【文章內容簡介】 　　　　　 …40分所以，為等腰直角三角形，，因為，點在上，所以為矩形，故，所以． …50分[解法三] （Ⅰ）引進復平面，仍用等代表所對應的復數(shù)．由三角形不等式，對于復數(shù)，有 ，當且僅當與（復向量）同向時取等號．有 ，所以 （1） ，從而 ． （2） 　…10分（1）式取等號的條件是 復數(shù) 與同向，故存在實數(shù)，使得 ， 　　　 ，所以 ，向量旋轉到所成的角等于旋轉到所成的角，從而四點共圓．（2）式取等號的條件顯然為共線且在上．故當達最小值時點在之外接圓上，四點共圓． …20分（Ⅱ）由（Ⅰ）知．以下同解法一．二、（本題滿分50分）設是周期函數(shù)，和1是的周期且．證明：（Ⅰ）若為有理數(shù)，則存在素數(shù)，使是的周期；（Ⅱ）若為無理數(shù)，則存在各項均為無理數(shù)的數(shù)列滿足 ，且每個都是的周期．[證]?。á瘢┤羰怯欣頂?shù)，則存在正整數(shù)使得且，從而存在整數(shù)，使得 ．于是是的周期．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…10分又因，從而．設是的素因子，則，從而 　　 是的周期． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…20分（Ⅱ）若是無理數(shù)，令 ，則，且是無理數(shù)，令 ，…… ， ……． …30分由數(shù)學歸納法易知均為無理數(shù)且．又，故，即．因此是遞減數(shù)列． …40分最后證：每個是的周期．事實上，因1和是的周期，故亦是的周期．假設是的周期，則也是的周期．由數(shù)學歸納法，已證得均是的周期． …50分三、（本題滿分50分）設，．證明：當且僅當時，存在數(shù)列滿足以下條件：（ⅰ），；（ⅱ）存在；（ⅲ），． [證] 必要性：假設存在滿足（?。?，（ⅱ），（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化為 ， 其中．將上式從第1項加到第項，并注意到得 ． …10分由（ⅱ）可設，將上式取極限得 ，因此． …20分充分性：假設．定義多項式函數(shù)如下： ，則在[0,1]上是遞增函數(shù)，且，．因此方程在[0,1]內有唯一的根，且，即． …30分下取數(shù)列為，則明顯地滿足題設條件（?。?．因，故，因此，即的極限存在，滿足（ⅱ）． …40分最后驗證滿足（ⅲ），因，即，從而 ．綜上，存在數(shù)列滿足（?。áⅲ?，（ⅲ）． …50分　　本函數(shù)的基本性質08級15班 周馨藝名稱常函數(shù)一次函數(shù)二次函數(shù)反比例函數(shù)圖像解析式定義域RRR值域R單調性不具有單調性，在R上 遞增，在R上遞減,在上單減，在上單增則反之，在和上單減；則反之奇偶性偶函數(shù)時，既奇又偶當時，為奇函數(shù)當時，不具有奇偶性當即時為偶函數(shù)時為奇函數(shù)時不具有奇偶性奇函數(shù)備注①方程x=c不是函數(shù)①斜截式：—斜率=② 縱截距橫截距③①a決定開口方向（）②Δ有實根；，無實根③韋達定理，④求根公式：⑤頂點坐標（）⑥若則對稱軸⑦根分布問題結合圖像解決①變換形式：數(shù)的學習小結高一4班 朱兆梁在17世紀之前，一直與公式緊密關聯(lián)，到了1837年，德國數(shù)學家狄利克雷（18051859）抽象出了直至今日仍為人們易于接受，并且較為合理的函數(shù)概念。一、函數(shù)的概念。1. 