【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 和 i2 的變化電流且titi dddd 21 ?， 并設(shè)由 i2變化在線圈 1 中產(chǎn)生的互感電動(dòng)勢(shì)為 12 ， 由 i1 變化在線圈 2 中產(chǎn)生的互感電動(dòng)勢(shì)為 ε21 ， 下述論斷正確的是 （ ）． （ A） 2112 MM ? ， 1221 εε ? （ B） 2112 MM ? ， 1221 εε ? （ C） 2112 MM ? ， 1221 εε ? （ D） 2112 MM ? ， 1221 εε ? 分析與解 教材中已經(jīng)證明 M21 ＝ M12 ， 電磁感應(yīng)定律tiMε dd 12121 ?；tiMε dd 21212 ?． 因而正確答案為 （ D）． 12－ 4 對(duì)位移電流 ， 下述說法正確的是 （ ） （ A） 位移電流的實(shí)質(zhì)是變化的電場(chǎng) （ B） 位移電流和傳導(dǎo)電流一樣是定向運(yùn)動(dòng)的電荷 （ C） 位移電流服從傳導(dǎo)電流遵循的所有定律 （ D） 位移電流的磁效應(yīng)不服從安培環(huán)路定理 分析與解 位移電流的實(shí)質(zhì)是變化的電場(chǎng) ． 變化的電場(chǎng)激發(fā)磁場(chǎng) ， 在這一點(diǎn)位移電流等效于傳導(dǎo)電流 ， 但是位移電流不是走向運(yùn)動(dòng)的電荷 ， 也就不服從焦耳熱效應(yīng) 、 安培力等定律 ． 因而正確答案為 （ A）． 12－ 5 下列概念正確的是 （ ） （ A） 感應(yīng)電場(chǎng)是保守場(chǎng) （ B） 感應(yīng)電場(chǎng)的電場(chǎng)線是一組閉合曲線 （ C） LIΦm? ， 因而線圈的自感系數(shù)與回路的電流成反比 （ D） LIΦm? ， 回路的磁通量越大 ， 回路的自感系數(shù)也一定大 分析與解 對(duì)照感應(yīng)電場(chǎng)的性質(zhì) ， 感應(yīng)電場(chǎng)的電場(chǎng)線是一組閉合曲線 ． 因而 正確答案為 （ B）． 12－ 6 一鐵心上繞有線圈 100匝 ， 已知鐵心中磁通量與時(shí)間的關(guān)系為tΦ π1 0 0si 5?? ，式中 Φ 的單位為 Wb， t的單位為 s， 求在 2???t 時(shí) ， 線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) ． 分析 由于線圈有 N 匝相同回路 ， 線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等于各匝回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和 ， 在此情況下 ， 法拉第電磁感應(yīng)定律通常寫成tψtΦNξ dddd ???? ， 其中 ΦNψ? 稱為磁鏈 ． 解 線圈中總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) ? ? )V(π100c ttΦN ???? 當(dāng) 2???t 時(shí) ， ?ξ ． 12－ 7 載流長直導(dǎo)線中 的電流以 tIdd 的變化率增長 .若有一邊長為 d的正方形線圈與導(dǎo)線處于同一平面內(nèi)，如圖所示 .求線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) . 分析 本題仍可用法拉第電磁感應(yīng)定律 tΦdd??? ，來求解 .由于回路處在非均勻磁場(chǎng)中，磁通量就需用 ? ??S SBΦ d來計(jì)算 . 為了積分的需要，建立如圖所示的坐標(biāo)系 .由于 B僅與 x有關(guān)，即 B=B(x)，故取一個(gè)平行于長直導(dǎo)線的寬為 dx、長為 d的面元 dS，如圖中陰影部分所示，則 dS=ddx， 所以，總磁通量可通過線積分求得（若取面元 dS=dxdy，則上述積分實(shí)際上為二重積分） .