【文章內(nèi)容簡介】 c E?? 求出 ??x? 所代表的狀態(tài)的能量平均值： 2 2 2 2 2222 2 22 4 0498 8 8h h c hE c cm a m a m a? ? ? ? ?2240 18 13hma??22513hma? 02 原子的結(jié)構(gòu)和性質(zhì) 【 】氫原子光譜可見波段相鄰 4 條譜線的波長分別為 、 、 和，試通過數(shù)學處理將譜線的波數(shù)歸納成為下式表示，并求出常數(shù) R 及整數(shù) n n2的數(shù)值。 221211()R nn? ?? 解：將各波長換算成波數(shù)： 1 ? ? 11 15233v cm? ?? 2 ? ? 12 20565v cm? ?? 3 ? ? 13 23032v cm? ?? 4 ? ? 14 24373v cm? ?? 由于這些譜線相鄰，可令 1nm? ， 2 1, 2,n m m? ? ? ??。列出下列 4 式： ? ?2215233 1RRm m?? ? ? ?2220565 2RRm m?? ? ? ?2223032 3RRm m?? ? ? ?2224373 4RRm m?? ? (1)247。 (2)得： ? ? ? ?? ? 232 1 215233 41mmm????? 用嘗試法得 m=2（任意兩式計算，結(jié)果皆同）。將 m=2 帶入上列 4 式中任意一式，得： 1109678R cm ?? 因而，氫原子可見光譜（ Balmer 線系）各譜線的波數(shù)可歸納為下式： 221211vR nn? ???????? 式中， 1 1210 96 78 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6R c m n n?? ? ?。 【 】按 Bohr 模型計算氫原子處于基態(tài)時電子繞核運動的半徑（分別用原子的折合質(zhì)量和電子的質(zhì)量計算并精確到 5 位有效數(shù)字）和線速度。 解：根據(jù) Bohr 提出的氫原子結(jié)構(gòu)模型，當 電子穩(wěn)定地繞核做圓周運動時，其向心力與核和電子間的庫侖引力大小相等，即： 2 2204nnnm err? ??? n=1， 2， 3，?? 式中， , , , ,nnmr e? 和 0? 分別是電子的質(zhì)量，繞核運動的半徑，半徑為 nr 時的線速度，電子的電荷和真空電容率。 同時，根據(jù)量子化條件，電子軌道運動的角動量為： 2nn nhmr? ?? 將兩式聯(lián)立，推得： 2202n hnr me??? ； 202nehn? ?? 當原子處于基態(tài)即 n=1 時，電子繞核運動的半徑為： 2 01 2hr me??? ? ? ? ?234 12 2 1 1231 19 618 10 419 10 953 10 219 10J s C J m pmk g C?? ? ? ???? ? ???? ? ? ? 若用原子的折合質(zhì)量 ? 代 替電子的質(zhì)量 m ，則： 2 01 2 5 2 . 9 1 85 2 . 9 1 8 5 2 . 9 4 70 . 9 9 9 4 6h m p mr p m p me?? ? ?? ? ? ? ? 基態(tài)時電子繞核運動的線速度為： 21 02eh? ?? ? ? 2193 4 1 2 2 1 11 . 6 0 2 1 9 1 02 6 . 6 2 6 1 8 1 0 8 . 8 5 4 1 9 1 0CJ s C J m?? ? ? ??? ? ? ? ? 10 ms ??? 【 】對于氫原子： (a)分別計算從第一激發(fā)態(tài)和第六激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)所產(chǎn)生的光譜線的波長，說明這些譜線所屬的線系及所處的光譜范圍。 (b)上述兩譜線產(chǎn)生的光子能否使：（ i）處于基態(tài)的另一氫原子電離？（ ii）金屬銅中的銅原子電離（銅的功函數(shù)為 10 J?? ）？ (c)若上述兩譜線所產(chǎn)生的光子能使金屬銅晶體的電子電離，請計算出從金屬銅晶體表面發(fā)射出的光電子的德補羅意波的波長。 解： (a)氫原子的穩(wěn)態(tài)能量由下式給出： 18 212 .1 8 1 0nEJn?? ? ? ? 式中 n是主量 子數(shù)。 