定義：設某一變化過程中有兩個變量和，按照一定法則，總有確定的數(shù)值與它對應，.2．函數(shù)與映射映射的概念觀察下列對應（投影2）：（為簡明起見，這里的A、B都是有限集合）（對每個對應都要強調對應法則，集合順序）映射的定義一般地，設A、B是兩個集合，如果按照某種對應法則?，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應（包括集合A、B及A到B的對應法則f）叫做集合A到集合B的映射。記作：f：A→B由此定義：（2），（3），（4）三個對應都是A到B的映射，（1）的對應不是A到B的映射。（2）f: x。 (3)f: xx2。 (4)f: x2x象，原象的概念給定一個集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B。如果在對應法則f的作用下，元素a和元素b對應，則元素b叫做元素a（在f下）的象，元素a叫做元素b（在f下）的原象。注意：（1）映射有三個要素：兩個集合，一種對應法則，缺一不可；（2）A，B可以是數(shù)集，也可以是點集或其它集合。這兩個集合具有先后順序：符號“f：A→B”表示A到B的映射，符號“f：B→A”表示B到A的映射，兩者是不同的；（3）集合A中的元素一定有象，并且象是唯一的（因此（1）不可以構成映射），但兩個（或兩個以上）元素可以允許有相同的象（如圖（3））；例：“A={0,1,2},B={0,1,1/2},f:取倒數(shù)”就不可以構成映射，因為A中元素0在B中無象（4）集合B中的元素在A中可以沒有原象（如圖（4）），即使有也可以不唯一（如圖（3））；（5）A={原象}，B{象}。一 一映射的概念問題3：觀察圖（2）、（3）、（4），想一想這三個對應有什么不同特點？分析：（3）是多對一（即多個元素有同一個象）；（4）是一對一（但B中有的元素在A中沒有原象）；（2）是一對一（且B中所有元素在A中都有原象）；再觀察下圖：(投影4)由此有：“一一映射”的定義：一般地，一個映射f：A→B，若滿足：a. 對于集合A的不同元素，在集合B中有不同的象。(單射)b. 集合B中每一個元素都有原象；（滿射）那么這個映射叫做A到B上的一一映射。　例：分析上面圖中或上面例題中對應是否為集合A到集合B的一一映射？為什么？注意：（1）一一映射是一種特殊的映射（A到B是映射，B到A也是映射，或從一一映射定義解釋）；（2）若在映射f：A→B中，象的集合C≠B ，則映射不是一一映射，即C=B是一一映射的必要條件。 （想一想為什么不充分？）（因為映射f：A→B未指出對于集合A中的不同元素的集合B中有不同的象。即f：A→B可能是多對一的情形。）注 定義域與對應法則是函數(shù)的兩個要素，它是判斷兩個函數(shù)是否相同的標準. 如：與不同；與不同；與相同；與相同.2. 分段函數(shù)：用幾個式子來表示一個函數(shù)為分段函數(shù).如：的定義域為；的定義域為.例1 定義域，值域；3．函數(shù)的三種表示方法（1）解析法（將兩個變量的函數(shù)關系，用一個等式表示）：如等。優(yōu)點：（2）列表法（列出表格表示兩個變量的函數(shù)關系）： 如：平方表，三角函數(shù)表，利息表，列車時刻表，國民生產(chǎn)總值表等。優(yōu)點：不需要計算，就可以直接看出與自變量的值相對應的函數(shù)值。（3）圖象法（用圖象來表示兩個變量的函數(shù)關系）：如：優(yōu)點：直觀形象地表示自變量的變化。二、函數(shù)的幾種特性1. 單調性設有函數(shù)，.對，有，則稱在上單調遞增；若有，則稱在上單調遞減.