本題在工程技術(shù)中又稱為互感現(xiàn)象，也可用公式 tIM dd??? 求解 . 解 1 穿過面元 dS的磁通量為 xdxISBΦ dπ2dd 0???? 因此穿過線圈的磁通量為 2lnπ2dπ2d 2 00? ? ??? ddIdxxIdΦΦ ?? 再由法拉第電磁感應(yīng)定律，有 tIdtΦ dd21lnπ2dd 0 ）（ ?? ??? 解 2 當(dāng)兩長直導(dǎo)線有電流 I通過時(shí)，穿過線圈的磁通量為 2lnπ20dIΦ ?? 線圈與兩長直導(dǎo)線間的互感為 2lnπ20dIΦM ??? 當(dāng)電流以 tIdd 變化時(shí)，線圈中的互感電動(dòng)勢(shì)為 tIdtIM dd21lnπ2dd 0 ）（ ?? ??? 題 127 圖 12－ 8 有一測(cè)量磁感強(qiáng)度的線圈 ， 其截面積 S＝ cm2 、 匝數(shù) N＝ 160 匝 、電阻 R＝ 50Ω． 線圈與一內(nèi)阻 Ri＝ 30Ω的沖擊電流計(jì)相連 ． 若開始時(shí) ， 線圈的平面與均勻磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度 B相垂直 ， 然后線圈的平面很快地轉(zhuǎn)到與 B的方向平行 ． 此時(shí)從沖擊電流計(jì)中測(cè)得電荷值 10 Cq ??? ． 問此均勻磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度 B 的值為多少 ？ 分析 在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中 ， 閉合回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流與磁通量變化的快慢有關(guān) ， 而在一段時(shí)間內(nèi) ， 通過導(dǎo)體截面的感應(yīng)電量只與磁通量變化的大小有關(guān) ， 與磁通量變化的快慢無關(guān) ． 工程中常通過感應(yīng)電量的測(cè)定來確定磁場(chǎng)的強(qiáng)弱 ． 解 在線圈轉(zhuǎn)過 90176。 角時(shí) ， 通過線圈平面磁通量的變化量為 N B SN B SΦΦΦ ????? 0Δ 12 因此 ， 流過導(dǎo)體截面的電量為ii RRNB SRR Φq ???? Δ 則 ? ? ??? NS RRqB i 12－ 9 如圖所示 ， 一長直導(dǎo)線中通有 I＝ A 的電流 ， 在距導(dǎo)線 cm處 ， 放一面積為 cm2 ， 10匝的小圓線圈 ， 線圈中的磁場(chǎng)可看作是均勻的 ． 今在 10－ 2 s 內(nèi)把此線圈移至距長直導(dǎo)線 cm 處 ． 求 ：（ 1） 線圈中平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) ；（ 2） 設(shè)線圈的電阻為 10－ 2Ω， 求通過線圈橫截面的感應(yīng)電荷 ． 題 129 圖 分析 雖然線圈處于非均勻磁場(chǎng)中 ， 但由于線圈的面積很小 ， 可近似認(rèn)為穿過線圈平面的磁場(chǎng)是均勻的 ， 因而可近似用 NBSψ? 來計(jì)算線圈在始 、 末兩個(gè)位置的磁鏈 ． 解 （ 1） 在始 、 末狀態(tài) ， 通過線圈的磁鏈分別為 1011 π2 rISμN(yùn)SNBψ ?? ,2022 π2 rISμN(yùn)SNBψ ?? 則線圈中的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 8210 ??????????? ??? rrtISNt ??? 電動(dòng)勢(shì)的指向?yàn)轫槙r(shí)針方向 ． （ 2） 通過線圈導(dǎo)線橫截面的感應(yīng)電荷為 821 ??????? tRRq ??? 12－ 10 如圖 （ ａ ） 所示 ， 把一半徑為 R 的半圓形導(dǎo)線 OP 置于磁感強(qiáng)度為B的均 勻磁場(chǎng)中 ， 當(dāng)導(dǎo)線以速率 v 水平向右平動(dòng)時(shí) ， 求導(dǎo)線中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E 的大小 ， 哪一端電勢(shì)較高 ？ 