式為： dp=F(xp+1,)=b2(xp+1)2+a2()2a2b2 如果 dp ＝ 0, 中點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則取正右方的那個(gè)象素 且判別式應(yīng)更新為 : dp+1=F(xp+2,)=dp+b2(2xp+3) 如果 dp 0,中點(diǎn)在橢圓外，則取右下方的那個(gè)象素 且判別式應(yīng)更新為： dp+1=F(xp+2,)=dp+b2(2xp+3)+2a2(yp+1) 42 弧的起點(diǎn)為（ b, 0) 第一個(gè)中點(diǎn)是 (1, ) 判別式的初值 dp0=b2+a2(b+). 步進(jìn)方向由 x改為方向 y dp=b2(xp+)2+a2(yp1)2a2b2 下半部分的終止條件為 y=0 假如為橢圓弧的下半部分 如果上半部分的最后一個(gè)象素為（ xp,yp)，則 且應(yīng)改為從正下方和右下方兩個(gè) 象 素中選擇一個(gè)象素 中點(diǎn)是（ xp+,yp1) 如果 dp ＝ 0, 中點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則取右下方的那個(gè)象素 Pr(xp+1,yp1) 且判別式應(yīng)更新為 : dp+1=F(xp+,yp2)=dp+b2(2xp+2)+a2(2yp+3) 如果 dp 0,中點(diǎn)在橢圓外，則取正下方的那個(gè)象素 Pl（ xp,yp1） 且判別式應(yīng)更新為： dp+1=F(xp+,yp2)=dp+a2(2yp+3) 在編寫程序時(shí)應(yīng)先更新決策變量 d，再更新（ x， y） 上半部分的終止條件為： b2 (x+1) a2（ ) 下半部分的 d的初值為上半部分計(jì)算的最后點(diǎn) 下半部判別式的初值 dp0=b2(x+)2+a2(y1)2a2b2 43 ???????ayax22????????????????????????d22)d(d2d12211aayaaaxnnnnnnn?????????????????????d2)d(dd1211ayyayxxnnnnnnn或 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為 : y178。=4ax (a為拋物線焦距 ) x y ayax2m a xm a xm a xm a x ?? ?? 或 Nd max?? ? N——顯示點(diǎn)的個(gè)數(shù) ay 2/??令參數(shù)方程 拋物線的顯示算法 44 ?????????????c oss i ns i nc osRRyRRx基圓圓心在原點(diǎn)的漸開線參數(shù)方程為 令起始角 ?s=0, 終止角 ?e= ? ????????????????????111111111c o ss ins inc o sdnnnnnnnnnnRRyRRx?????????Nd?? ? N——顯示點(diǎn)的個(gè)數(shù) 漸開線的顯示算法 45 基本概念 1. 插值 構(gòu)造一函數(shù)，使曲線或曲面嚴(yán)格通過(guò)所有的已知點(diǎn)。 通常用已知函數(shù)代替被插的函數(shù)。 2. 逼近 構(gòu)造一函數(shù)，但曲線或曲面不嚴(yán)格通過(guò)各型值點(diǎn)，只要求最靠近。 Bezier、 BSpline 型值點(diǎn) 3. 擬合 插值 逼近 在曲線曲面的描述中，所構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型要： 保證： 1. 空間的唯一性 2. 物體的有界性、連續(xù)性 3. 坐標(biāo)變換后形狀不變性（坐標(biāo)獨(dú)立性） Q1 Q3 Q0 Q2 P1（ x1,y1) P2（ x2,y2) P3（ x3,y3) 自由曲線的生成算法 46 對(duì)數(shù)學(xué)式的一些要求是： 1. 有足夠強(qiáng)的描述能力（局部、整體光滑） 2. 易控制（形）、易預(yù)測(cè)（閉凸包性、變差減小性 不穩(wěn)、擺動(dòng)） 平面曲線 空間曲線 直角坐標(biāo)方程 y=f(x)或 f(x,y)=0 z=f(x,y)或 f(x,y,z)=0 參數(shù)坐標(biāo)方程 代數(shù)形式 x =x(t) y= y(t) x =x(t) y=y(t) z =z(t) 幾何形式 P(t)=[x(t) y(t)] P(t)=[x(t) y(t) z(t)] 曲線的表示方法 47 1） 易于處理多值問(wèn)題； 2）在多值的情況下，可以方便地指定曲線的延伸范圍； 3）具有幾何不變性，其形狀與坐標(biāo)的選擇無(wú)關(guān)，可以不依靠坐標(biāo) 系來(lái)研究圖形的幾何性質(zhì)； 4）易于進(jìn)行幾何變換，如仿射變換、射影變換等； 5）易于計(jì)算曲線上的點(diǎn)（計(jì)算方便）； 6）易定義空間曲線（規(guī)定曲線的范圍和邊界等）； 7）便于曲線的分段描述。 參數(shù)曲線描述的優(yōu)點(diǎn)： 48 2. 控制點(diǎn) 指用來(lái)控制或調(diào)整曲線形狀的特殊點(diǎn)。如 BEZIER曲線段中的 Q1與 Q2點(diǎn)。 