注意 ：在內非單調，但在內單調遞增，在內單調遞減. 例2 證明在內單調遞增.證 ， ，當，同號時，右邊二因子均正數(shù)，故；當，異號時，，故.故對，有. 所以在內單調遞增.2. 奇偶性設有函數(shù)，.若對，有，則稱為偶函數(shù)；若對，有，則稱為奇函數(shù).如：是偶函數(shù)，為奇函數(shù)；不滿足上述兩條的為非奇非偶函數(shù)，如.注：奇函數(shù)的圖形對稱于原點，偶函數(shù)的圖形對稱于y軸.戰(zhàn)爭中的數(shù)學擷趣“山本五十六輸在換彈的五分鐘” 在戰(zhàn)爭中，有時候忽略了一個小小的數(shù)據(jù)，也會招致整個戰(zhàn)局的失利。 二戰(zhàn)中日本聯(lián)合艦隊司令山本五十六也是一位“要么全贏，要么輸個精光”的“拼命將軍”。在中途島海戰(zhàn)中，當日本艦隊發(fā)現(xiàn)按計劃空襲失利，海面出現(xiàn)美軍航空母艦時，山本五十六不聽同僚的合理建議，妄圖一舉殲滅敵方，根本不考慮美軍4艦載飛機可能先行攻擊可能。他命令停在甲板上的飛機卸下炸彈換上魚雷起飛攻擊美艦，只圖靠魚雷擊沉航空母艦獲得最大的打擊效果，不考慮飛機在換裝魚雷的過程中可能遭到美機攻擊的后果，因為飛機換彈的最快時間是五分鐘。 結果，在把炸彈換裝魚雷的五分鐘內，日艦和“躺在甲板上的飛機”變成了活靶，受到迅速起飛的美軍艦載飛機的“全面屠殺”。日本艦隊損失慘重。從此，日本在太平洋海域由戰(zhàn)略進攻轉入了戰(zhàn)略防御。 戰(zhàn)后，有些軍事評論家把日本聯(lián)合艦隊在中途島海戰(zhàn)失敗原因之一歸咎于那“錯誤的五分鐘”。可見，忽略了這個看似很小的時間因素的損失是多么重大。智力陷井………買蟹騙局 一人提了一簍又肥又大的螃蟹到一條小街上出售，開價每斤(500克)50元．不一會兒，先后過來兩個青年，由此一場合謀的騙局開始了．兩青年中的一人自言自語：這些蟹倒不錯，不過，我就喜歡吃蟹肚，蟹腳、蟹鉗吃起來真討厭，真不想吃．另一青年馬上插話，說：如果蟹腳、蟹鉗便宜些價錢賣給我，下下酒倒蠻好的．于是他們煞有介事地商量決定蟹肚35元一斤，蟹腳、蟹鉗15元一斤．轉而對賣蟹人說，這些蟹我們包了，你幫我們分一分，再稱給我們，反正35元加15元仍然是50元，我們又不占你便宜．賣蟹人一時沒有反應過來，沒有覺察其中有詐，就按他們的意思做了．結果分得蟹肚3斤，蟹腳、蟹鉗1斤，兩青年分別付了105元和15元，他們分別拿著蟹肚、蟹腳和留鉗走了．事后，賣蟹人一數(shù)鈔票共120元，這與他來小街前預計的數(shù)字相差甚遠，發(fā)現(xiàn)有問題，再想去追回買蟹人，但已來不及了，只能連呼上當．想一想，這個問題錯在哪里？應該怎樣付錢才合理？ 解：這是一個不難解決的問題，按優(yōu)質優(yōu)價的原則，蟹肚質量明顯優(yōu)于整只蟹的質量，所以蟹肚價格應高于整只蟹的價格，就是說蟹肚價格應高于50元，現(xiàn)在定在35元是不合理的，為了較為容易地說明問題，不妨設想蟹肚、蟹腳和蟹鉗各買1斤，貨款的和是50元，但重量的和卻是2斤，這不就說明兩者都低于原價是不合理嗎？ 合理的方法是先稱出蟹的總重量(4斤)后， 計算得貸價是504＝200(元)，賣蟹人應要買蟹人付200元，至于蟹肚、蟹腳和蟹鉗的具體價格可以由買蟹人自己去協(xié)商議定．美妙的對稱　　 鬧鐘、飛機、電扇、屋架等的功能、屬性完全不同，但是它們的形狀卻有一個共同特性——對稱?！　≡隰[鐘、屋架、飛機等的外形圖中，可以找到一條線，線兩邊的圖形是完全一樣的。也就是說，當這條線的一邊繞這條線旋轉18