題 1210 圖 分析 本題及后面幾題中的電動(dòng)勢(shì)均為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì) ， 除仍可由 tΦE dd?? 求解外 （ 必須設(shè)法構(gòu)造一個(gè)閉合回路 ）， 還可直接用公式 ? ? lB d????lE v求解 ． 在用后一種方法求解時(shí) ， 應(yīng)注意導(dǎo)體上任一導(dǎo)線元 ｄ l 上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)? ? lB dd ??? vE .在一般情況下 ， 上述各量可能是 ｄ l 所在位置的函數(shù) ． 矢量 （ v B） 的方向就是導(dǎo)線中 電勢(shì)升高的方向 ． 解 1 如圖 （ ｂ ） 所示 ， 假想半圓形導(dǎo)線 OP 在寬為 2R 的靜止形導(dǎo)軌上滑動(dòng) ， 兩者之間形成一個(gè)閉合回路 ． 設(shè)順時(shí)針方向?yàn)榛芈氛?， 任一時(shí)刻端點(diǎn) O 或 端點(diǎn) P 距 形導(dǎo)軌左側(cè)距離為 x， 則 BRRxΦ ?????? ?? 2π212 即 BRtxRBtΦE v2dd2dd ?????? 由于靜止的 形導(dǎo)軌上的電動(dòng)勢(shì)為零 ， 則 E ＝－ 2RvB． 式中負(fù)號(hào)表示電動(dòng)勢(shì)的方向?yàn)槟鏁r(shí)針 ， 對(duì) OP 段來說端點(diǎn) P 的電勢(shì)較高 ． 解 2 建立如圖 （ c） 所示的坐標(biāo)系 ， 在導(dǎo)體上任意處取導(dǎo)體元 ｄ l， 則 ? ? θRθBlθBE o dc o sdc o s90s i ndd vv ????? lBv BRθθBRE vv 2dc osdE π/ 2π/ 2 ??? ?? ? 由矢量 （ v B） 的指向可知 ， 端點(diǎn) P 的電勢(shì)較高 ． 解 3 連接 OP 使導(dǎo)線構(gòu)成一個(gè)閉合回路 ． 由于磁場(chǎng)是均勻的 ， 在任意時(shí)刻 ， 穿過回路的磁通量 ??BSΦ 常數(shù) .由法拉第電磁感應(yīng)定律 tΦE dd??可知 ， E ＝ 0 又因 E ＝ EOP ＋ EPO 即 EOP ＝－ EPO ＝ 2RvB 由上述結(jié)果可知 ， 在均勻磁場(chǎng)中 ， 任意閉合導(dǎo)體回路平動(dòng)所產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為零 ； 而任意曲線形導(dǎo)體上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)就等于其兩端所連直線形導(dǎo)體上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì) ． 上述求解方法是疊加思想的逆運(yùn)用 ， 即補(bǔ)償?shù)姆椒?． 12－ 11 長為 L的銅棒 ， 以距端點(diǎn) r 處為支點(diǎn) ， 以角速率 ω繞通過支點(diǎn)且垂直于銅棒的軸轉(zhuǎn)動(dòng) .設(shè)磁感強(qiáng)度為 B的均勻磁場(chǎng)與軸平行 ， 求棒兩端的電勢(shì)差 ． 題 1211 圖 分析 應(yīng)該注意棒兩端的電勢(shì)差與棒上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)是兩個(gè)不同的概念 ， 如同電源的端電壓與電源電動(dòng)勢(shì)的不同 ． 在開路時(shí) ， 兩者大小相等 ， 方向相反（ 電動(dòng)勢(shì)的方向是電勢(shì)升高的方向 ， 而電勢(shì)差的正方向是電勢(shì)降落的方向 ）． 本題可直接用積分法求解棒上的電動(dòng)勢(shì) ， 亦可以將整個(gè)棒的電動(dòng)勢(shì)看作是 OA 棒與 OB 棒上電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和 ， 如圖 （ ｂ ） 所示 ． 