【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 　　　　　 …40分所以，為等腰直角三角形，，因?yàn)?，點(diǎn)在上，所以為矩形，故，所以． …50分[解法三] （Ⅰ）引進(jìn)復(fù)平面，仍用等代表所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．由三角形不等式，對(duì)于復(fù)數(shù)，有 ，當(dāng)且僅當(dāng)與（復(fù)向量）同向時(shí)取等號(hào)．有 ，所以 （1） ，從而 ． （2） 　…10分（1）式取等號(hào)的條件是 復(fù)數(shù) 與同向，故存在實(shí)數(shù)，使得 ， 　　　 ，所以 ，向量旋轉(zhuǎn)到所成的角等于旋轉(zhuǎn)到所成的角，從而四點(diǎn)共圓．（2）式取等號(hào)的條件顯然為共線且在上．故當(dāng)達(dá)最小值時(shí)點(diǎn)在之外接圓上，四點(diǎn)共圓． …20分（Ⅱ）由（Ⅰ）知．以下同解法一．二、（本題滿分50分）設(shè)是周期函數(shù)，和1是的周期且．證明：（Ⅰ）若為有理數(shù)，則存在素?cái)?shù)，使是的周期；（Ⅱ）若為無(wú)理數(shù)，則存在各項(xiàng)均為無(wú)理數(shù)的數(shù)列滿足 ，且每個(gè)都是的周期．[證]?。á瘢┤羰怯欣頂?shù)，則存在正整數(shù)使得且，從而存在整數(shù)，使得 ．于是是的周期．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…10分又因，從而．設(shè)是的素因子，則，從而 　　 是的周期． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…20分（Ⅱ）若是無(wú)理數(shù)，令 ，則，且是無(wú)理數(shù)，令 ，…… ， ……． …30分由數(shù)學(xué)歸納法易知均為無(wú)理數(shù)且．又，故，即．因此是遞減數(shù)列． …40分最后證：每個(gè)是的周期．事實(shí)上，因1和是的周期，故亦是的周期．假設(shè)是的周期，則也是的周期．由數(shù)學(xué)歸納法，已證得均是的周期． …50分三、（本題滿分50分）設(shè)，．證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在數(shù)列滿足以下條件：（?。?；（ⅱ）存在；（ⅲ），． [證] 必要性：假設(shè)存在滿足（?。?，（ⅱ），（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化為 ， 其中．將上式從第1項(xiàng)加到第項(xiàng)，并注意到得 ． …10分由（ⅱ）可設(shè)，將上式取極限得 ，因此． …20分充分性：假設(shè)．定義多項(xiàng)式函數(shù)如下： ，則在[0,1]上是遞增函數(shù)，且，．因此方程在[0,1]內(nèi)有唯一的根，且，即． …30分下取數(shù)列為，則明顯地滿足題設(shè)條件（?。?，且 ．因，故，因此，即的極限存在，滿足（ⅱ）． …40分最后驗(yàn)證滿足（ⅲ），因，即，從而 ．綜上，存在數(shù)列滿足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． …50分　　本函數(shù)的基本性質(zhì)08級(jí)15班 周馨藝名稱(chēng)常函數(shù)一次函數(shù)二次函數(shù)反比例函數(shù)圖像解析式定義域RRR值域R單調(diào)性不具有單調(diào)性，在R上 遞增，在R上遞減,在上單減，在上單增則反之，在和上單減；則反之奇偶性偶函數(shù)時(shí)，既奇又偶當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)當(dāng)時(shí)，不具有奇偶性當(dāng)即時(shí)為偶函數(shù)時(shí)為奇函數(shù)時(shí)不具有奇偶性奇函數(shù)備注①方程x=c不是函數(shù)①斜截式：—斜率=② 縱截距橫截距③①a決定開(kāi)口方向（）②Δ有實(shí)根；，無(wú)實(shí)根③韋達(dá)定理，④求根公式：⑤頂點(diǎn)坐標(biāo)（）⑥若則對(duì)稱(chēng)軸⑦根分布問(wèn)題結(jié)合圖像解決①變換形式：數(shù)的學(xué)習(xí)小結(jié)高一4班 朱兆梁在17世紀(jì)之前，一直與公式緊密關(guān)聯(lián)，到了1837年，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（18051859）抽象出了直至今日仍為人們易于接受，并且較為合理的函數(shù)概念。一、函數(shù)的概念。1. 定義：設(shè)某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量和，按照一定法則，總有確定的數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，.2．