第一激發(fā)態(tài) (n＝ 2)和基態(tài) (n＝ 1)之間的能量差為： 1 8 1 8 1 81 2 1 2211( 2 . 1 8 1 0 ) ( 2 . 1 8 1 0 ) 1 . 6 4 1 021E E E J J J? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 原子從第一激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)所發(fā)射出的譜線的波長為： 8 1 3 41 181 ( 2 . 9 9 7 9 1 0 ) ( 6 . 6 2 6 1 0 ) 1211 . 6 4 1 0c h m s J s nmEJ????? ? ? ? ?? ? ??? 第六激發(fā)態(tài) (n＝ 7)和基態(tài) (n＝ 1)之間的能量差為： 1 8 1 8 1 86 7 1 2211( 2 . 1 8 1 0 ) ( 2 . 1 8 1 0 ) 2 . 1 4 1 071E E E J J J? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以原子從第六激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)所發(fā)射出的譜線的波長為： 8 1 3 46 186 ( 2 . 9 9 7 9 1 0 ) ( 6 . 6 2 6 1 0 ) 9 2 . 92 . 1 4 1 0c h m s J s nmEJ????? ? ? ? ?? ? ??? 這兩條譜線皆屬 Lyman 系，處于紫外光區(qū)。 （ b）使處于基態(tài)的氫原子電離所得要的最小能量為： Δ E∞ =E∞ E1=E1= 1018J 而 Δ E1= 1018JΔ E∞ Δ E6= 1018JΔ E∞ 所以，兩條譜線產(chǎn)生的 光子均不能使處于基態(tài)的氫原子電離，但是 Δ E1Ф Cu= 1019J Δ E6Ф Cu= 1019J 所以，兩條譜線產(chǎn)生的光子均能使銅晶體電離。 （ c）根據(jù)德布羅意關(guān)系式和愛因斯坦光子學說，銅晶體發(fā)射出的光電子的波長為： 2h h hp m v mE? ? ? ? ? 式中Δ E為照射到晶體上的光子的能量和Ф Cu之差。應用上式，分別計算出兩條原子光譜線照射到銅晶體上后銅晶體所發(fā)射出的光電子的波長： 3439。1 131 18 192 6 10 519( 2 95 10 ) ( 10 10 )Js pmk g J J??? ? ???????? ? ? ? ? ??? 3439。6 131 18 192 6 10 415( 2 95 10 ) ( 10 10 )Js pmk g J J??? ? ???? ? ? ? ? ? 【 】請通過計算說明，用氫原子從第六激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)所產(chǎn)生的光子照射長度為1120pm 的線型分子 22CH CH CH CH CH CH CH CH，該分子能否產(chǎn)生吸收光譜。若能，計算譜線的最大波長；若不能，請?zhí)岢鰧⒉荒茏優(yōu)槟艿乃悸贰? 解：氫原子從第六激發(fā)態(tài)（ n=7）躍遷到基態(tài)（ n=1）所產(chǎn)生的光子的能量為： 221 1 4 81 3 . 5 9 5 1 3 . 5 9 5 1 3 . 5 9 57 1 4 9HE e V e V e V??? ? ? ? ? ? ? ? ????? 10e V J m ol ?? ? ? 而 22CH CH CH CH CH CH CH CH分子產(chǎn)生吸收光譜所需要的最低能量為： 82 2 2 2 254 2 2 254 98 8 8C h h hE E E m l m l m l? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?234231 129 108 5 10 112 0 10Jsk g m??????? ? ? ? 10 J??? 512. 57 9 10 J mol ??? 顯然 8HCEE? ?? ，但此兩種能量不相等，根據(jù)量子化規(guī)則，22CH CH CH CH CH CH CH CH不能產(chǎn)生吸收光效應。若使它產(chǎn)生吸收光譜，可改換光源，例如用連續(xù)光譜代替 H 原子光譜。