希爾伯特23個問題及解決情況(編輯修改稿)
2025-02-07 03:32 本頁面
【文章內容簡介】 不是希爾伯特首先提出來的。但他站在更高的層面，用更尖銳、更簡單的方式重新提出了這些問題，并指出了其中許多問題的解決方向。 數(shù)學領域中的問題是極多的，究竟哪些更重要、更基本？做出這樣的選擇需要敏銳的 洞察力。為什么希爾伯特能如此目光如炬？數(shù)學史家、中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院研究員、《希爾伯特 —— 數(shù)學王國中的亞歷山大》一書的譯者袁向東先生（和李文林先生合譯）認為，這是因為希爾伯特是數(shù)學王國中的亞歷山大！數(shù)學家可分為兩類，一類擅長解決數(shù)學中的難題，另一類擅長對現(xiàn)有狀況做出理論總結，兩大類中又均可細分為一流、二流、三流。希爾伯特兩者兼長，幾乎走遍了現(xiàn)代數(shù)學所有前沿陣地，在多個差異很大的數(shù)學分支中都留下了他那顯赫的名字，對數(shù)學發(fā)展的大背景了如指掌，對所提及的許多問題都有深入的研究，是數(shù)學領域中的 “ 王 ” 。 為什么希爾伯特要在大會上總結數(shù)學的基本問題，而不像常人一樣宣講自己的某項成果？這和另一位數(shù)學巨匠龐加萊 (Henri Poincar233。)有關，龐加萊在 1897年舉行的第一屆國際數(shù)學家大會上做的是應用數(shù)學方面的報告。他們兩人是當時國際數(shù)學界中的雙子星座，均為領袖級人物，當然也存在一定的競爭心理 —— 既然龐加萊講述的是自己對物理、數(shù)學關系的一般看法，那么希爾伯特就為純粹數(shù)學做一些辯護。 龐加萊是法國人，希爾伯特是德國人，法、德兩國有世仇，所以他們之間的競爭還帶上了一種國與國競爭的味道。雖然他們兩人非常尊重對方，這一 點在他們身上體現(xiàn)得不明顯，但他們的學生和老師常常這樣看。 希爾伯特的老師克萊茵（ Felix Klein）就是一個民族感非常強的人，他非常強調德意志數(shù)學的發(fā)展，想讓國際數(shù)學界變成橢圓 —— 以前是圓形，圓心為巴黎；現(xiàn)在他想讓自己所在的哥廷根市也成為世界數(shù)學的中心，使數(shù)學世界變成有兩個圓心的橢圓。 在希爾伯特及其親密朋友閔可夫斯基 (Hermann Minkowski)的幫助下，克萊茵實現(xiàn)了自己的目標 —— 1900 年時，希爾伯特就已經(jīng)和法國最偉大的數(shù)學家龐加萊齊名，而克萊茵本人和馬上就要來到哥廷根的閔可夫斯基也是極 有影響的數(shù)5 學家。事實上，他們在德國號稱 “ 無敵三教授 ” 。 從一個例子可以想見他們的魅力。 某天，在談及拓撲學著名定理 —— 四色定理時，閔可夫斯基突然靈機一動，于是對滿堂的學生說： “ 這條定理還沒有得到證明，因為到目前為止還只有一些三流數(shù)學家對它進行過研究?，F(xiàn)在由我來證明它。 ” 然后他拿起粉筆當場證明這條定理。這堂課結束后，他還沒有證完。下堂課他繼續(xù)證，這樣一直持續(xù)了幾周。最后，在一個陰雨的早晨，他一走上講臺天空就出現(xiàn)了一道霹靂。 “ 老天也被我的傲慢激怒了， ” 他說， “ 我的證明也是不完全的。 ” （該定理直到 1994 年才用計算機證明出來。） 1912 年，龐加萊逝世。世界數(shù)學的中心進一步向哥廷根偏移，數(shù)學界似乎又變成了一個圓 —— 不過圓心換成了哥廷根。此時，哥廷根學派的名聲如日中天，在數(shù)學青年中流行的口號是 “ 打起你的鋪蓋，到哥廷根去！ ” 一個世紀過去了，希爾伯特所列的那 23 個問題約有一半問題已經(jīng)解決，其余一半的大多數(shù)也都有重大進展。但希爾伯特本人沒有解決其中的任意一個。有人問他，為
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