函數(shù)與映射映射的概念觀察下列對(duì)應(yīng)（投影2）：（為簡(jiǎn)明起見(jiàn)，這里的A、B都是有限集合）（對(duì)每個(gè)對(duì)應(yīng)都要強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)法則，集合順序）映射的定義一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則?，對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合A、B及A到B的對(duì)應(yīng)法則f）叫做集合A到集合B的映射。記作：f：A→B由此定義：（2），（3），（4）三個(gè)對(duì)應(yīng)都是A到B的映射，（1）的對(duì)應(yīng)不是A到B的映射。（2）f: x。 (3)f: xx2。 (4)f: x2x象，原象的概念給定一個(gè)集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B。如果在對(duì)應(yīng)法則f的作用下，元素a和元素b對(duì)應(yīng)，則元素b叫做元素a（在f下）的象，元素a叫做元素b（在f下）的原象。注意：（1）映射有三個(gè)要素：兩個(gè)集合，一種對(duì)應(yīng)法則，缺一不可；（2）A，B可以是數(shù)集，也可以是點(diǎn)集或其它集合。這兩個(gè)集合具有先后順序：符號(hào)“f：A→B”表示A到B的映射，符號(hào)“f：B→A”表示B到A的映射，兩者是不同的；（3）集合A中的元素一定有象，并且象是唯一的（因此（1）不可以構(gòu)成映射），但兩個(gè)（或兩個(gè)以上）元素可以允許有相同的象（如圖（3））；例：“A={0,1,2},B={0,1,1/2},f:取倒數(shù)”就不可以構(gòu)成映射，因?yàn)锳中元素0在B中無(wú)象（4）集合B中的元素在A中可以沒(méi)有原象（如圖（4）），即使有也可以不唯一（如圖（3））；（5）A={原象}，B{象}。一 一映射的概念問(wèn)題3：觀察圖（2）、（3）、（4），想一想這三個(gè)對(duì)應(yīng)有什么不同特點(diǎn)？分析：（3）是多對(duì)一（即多個(gè)元素有同一個(gè)象）；（4）是一對(duì)一（但B中有的元素在A中沒(méi)有原象）；（2）是一對(duì)一（且B中所有元素在A中都有原象）；再觀察下圖：(投影4)由此有：“一一映射”的定義：一般地，一個(gè)映射f：A→B，若滿足：a. 對(duì)于集合A的不同元素，在集合B中有不同的象。(單射)b. 集合B中每一個(gè)元素都有原象；（滿射）那么這個(gè)映射叫做A到B上的一一映射?！±悍治錾厦鎴D中或上面例題中對(duì)應(yīng)是否為集合A到集合B的一一映射？為什么？注意：（1）一一映射是一種特殊的映射（A到B是映射，B到A也是映射，或從一一映射定義解釋?zhuān)?；?）若在映射f：A→B中，象的集合C≠B ，則映射不是一一映射，即C=B是一一映射的必要條件。 （想一想為什么不充分？）（因?yàn)橛成鋐：A→B未指出對(duì)于集合A中的不同元素的集合B中有不同的象。即f：A→B可能是多對(duì)一的情形。）注 定義域與對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)的兩個(gè)要素，它是判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同的標(biāo)準(zhǔn). 如：與不同；與不同；與相同；與相同.2. 分段函數(shù)：用幾個(gè)式子來(lái)表示一個(gè)函數(shù)為分段函數(shù).如：的定義域?yàn)?；的定義域?yàn)?例1 定義域，值域；3．函數(shù)的三種表示方法（1）解析法（將兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)等式表示）：如等。優(yōu)點(diǎn)：（2）列表法（列出表格表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系）： 如：平方表，三角函數(shù)表，利息表，列車(chē)時(shí)刻表，國(guó)民生產(chǎn)總值表等。優(yōu)點(diǎn)：不需要計(jì)算，就可以直接看出與自變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。（3）圖象法（用圖象來(lái)表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系）：如：優(yōu)點(diǎn)：直觀形象地表示自變量的變化。二、函數(shù)的幾種特性1. 單調(diào)性設(shè)有函數(shù)，.對(duì)，有，則稱(chēng)在上單調(diào)遞增；若有，則稱(chēng)在上單調(diào)遞減.注意 ：在內(nèi)非單調(diào)，但在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減. 