此時可滿足量子化條件，該共軛分子可產(chǎn)生吸收光譜，其吸收波長為： ? ?? ?3 4 8 123423 1 1 26. 62 6 10 2. 99 8 109 6. 62 6 108 9. 10 95 10 11 20 10hc J s m sE Jsk g m??????? ? ???? ??? ? ? ? 460nm? 【 】計 算氫原子 1s? 在 0ra? 和 02ra? 處的比值。 解：氫原子基態(tài)波函數(shù)為： 03 / 21 011ras ea? ????? ???? 該函數(shù)在 r=a0和 r=2a0處的比值為： 00003 / 2103 / 2 2201111aaaaeae eeea????????????? ? ??????? 而 21s? 在在 r=a0和 r=2a0處的比值為： e2≈ 【 】計算氫原子的 1s 電子出現(xiàn)在 100r pm? 的球形界面內(nèi)的概率。 1n a xn a x n a xx e nx e d x x e d x caa ???? ? ??????? 解：根據(jù)波函數(shù)、概率密度和電子的概率分布等概念的物理意義，氫原子的 1s 電子出現(xiàn)在 r=100pm 的球形界面內(nèi)的概率為： 100 2 210 0 0pmsPd?? ??? ? ?? 00221 0 0 1 0 0222233000 0 0 0 0 011s in s inrrp m p maae r d r d d r e d r d daa? ? ? ?? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ? 0010022100 2 2 32 0 0 0000 044 2 2 4 pmrrpm aa a r a r ar e dr eaa ?? ????? ? ? ? ?????????? 01002 2200 022 1 pmra rre aa? ??? ? ? ????? ? 那么，氫原子的 1s 電子出現(xiàn)在 r=100pm 的球形界面之外的概率為 =。 【 】計算氫 原子的積分： 2 22100( ) sinsrP r r d rd d?? ? ? ? ??? ? ? ? ，作出 ()Pr r? 圖，求 P(r)=時的 r 值，說明在該 r 值以內(nèi)電子出現(xiàn)的概率是 90%。 解： ? ?2 22100 s insrP r r d r d d?? ? ? ? ??? ? ?? 222 2 2 20 0 0 011s in s inrrrre r d r d d d d e r d r? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??????????????? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2144 2r r rrrr e d r r e r e d r??? ? ???? ? ? ??????? 2 2 2 21 1 14 2 2 2r r rrr e r e e d r?? ? ???? ? ? ?????? 2 2 2 21 1 14 2 2 4r r rrr e r e e ?? ? ?? ? ? ? ? ?222 2 1re r r?? ? ? 根據(jù)此式列出 P(r)r 數(shù)據(jù)表： r/a0 0 P(r) 根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出 P(r)r 圖示于 圖 中： 由圖可見： ? 時， ? ? ? ? 時， ? ? ? ? 時， ? ? ? 即在 r= 的球面之外，電子出現(xiàn)的概率是 10%，而在 r= 的球面以內(nèi)，電子出現(xiàn)的概率是 90%，即： 2210 0 0 s in 0 . 9 0as r d r d d?? ? ? ? ? ?? ? ? 0 1 2 3 4 5 P(r)r/a 0 圖 P(r)r 圖 【 】已知氫原子的歸一化基態(tài)波函數(shù)為 ? ? ? ?1 / 231 0 0e x p /s a r a?? ??? (a)利用量子力學基本假設求該基態(tài)的能量和角動量； (b)利用維里定理求該基態(tài)的平均勢能和零點能。 解：（ a）根據(jù)量子力學關(guān)于“本征函數(shù)、本征值和本征方程”的假設，當用 Hamilton