希爾伯特23個(gè)問題及解決情況(編輯修改稿)
2025-02-07 03:32 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 不是希爾伯特首先提出來的。但他站在更高的層面，用更尖銳、更簡單的方式重新提出了這些問題，并指出了其中許多問題的解決方向。 數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問題是極多的，究竟哪些更重要、更基本？做出這樣的選擇需要敏銳的 洞察力。為什么希爾伯特能如此目光如炬？數(shù)學(xué)史家、中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員、《希爾伯特 —— 數(shù)學(xué)王國中的亞歷山大》一書的譯者袁向東先生（和李文林先生合譯）認(rèn)為，這是因?yàn)橄柌厥菙?shù)學(xué)王國中的亞歷山大！數(shù)學(xué)家可分為兩類，一類擅長解決數(shù)學(xué)中的難題，另一類擅長對現(xiàn)有狀況做出理論總結(jié)，兩大類中又均可細(xì)分為一流、二流、三流。希爾伯特兩者兼長，幾乎走遍了現(xiàn)代數(shù)學(xué)所有前沿陣地，在多個(gè)差異很大的數(shù)學(xué)分支中都留下了他那顯赫的名字，對數(shù)學(xué)發(fā)展的大背景了如指掌，對所提及的許多問題都有深入的研究，是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的 “ 王 ” 。 為什么希爾伯特要在大會上總結(jié)數(shù)學(xué)的基本問題，而不像常人一樣宣講自己的某項(xiàng)成果？這和另一位數(shù)學(xué)巨匠龐加萊 (Henri Poincar233。)有關(guān)，龐加萊在 1897年舉行的第一屆國際數(shù)學(xué)家大會上做的是應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的報(bào)告。他們兩人是當(dāng)時(shí)國際數(shù)學(xué)界中的雙子星座，均為領(lǐng)袖級人物，當(dāng)然也存在一定的競爭心理 —— 既然龐加萊講述的是自己對物理、數(shù)學(xué)關(guān)系的一般看法，那么希爾伯特就為純粹數(shù)學(xué)做一些辯護(hù)。 龐加萊是法國人，希爾伯特是德國人，法、德兩國有世仇，所以他們之間的競爭還帶上了一種國與國競爭的味道。雖然他們兩人非常尊重對方，這一 點(diǎn)在他們身上體現(xiàn)得不明顯，但他們的學(xué)生和老師常常這樣看。 希爾伯特的老師克萊茵（ Felix Klein）就是一個(gè)民族感非常強(qiáng)的人，他非常強(qiáng)調(diào)德意志數(shù)學(xué)的發(fā)展，想讓國際數(shù)學(xué)界變成橢圓 —— 以前是圓形，圓心為巴黎；現(xiàn)在他想讓自己所在的哥廷根市也成為世界數(shù)學(xué)的中心，使數(shù)學(xué)世界變成有兩個(gè)圓心的橢圓。 在希爾伯特及其親密朋友閔可夫斯基 (Hermann Minkowski)的幫助下，克萊茵實(shí)現(xiàn)了自己的目標(biāo) —— 1900 年時(shí)，希爾伯特就已經(jīng)和法國最偉大的數(shù)學(xué)家龐加萊齊名，而克萊茵本人和馬上就要來到哥廷根的閔可夫斯基也是極 有影響的數(shù)5 學(xué)家。事實(shí)上，他們在德國號稱 “ 無敵三教授 ” 。 從一個(gè)例子可以想見他們的魅力。 某天，在談及拓?fù)鋵W(xué)著名定理 —— 四色定理時(shí)，閔可夫斯基突然靈機(jī)一動，于是對滿堂的學(xué)生說： “ 這條定理還沒有得到證明，因?yàn)榈侥壳盀橹惯€只有一些三流數(shù)學(xué)家對它進(jìn)行過研究?，F(xiàn)在由我來證明它。 ” 然后他拿起粉筆當(dāng)場證明這條定理。這堂課結(jié)束后，他還沒有證完。下堂課他繼續(xù)證，這樣一直持續(xù)了幾周。最后，在一個(gè)陰雨的早晨，他一走上講臺天空就出現(xiàn)了一道霹靂。 “ 老天也被我的傲慢激怒了， ” 他說， “ 我的證明也是不完全的。 ” （該定理直到 1994 年才用計(jì)算機(jī)證明出來。） 1912 年，龐加萊逝世。世界數(shù)學(xué)的中心進(jìn)一步向哥廷根偏移，數(shù)學(xué)界似乎又變成了一個(gè)圓 —— 不過圓心換成了哥廷根。此時(shí)，哥廷根學(xué)派的名聲如日中天，在數(shù)學(xué)青年中流行的口號是 “ 打起你的鋪蓋，到哥廷根去！ ” 一個(gè)世紀(jì)過去了，希爾伯特所列的那 23 個(gè)問題約有一半問題已經(jīng)解決，其余一半的大多數(shù)也都有重大進(jìn)展。但希爾伯特本人沒有解決其中的任意一個(gè)。有人問他，為
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