例2 證明在內(nèi)單調(diào)遞增.證 ， ，當(dāng)，同號(hào)時(shí)，右邊二因子均正數(shù)，故；當(dāng)，異號(hào)時(shí)，，故.故對(duì)，有. 所以在內(nèi)單調(diào)遞增.2. 奇偶性設(shè)有函數(shù)，.若對(duì)，有，則稱(chēng)為偶函數(shù)；若對(duì)，有，則稱(chēng)為奇函數(shù).如：是偶函數(shù)，為奇函數(shù)；不滿足上述兩條的為非奇非偶函數(shù)，如.注：奇函數(shù)的圖形對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)，偶函數(shù)的圖形對(duì)稱(chēng)于y軸.戰(zhàn)爭(zhēng)中的數(shù)學(xué)擷趣“山本五十六輸在換彈的五分鐘” 在戰(zhàn)爭(zhēng)中，有時(shí)候忽略了一個(gè)小小的數(shù)據(jù)，也會(huì)招致整個(gè)戰(zhàn)局的失利。 二戰(zhàn)中日本聯(lián)合艦隊(duì)司令山本五十六也是一位“要么全贏，要么輸個(gè)精光”的“拼命將軍”。在中途島海戰(zhàn)中，當(dāng)日本艦隊(duì)發(fā)現(xiàn)按計(jì)劃空襲失利，海面出現(xiàn)美軍航空母艦時(shí)，山本五十六不聽(tīng)同僚的合理建議，妄圖一舉殲滅敵方，根本不考慮美軍4艦載飛機(jī)可能先行攻擊可能。他命令停在甲板上的飛機(jī)卸下炸彈換上魚(yú)雷起飛攻擊美艦，只圖靠魚(yú)雷擊沉航空母艦獲得最大的打擊效果，不考慮飛機(jī)在換裝魚(yú)雷的過(guò)程中可能遭到美機(jī)攻擊的后果，因?yàn)轱w機(jī)換彈的最快時(shí)間是五分鐘。 結(jié)果，在把炸彈換裝魚(yú)雷的五分鐘內(nèi)，日艦和“躺在甲板上的飛機(jī)”變成了活靶，受到迅速起飛的美軍艦載飛機(jī)的“全面屠殺”。日本艦隊(duì)損失慘重。從此，日本在太平洋海域由戰(zhàn)略進(jìn)攻轉(zhuǎn)入了戰(zhàn)略防御。 戰(zhàn)后，有些軍事評(píng)論家把日本聯(lián)合艦隊(duì)在中途島海戰(zhàn)失敗原因之一歸咎于那“錯(cuò)誤的五分鐘”。可見(jiàn)，忽略了這個(gè)看似很小的時(shí)間因素的損失是多么重大。智力陷井………買(mǎi)蟹騙局 一人提了一簍又肥又大的螃蟹到一條小街上出售，開(kāi)價(jià)每斤(500克)50元．不一會(huì)兒，先后過(guò)來(lái)兩個(gè)青年，由此一場(chǎng)合謀的騙局開(kāi)始了．兩青年中的一人自言自語(yǔ)：這些蟹倒不錯(cuò)，不過(guò)，我就喜歡吃蟹肚，蟹腳、蟹鉗吃起來(lái)真討厭，真不想吃．另一青年馬上插話，說(shuō)：如果蟹腳、蟹鉗便宜些價(jià)錢(qián)賣(mài)給我，下下酒倒蠻好的．于是他們煞有介事地商量決定蟹肚35元一斤，蟹腳、蟹鉗15元一斤．轉(zhuǎn)而對(duì)賣(mài)蟹人說(shuō)，這些蟹我們包了，你幫我們分一分，再稱(chēng)給我們，反正35元加15元仍然是50元，我們又不占你便宜．賣(mài)蟹人一時(shí)沒(méi)有反應(yīng)過(guò)來(lái)，沒(méi)有覺(jué)察其中有詐，就按他們的意思做了．結(jié)果分得蟹肚3斤，蟹腳、蟹鉗1斤，兩青年分別付了105元和15元，他們分別拿著蟹肚、蟹腳和留鉗走了．事后，賣(mài)蟹人一數(shù)鈔票共120元，這與他來(lái)小街前預(yù)計(jì)的數(shù)字相差甚遠(yuǎn)，發(fā)現(xiàn)有問(wèn)題，再想去追回買(mǎi)蟹人，但已來(lái)不及了，只能連呼上當(dāng)．想一想，這個(gè)問(wèn)題錯(cuò)在哪里？應(yīng)該怎樣付錢(qián)才合理？ 解：這是一個(gè)不難解決的問(wèn)題，按優(yōu)質(zhì)優(yōu)價(jià)的原則，蟹肚質(zhì)量明顯優(yōu)于整只蟹的質(zhì)量，所以蟹肚價(jià)格應(yīng)高于整只蟹的價(jià)格，就是說(shuō)蟹肚價(jià)格應(yīng)高于50元，現(xiàn)在定在35元是不合理的，為了較為容易地說(shuō)明問(wèn)題，不妨設(shè)想蟹肚、蟹腳和蟹鉗各買(mǎi)1斤，貨款的和是50元，但重量的和卻是2斤，這不就說(shuō)明兩者都低于原價(jià)是不合理嗎？ 合理的方法是先稱(chēng)出蟹的總重量(4斤)后， 計(jì)算得貸價(jià)是504＝200(元)，賣(mài)蟹人應(yīng)要買(mǎi)蟹人付200元，至于蟹肚、蟹腳和蟹鉗的具體價(jià)格可以由買(mǎi)蟹人自己去協(xié)商議定．美妙的對(duì)稱(chēng)　　 鬧鐘、飛機(jī)、電扇、屋架等的功能、屬性完全不同，但是它們的形狀卻有一個(gè)共同特性——對(duì)稱(chēng)?！　≡隰[鐘、屋架、飛機(jī)等的外形圖中，可以找到一條線，線兩邊的圖形是完全一樣的。也就是說(shuō)，當(dāng)這條線的一邊繞這條線旋轉(zhuǎn)18