【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 0,dn? ? ? ?? ? ? ?? ? 于 是 有( ) ( ( ) )21( ( ) )21( ) ( )2j t j tj t j tjtdx t x t e dt ex t e dt e dX x t e dt???????????????? ??????? ??????????????令 ：? 于是有如下式子： 1( ) ( )2( ) ( )( ) ( )1( ) ( )2jtjtjtjtX x t e dtx t X e dX f x t e dtx t X e d?????????????????????????????????和稱 為 傅 立 葉 變 換 對(duì) ， 也 可 以 寫 成和22( ) ( )( ) ((()2) 2 )j ftj ftX f x t e dtfXxfXt X f e dt???????????????????把 的 關(guān) 系 代 入 上 式 ， 則 可 得 如 下 傅 立 葉 變 換 對(duì)其 中和有 ： 一般 X(f)是實(shí)變量 f的復(fù)函數(shù)，可以寫成 式中 ┃ X(f)┃ 為信號(hào) x(t)的連續(xù)幅值譜， φ(f) 為信號(hào)x(t)的連續(xù)相位譜。由于當(dāng)周期無(wú)限增長(zhǎng)時(shí)，各頻率分量的幅度也都趨近于無(wú)窮小，因此 ┃ X(f)┃ 不是頻率為 f的分量的幅值，而是 f分量鄰近單位頻寬上的幅值，量綱是單位頻率的幅值。它類似于物質(zhì)的密度定義，故稱┃ X(f)┃ 為頻譜密度。本書(shū)為了方便起見(jiàn)，在不會(huì)引起紊亂的情況下，仍稱 ┃ X(f)┃ 為頻譜。 ()( ) ( ) ( 1 30 )jfX f X f e ???? 傅立葉積分的物理意義： ? 如信號(hào) x(t)符合以下兩個(gè)條件 : ? （ 1）在無(wú)限區(qū)間上滿足狄里赫來(lái)?xiàng)l件； ? （ 2）在無(wú)窮區(qū)間上絕對(duì)可積 . ? 則該信號(hào)可以分解為無(wú)窮多個(gè)幅值無(wú)窮小的諧波分量之和。 ()x t d t??????二）瞬變非周期信號(hào)的描述 1）時(shí)域描述 2）頻域描述 幅頻譜 —— 是指非周期信號(hào)頻率分量的幅值密度與頻率之間的關(guān)系。即 ┃ X(f)┃ —— f。 相頻譜 —— 是指非周期信號(hào)各頻率分量的相位頻率之間的關(guān)系。 即 φ(f) —— f 例 23 求矩形窗函數(shù) w(t)的頻譜。 解：函數(shù) w(t)(圖 212)的表達(dá)式為 12()02TtwtTt???常稱為矩形窗函數(shù)，其頻譜為 2222( ) ( )1()2j ftTj ftTj T f j T fW f w t e d te d teejf???????????????????將 代入上式得 1s in ( ) ( )2j fT j fTfT e ej??? ?? ? ?s in( ) s in ( ) ( 2 3 7 )fTW f T T c fTfT? ??? ? ?式中 T稱為窗寬。其頻譜見(jiàn)圖 (213) W(f)函數(shù)只有實(shí)部，沒(méi)有虛部。其幅值頻譜為 其相位譜視 sinc(πfT) 的符號(hào)而定。當(dāng) sinc(πfT) 為正值時(shí)相角為零，當(dāng) sinc(πfT) 為負(fù)值時(shí)相角為 π 。 在這里我們定義了一個(gè)函數(shù) sincθ=sinθ/θ ，該信號(hào)在信號(hào)分析中很有用，它有很多名稱，采樣函數(shù)、抽樣函數(shù)、濾波函數(shù)、內(nèi)插函數(shù)等。 ( ) sin ( ) ( 2 3 8 )W f T c fT???它的圖形見(jiàn)圖 214，有以下主要性質(zhì)： 2π 為周期，隨自變量增大而做衰減振蕩。 ，頻域無(wú)限 ；頻譜的第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)為窗長(zhǎng)的倒數(shù) 三）瞬變非周期信號(hào)幅頻譜具有三個(gè)特點(diǎn) 瞬變非周期周期信號(hào)的頻譜是連續(xù)的 —— 連續(xù)性。 因?yàn)榛闊o(wú)窮小譜線是連續(xù)的出現(xiàn)在任何頻率上，基波頻率是諸分量頻率的公約數(shù) —— 非諧波性。 各頻率分量的譜線的高度表示該諧波的幅值。其諧波幅值總的趨勢(shì)是隨諧波次數(shù)的增高而減少 —— 收斂性。 二、傅立葉變換的主要性質(zhì) 函數(shù)的奇偶虛實(shí)性 線性疊加性 對(duì)稱性 時(shí)間尺度改變特性 時(shí)移、頻移特性 卷積特性 微積分特性 ? １．奇偶虛實(shí)性 2( ) ( )( ) c o s 2 ( ) sin 2Re ( ) I m ( )j ftX f x t e d tx t ft d t j x t ft d tX f j X f?????????? ? ? ?????????? 