而 EOA 和 EOB 則可以直接利用第 12－ 2 節(jié)例 1 給出的結(jié)果 ． 解 1 如圖 （ ａ ） 所示 ， 在棒上距點(diǎn) O 為 l 處取導(dǎo)體元 ｄ l， 則 ? ? ? ?rLlBωllBωE L rrABAB 221dd ???????? ?? lBv 因此棒兩端的電勢(shì)差為 ? ?rLlBωEU ABAB 221 ???? 當(dāng) L ＞ 2r 時(shí) ， 端點(diǎn) A 處的電勢(shì)較高 解 2 將 AB 棒上的電動(dòng)勢(shì)看作是 OA 棒和 OB 棒上電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和 ， 如圖（ ｂ ） 所示 ． 其中 221 rωBEOA ? , ? ?221 rLBωEOB ?? 則 ? ?rLBLωEEE OBOAAB 221 ????? 12－ 12 如圖所示 ， 長為 L 的導(dǎo)體棒 OP， 處于均勻磁場(chǎng)中 ， 并繞 OO′ 軸以角速度 ω旋轉(zhuǎn) ， 棒與轉(zhuǎn)軸間夾角恒為 θ， 磁感強(qiáng)度 B 與轉(zhuǎn)軸平行 ． 求 OP 棒在圖示位置處的電動(dòng)勢(shì) ． 題 1212 圖 分析 如前所述 ， 本題既可以用法拉第電磁感應(yīng)定律 tΦE dd?? 計(jì)算 （ 此時(shí)必須構(gòu)造一個(gè)包含 OP導(dǎo)體在內(nèi)的閉合回路 ， 如直角三 角形導(dǎo)體回路OPQO）， 也可用 ? ? lB d????lE v來計(jì)算 ． 由于對(duì)稱性 ， 導(dǎo)體 OP 旋轉(zhuǎn)至任何位置時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)與圖示位置是相同的 ． 解 1 由上分析 ， 得 ? ? lB d??? ?OPOPE v lαBl o dco s90sin?? v ? ? ? ? lθBθωl o d90c o ss in? ?? l ? ?? ?? L LBllB0 22 s in21ds in ???? 由矢量 B?v 的方向可知端點(diǎn) P 的電勢(shì)較高 ． 解 2 設(shè)想導(dǎo)體 OP 為直角三角形導(dǎo)體回路 OPQO 中的一部分 ， 任一時(shí)刻穿過回路的磁通量 Φ為零 ， 則回路的總電動(dòng)勢(shì) QOPQOP EEEtΦE ?????? 0dd 顯然 ， EQO ＝ 0， 所以 ? ?221 PQBωEEE QOPQOP ???? 2)sin(21 ?? LB? 由上可知 ， 導(dǎo)體棒 OP 旋轉(zhuǎn)時(shí) ， 在單位時(shí)間內(nèi)切割的磁感線數(shù)與導(dǎo)體棒 QP 等效 ． 12－ 13 如圖 （ ａ ） 所示 ， 金屬桿 AB 以勻速 s???v 平行于一長直導(dǎo)線移動(dòng) ， 此導(dǎo)線通有電流 I ＝ 40 A． 求桿中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) ， 桿的哪一端電勢(shì)較高 ？ 題 1213 圖 分析 本題可用兩種方法求解 ． 方法 1： 用公式 ? ? lB d????lE v求解 ， 建立圖 （ a） 所示的坐標(biāo)系 ， 所取導(dǎo)體元 xl dd? ， 該處的磁感強(qiáng)度 xIμB π20? ． 方法 2： 用法拉第電磁感應(yīng)定律求解 ， 需構(gòu)造一個(gè)包含桿 AB 在內(nèi)的閉合回路 ． 為此可設(shè)想桿 AB在一個(gè)靜止的導(dǎo)軌上滑動(dòng) ， 如圖 （ ｂ ） 所示 ． 設(shè)時(shí)刻t， 桿 AB 距導(dǎo)軌下端 CD的距離為 y， 先用公式 ? ??SΦ SB d求得穿過該回路的磁通 量 ， 再代入公式 tΦE dd?? ， 即可求得回路的電動(dòng)勢(shì) ， 亦即本題桿中的