【文章內(nèi)容簡介】 劃下去。那么最后剩下的一個數(shù)是幾？ 分析： 我們先從簡單情況研究，歸納出問題的規(guī)律，再應用規(guī)律解題。如果圓周上有 2個數(shù) 2，最后剩下 1；如果有 3個數(shù) 3，最后剩 3；如果有 4個數(shù) 4，最后剩 1；如果有 5個數(shù) 1～ 5，最后剩的是 3；如果有 6個數(shù) 1～ 6，最后剩的是 5；如果有 7個數(shù) 1～ 7， 最后剩的是 7；如果有 8個數(shù) 1～ 8，最后剩的是1。 我們發(fā)現(xiàn)當圓周上數(shù)的個數(shù)是 8時，最后剩的都是 1（操作的起始數(shù)）。這是為什么呢？以 8個數(shù)為例，操作一圈，劃去 2， 4， 6， 8，就相當于從 1開始，還有 4個數(shù)的情況， 4個數(shù)時，從 1開始，操作一圈，又劃去 2個，還剩從 1開始的兩個數(shù)，劃去 1以外的數(shù)，最后剩 1。 顯然，圓周上數(shù)的個數(shù)是 1 3 6?、 2n時，最后剩的都是起始數(shù) 1。 當圓周上數(shù)的個數(shù)是 3時，劃去 2，就剩 2個數(shù)，最后應剩下一步操作的起始數(shù) 3；數(shù)的個數(shù)是 5時，劃去 2，剩 4個數(shù)，最后應剩下一步操作的 起始數(shù) 3。 根據(jù)以上規(guī)律，如果有 18個數(shù)，劃去 4，剩下 16個數(shù)，再劃下去，最后還應剩下一步操作的起始數(shù) 5。就是說，劃去若干個數(shù)后，當剩下的數(shù)的個數(shù)恰好是 2n 時，下一步操作的起始數(shù)就是最后一個剩下的數(shù)。 解答： 根據(jù)以上分析，由于 64=26， 128=27， 26＜ 100＜ 27， 10064=36，也就是說，要剩 26個數(shù)，需要劃去 36個數(shù)，按題意，最后劃去的數(shù)是 36 2=72，下一步操作的起始數(shù)是 73，那么最后剩的就應該是 73。 說明： （ 1）本例是由著名的約瑟夫斯問題改編的。對于“ 把 1～ n這 n個自然數(shù)，按順時 針方向依次排列在一個圓圈周圍。從 1開始沿順時針方向進行如下操作，保留 1，劃去 2；保留 3，劃去 4；……，如此每隔一個數(shù)，劃去一個數(shù)，轉圈劃下去。那么最后剩下的一個數(shù) x是幾？ ”這樣的題目， 我們可以得到一個一般性的結論： 若 2k≤ n≤ 2k+1， k 是自然數(shù)，最后剩下的一個數(shù) x=（ n2k） 2+1。 （ 2）我們還可以提出一些新的問題，如： ① 按原題操作規(guī)則，如果最后剩下的一個數(shù)是 11，那么開始時圓周上至少有多少個數(shù)？ ② 按原題操作規(guī)則，如果最后剩下的一個數(shù)是 11，且開始時圓周上的數(shù)不少于 500個，那么開始時至少有多少 個數(shù)？ ③ 將原題的操作規(guī)則改為“從 1開始，劃去 1，保留 2；劃去 3，保留 4；??，轉圈劃下去。那么最后剩下的一個數(shù)是幾？ ④ 將原題的 操作規(guī)則改為“從 1開始，保留 2，劃去 3；保留 5，劃去6；??， 轉圈劃下去。那么最后剩下的一個數(shù)是幾？ ⑤ 將原題的 操作規(guī)則改為“從 1開始，劃去 1，保留 3；劃去 4，保留 6；??， 轉圈劃下去。那么最后剩下的一個數(shù)是幾？ ?? 請你再提出一些新問題，與上面幾個問題一起當作練習題來完成吧！ 下面的例題很容易看出是在某種操作類問題基礎上反過來提出的： 例 7 一條直徑將圓周 分成兩個半圓周，在每個分點標上質數(shù) p；第二次操作將兩個半圓周分別分成兩個相等的41圓周，在新產(chǎn)生的分點標上相鄰兩數(shù)和的21；第三次操作將四個41圓周分別分成兩個相等的81圓周，在新產(chǎn)生的分點標上相鄰兩數(shù)和的31；……；如此進行了 n次操作后，圓周上所有已標數(shù)的總和為11130。求 n和 p的值各為多少？ 分析： 本題不 宜采用上例“從簡單情況入手”的分析方法。我們直接來考慮第 k次（ k= ?、 n）操作后與第 k1次操作后圓周上所有已標數(shù)總和之間的關系。 設第 k次操作后圓周上所有已標數(shù)總和為 Sk，由題意可知，第 k次操作新產(chǎn)生一些分點，這些分點上所標數(shù)均為相鄰兩數(shù)之和的k1，所以這些新產(chǎn)生的分點上所標數(shù)之和是上一次（即第 k1次）操作后圓周上所有已標數(shù)總和（即 Sk1）的 2倍的k1。 由此得到 Sk與 Sk1之間的關系為： 11 21 ?? ???? kkk SkSS 即： 121 ???????? ?? kk SkS 下面我們用遞推的方法來求得 Sn與 S1之間的關系： 121 ???????? ?? nn SnS 212121 ???????? ????????? ?? nSnn 322112121 ???????? ????????? ????????? ?? nSnnn ?? )1()2( 2122112121 ??????????? ??????????? ????????? ????????? ?? nnSnnnnn ? 122122112121 Snnn ??????? ????????? ????????? ????????? ?? ? 解答 ： 由上面分析知