如果 x(t)為實(shí)偶函數(shù)，則 X(f)為實(shí)偶函數(shù) ? 如果 x(t)為實(shí)奇函數(shù)，則 X(f)為虛奇函數(shù) ? 如果 x(t)為虛偶函數(shù)，則 X(f)為虛偶函數(shù) ? 如果 x(t)為虛奇函數(shù)，則 X(f)為實(shí)奇函數(shù) ? 例如：矩型窗函數(shù) ? ２、線性疊加性 111( ) ( ) , ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )FFFFFFx t X f y t Y fx t b y t a X f b Y f?????? ???? ?? ? ???????? ??如則 a其 中 ： a 、 b 為 常 數(shù)? ３、對(duì)稱性 11( ) ( )( ) ( )FFFFx t X ft x f?????? ????? ?? ??如則 X? 證明如下： 222( ) ( )( ) ( )( ) ( )()j ftj ftj ftx t X f e dfttx t X f e dftfx f X t e dfxf????????????????????????? ?????1FF以 替 換 得將 和 互 換 ， 即 得所 以 X(t)證 畢? ４、時(shí)間尺度改變特性 11( ) ( )1( ) ( )11FFFFfktftkx t X ffx k t Xkkdt dk tkk???????????? ?????? ??????j2j2如則證 明 如 下 ：fx(kt)e x(kt)e X( )k? 時(shí)域擴(kuò)展，比例縮小（ k1， k=1/2） 。 ? 則，頻域?qū)挾茸冋?，幅值增大，能量往低頻段集中； ? 對(duì)后續(xù)設(shè)備、儀器的頻帶要求低，但效率低； ? 例如：磁帶快錄慢放； ? ? ? 時(shí)域擴(kuò)展，比例縮小（ k1， ? （ Ⅱ ）時(shí)域壓縮，比例擴(kuò)大（ k1， k=2） 。 ? 則，頻域?qū)挾茸儗挘到档?，能量往高頻段分散； ? 對(duì)后續(xù)設(shè)備、儀器的頻帶要求高，但效率高； ? 例如：磁帶慢錄快放； ? ５、時(shí)移和頻移特性 101012020( ) ( )( ) ( )( ) ( )FFFj ftFFj f tFx t X fx t t X f ex t e X f f??????????? ??????? ?????? ??如則和? ６、卷積特性 11111 1 2 21 2 1 21 2 1 2212212212( ) ( ) , ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) * ( )[ ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ]( ) ( )FFFFFFFFj ftj ftjx t X f x t X fx t x t X f X fx t x t X f X fx x t d e dtx x t dt e dx X f e??? ? ?? ? ??????????? ??????? ?????? ???? ?? ? ??????? ?????? ??????????如則現(xiàn) 以 時(shí) 域 卷 積 為 例 證 明 如 下 ：12( ) ( )tdX f X f???????=? ７、微積分特性 1111( ) ( )()( 2 ) ( )()2 ) ( )1( ) ( )2FFFnnFnFnnFtFFx t X fxtj f X fdtd X fj t x tdfx t d t X fjf????????????? ?????? ??????? ?????? ???n如d則和（同 樣 ：? 三、幾種典型信號(hào)的頻譜 ? １、矩形窗函數(shù) δ 函數(shù)及其頻譜 (1)δ 函數(shù)的定義 在 ε 時(shí)間內(nèi)激發(fā)一個(gè)矩形脈沖 Sε(t) (或三角形脈沖、雙邊指數(shù)脈沖、鐘形脈沖等 )，其面積為 1(圖 1—— 16)。當(dāng) ε→0 時(shí)， Sε(t) 的極限就稱為 δ 函數(shù)，記作 δ(t) 。 δ 函數(shù)也稱為單位脈沖函數(shù)。 ? δ(t)的特點(diǎn)有： ? 從函數(shù)值極限的角度 ,0()0 , 0ttt????? ???從面積的角度來(lái)看 0( ) l im ( ) 1x d t t d t??????? ? ? ??????(2)δ 函數(shù)的采樣性質(zhì) 如果 δ 函數(shù)與某一連續(xù)函數(shù) f(t)相乘，顯然其乘積僅在， t=0處為f(0)δ(t) ，其余各點(diǎn) (t≠0) 之乘積均為零。其中 f(0)δ(t) 是一個(gè)強(qiáng)度為 f(0)的 δ 函數(shù)；也就是說(shuō)，從函數(shù)值來(lái)看，該乘積趨于無(wú)限大，從面積 (強(qiáng)度 )來(lái)看，則為 f(0)。 如果 δ 函數(shù)與某一連續(xù)函數(shù) f(t)相乘，并在 (∞, － ∞ )區(qū)間中積分，則有 ( ) (