江蘇省20xx屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：第21講轉(zhuǎn)化與化歸思想(編輯修改稿)
2025-02-03 22:10 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 零常數(shù) )，即 {an}是等比數(shù)列． (2) 若 q＝ 1，則 Sn＝ na1， Sm＝ ma1， Sk＝ ka1. 所以 1Sn＋ 1Sk＝ n＋ knka1＝ 2mnka1≥ 2m????n＋ k22a1＝ 2mm2a1＝ 2ma1＝ 2Sm. 若 q≠ 1，則 Sn＝ a1?1－ qn?1－ q ， Sm＝a1?1－ qm?1－ q ， Sk＝a1?1－ qk?1－ q . 所以 1Sn＋ 1Sk≥ 2 1SnSk＝ 2 ?1－ q?2?1－ qn??1－ qk?a21. 又因?yàn)?(1－ qn)(1－ qk)＝ 1－ (qn＋ qk)＋ qn＋ k≤ 1－ 2 qn＋ k＋ qn＋ k ＝ 1－ 2qm＋ q2m＝ (1－ qm)2. 所以 1Sn＋ 1Sk≥ 2 1SnSk＝ 2 ?1－ q?2?1－ qn??1－ qk?a21≥ 2?1－ q?2?1－ qm?2a 21＝2Sm. 綜上可知：若正整數(shù) n， m， k 成等差數(shù)列，不等式 1Sn＋ 1Sk≥ 2Sm(當(dāng)且僅當(dāng) n＝ m＝ k 時(shí)取“ ＝ ” )總成立． 基礎(chǔ)訓(xùn)練 1. 4 解析： 1x＋ 1y＝ 1 得 x＋ y＝ xy，由基本不等式得 xy≤ ?? ??x＋ y2 2， x＋ y≥ 4. 2. － 52 解析： x2＋ ax＋ 1≥ 0 對(duì)一切 x∈ ?? ??0， 12 都成立， ∴ a≥ － ?? ??x＋ 1x ，而 y＝－ x－ 1x在 ?? ??0， 12 上單調(diào)增， ymax＝－ 52. 3. ?? ??－ ∞ ， 94 解析：函數(shù) y＝ x＋ 2－ x的定義域?yàn)?(－ ∞ ， 2]； 換元令 2－ x＝ t≥ 0， y＝－ t2＋ t＋ 2＝－ ?? ??t－ 12 2＋ 94，也可用導(dǎo)數(shù)． 4. 0＜ b＜ 1 解析： f′ (x)＝ 3x2－ 3b＝ 0， x＝ 177。 b，顯然 b＞ 0，單調(diào)區(qū)間為 (－ ∞ ，－ b)，(－ b， b)， ( b，＋ ∞ )， ∴ x＝ b時(shí)取極小值， 0＜ b＜ 1,0＜ b＜ 1. 例題選講 例 1 解：設(shè) ∠ APB＝ θ， 0＜ θ＜ π， PA→ PB→ ＝ |PA||PB|cosθ ＝??????1tanθ22cosθ＝cos2θ2sin2θ2?? ??1－ 2sin2θ2 6 ＝ ?? ??1－ sin2θ2 ?? ??1－ 2sin2θ2sin2θ2， 換元：令 x＝ sin2θ2， 0＜ x＜ 1， PA→ PB→ ＝ ?1－ x??1－ 2x?x ＝ 2x＋ 1x－ 3≥ 2 2－ 3，當(dāng)且僅當(dāng) 2x＝ 1x，即 x＝ 22 ∈ (0,1)時(shí)取等號(hào)． 故 PA→ PB→ 的最小值為 2 2－ 3. 例 2 解：不等式 x2＋ px＞ 4x＋ p－ 3 對(duì)一切 0≤ p≤ 4 均成立，即 (x－ 1)p＋ (x2－ 4x＋ 3)＞ 0 對(duì)一切 0≤ p≤ 4 均成立， 令 f(p)＝ (x－ 1)p＋ (x2－ 4x＋ 3)，則????? ?x2－ 4x＋ 3?＞ 0，4?x－ 1?＋ ?x2－ 4x＋ 3?＞ 0， 解得 x3 或 x－ 1. 實(shí)數(shù) x 的取值范圍是 x∈ (－ ∞ ，－ 1)∪ (3，＋ ∞ )． 變式訓(xùn)練 若不等式 x2＋ px＞ 4x＋ p－ 3 對(duì)一切－ 4≤ x≤ 0 均成立，試求實(shí)數(shù) p 的取值范圍． 解： (解法 1)構(gòu)造函數(shù) f(x)＝ x2＋ (p－ 4)x－ p＋ 3， 所以 Δ＜ 0 或????? － p－ 42 ＜－ 4f?－ 4?＞ 0或????? － p－ 42 ＞
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