Q1 Q3 Q0 Q2 表示曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)的矢量 P(t)=[x(t) y(t) z(t)] P1（ x1,y1) P2（ x2,y2) P3（ x3,y3) P2’ 指通過(guò)測(cè)量或計(jì)算得到的曲線或曲面上少量描述曲線或曲面幾何形狀的數(shù)據(jù)點(diǎn)。 常用名詞術(shù)語(yǔ) 49 P39。0 P39。1 P0 P1 t=0 t=1 P(t) R P(t+△ t ) Q dtdcTdtdcdcdPtPdtdPt?????????lim0T——單位切矢量 220l i m dc Pdckc???????△ C △ P C 弧長(zhǎng) 當(dāng) Q趨向于 r時(shí)： 在極限情況下 |△ P|=△ C 設(shè)以弧長(zhǎng) c為參數(shù)， 曲線的方程為 p(c) T(c+ △ c) T(c) T(c+ △ c) T(c) R Q △ ? △ c 若曲線上 R， Q兩點(diǎn)的參數(shù)分別為 t 和 t＋ △ t，矢量△ p＝ p(t+ △ t)p(t) 50 6. 幾何連續(xù)性 指兩段曲線或兩片曲面在連接處的連續(xù)狀態(tài)。 (1) Q1(1)=Q2(0)——C0（幾何位置的連續(xù)）和 G0連續(xù) (2) Q1(1)=Q2(0) Q39。1(1)=Q39。2(0) ——C1連續(xù)（切矢連續(xù)） (3) Q1(t)和 Q2(t)在 P點(diǎn)處已有 C0， C1連續(xù) Q1(1)=Q2(0) ——C2連續(xù)（曲率連續(xù)） Q1 Q2 Q4 P Q3 51 7. 插值 —函數(shù)逼近的重要方法 插值設(shè)計(jì)方法：要求建立的曲線與曲面數(shù)學(xué)模型，嚴(yán)格通過(guò)已知的每一個(gè)型值點(diǎn)。 在曲線、曲面中最常用的是線性插值和拋物線插值。 （ 1）線性插值 x y x1 x2 y1 y2 )(x?21211212112121 )()(yxxxxyxxxxxxxxyyyx????????????—點(diǎn)斜式 —兩點(diǎn)式 假設(shè)給定函數(shù) f(x)在兩個(gè)不同點(diǎn) x1和 x2的值， y1=f(x1), y2=f(x2) 現(xiàn)要求用一線性函數(shù)： y=?(x)=ax+b,近似代替 y=f(x). 52 （ 2）拋物線插值 —二次插值 P 2210)( tAtAAt ??? (0≤t ≤1) 322212 )2()44()132()( PttPttPtttP ????????P1 P2 P3 P(0)=P1 P(1)=P3 P()=P2 A0=P1 A1=4P2P33P1 A2 =2P1+2P34P2 ? ? ? ?????????????????????????33221120011432421)()(yxyxyxtttytx? ?????????????????????????32120011432421)(PPPtttP]1,0[?t 設(shè)已知 f（ x） 在三個(gè)互異點(diǎn) P1,P2,P3,要求構(gòu)造一個(gè)函數(shù) ?(x)，使得?(x)在各結(jié)點(diǎn)處與 f（ x）的值相等。 53 8. 逼近 逼近設(shè)計(jì)方法 :用這種方法建立的曲線與曲面數(shù)學(xué)模型只是近似地接近已知的型值點(diǎn)。 逼近最常用的方法是 最小二乘法 。逼近好壞常用各點(diǎn)偏差的平方和或加權(quán)的方差和最小。 ? ? ? ?2121)()( ????????nkkkknkkk yxFdyxF ?? 或9. 擬合 擬合是指在曲線、曲面的設(shè)計(jì)中，用插值或逼近的方法使生成的曲線、曲面達(dá)到某些設(shè)計(jì)要求。如在允許的范圍內(nèi)貼近原始的型值點(diǎn)或控制點(diǎn)序列；曲線、曲面看上去要“光滑”等。 54 三次曲線： 332210)( tAtAtAAt ????P2210)( tAtAAt ???P二次曲線： ]1,0[?t參數(shù)變量的規(guī)格化 tAAt 10)( ??P一次曲線： 0)( At ?P0次曲線： 連接兩點(diǎn)的多項(xiàng)式的參數(shù)方程為： （ A0， A1， A2， A3） 為向量常數(shù) tAAt 10)( ??P一次曲線： P39。0 P0 P‘1 P1 t=1, P1 t=0, P0 P(0)=P0=A0 P(1)=P1=A0 + A 1t =P1 P(t)=P0+(P1 P0 )t 55 P(0)=P0=A0 P(1)= A0 + A 1t + A 1t2 = P1 2210)( tAtAAt ???P二次曲線： P39。0 P0 P‘1 P1 P(0)’= A 1 +2A 1t= P0’ P(t)=P0+P0’ t+(P1 P0 P0’ )t2 三次曲線： 332210)( tAtAtAAt ????PP(0)=P0=A0 P(1)= A0 + A 1t + A 1t2 = P1 P(0)’= A 1 +2A 1t= P0’ P(1)’= A 1 +2A 1t= P1’ P(t)=P0+P0’ t+(3P1 – P1’ 3