【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 合計(jì) 24000 加權(quán)算術(shù)平均 按產(chǎn)值計(jì)劃完成程度分（％） 實(shí)際產(chǎn)值（萬(wàn)元） 80－ 90 1020 90－ 100 6650 100－ 110 11550 110－ 120 5520 合計(jì) 24740 ％＋％＋％＋％ 11555201051155095665085102024740加權(quán)調(diào)和平均 平均產(chǎn)值計(jì)劃完成程度＝總實(shí)際產(chǎn)值 /總計(jì)劃產(chǎn)值 ＝ ％ 三、幾何平均數(shù)（ Geometric mean） ? 幾何平均數(shù)是 n個(gè)變量值連乘積的 n次方根 。 ? 根據(jù)掌握的資料不同，幾何平均數(shù)有簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)和加權(quán)幾何平均數(shù)兩種。 ? 簡(jiǎn)單幾何平均數(shù) —— 針對(duì)未分組資料 簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)適用于未分組資料計(jì)算平均速度和某些平均比率。設(shè)總體中有 N個(gè)個(gè)體，各個(gè)個(gè)體的標(biāo)志值為 X1， X2， X3， … ， XN，若用 G代表幾何平均數(shù)，則其計(jì)算公式為： ? 加權(quán)幾何平均數(shù) —— 針對(duì)分組資料 ? 加權(quán)幾何平均數(shù)適用于分組資料計(jì)算平均速度和某些平均比率。設(shè) X1， X2，X3， … ， XN，代表各組的變量值， F1， F2， F3， … ， FN代表相應(yīng)的權(quán)數(shù)，則其加權(quán)幾何平均數(shù)為： N iN NG XXXXX ????????? 21?? ????????? F FiF FNF2F1G iN21 XXXXX? 【 例 】 某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品要經(jīng)過(guò)三個(gè)連續(xù)作業(yè)車(chē)間才能完成。若某月第一車(chē)間粗加工產(chǎn)品的合格率為 97％，第二車(chē)間精加工產(chǎn)品的合格率為91%，第三車(chē)間最后裝配的合格率為 89%，計(jì)算三個(gè)車(chē)間的平均合格率為多少？ ? 幾何平均數(shù)的應(yīng)用范圍較窄，只有當(dāng)變量值的連乘積等于總比率、總速度時(shí)，求平均比率、平均速度才用幾何平均數(shù) 。 %%89%91%97XXXX 3N N21G ???????????四、中位數(shù) ? （一）概念 ? 中位數(shù)是位置平均數(shù)，若將變量值按大小順序排列，處于中點(diǎn)位置的變量值即為中位數(shù)。中位數(shù)不受極端數(shù)值的影響 。 ? （二）由未分組資料確定中位數(shù) 將變量值按大小順序排列。 確定中位數(shù)的位置：中間項(xiàng)＝ （ n+1） /2 確定中位數(shù) （ 1）變量數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)：中間項(xiàng)對(duì)應(yīng)的變量值即中位數(shù)。 例：五個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)（萬(wàn)元）為： 5， 6， 8， 10， 12，則 利潤(rùn)額的中位數(shù)＝ 8（萬(wàn)元） （ 2）變量數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)：中間兩項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)為中位數(shù)。 例 六個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)（萬(wàn)元）為： 5， 6， 8， 10， 12， 13，則 利潤(rùn)額的中位數(shù)＝（ 8＋ 10） /2＝ 9（萬(wàn)元） （三）由分組資料確定中位數(shù) 日產(chǎn)量（件） 工人數(shù) 向上累計(jì) 向下累計(jì) 30 8 8 30 33 10 18 22 35 7 25 12 38 5 30 5 合計(jì) 30 ? 由單項(xiàng)式數(shù)列計(jì)算中位數(shù) 。 ? 首先找出中位數(shù)所在組，即用 （ ∑f+1） /2 確定中位數(shù)位置，并計(jì)算向上累計(jì)次數(shù)或向下累計(jì)次數(shù)，累計(jì)次數(shù)達(dá)到 （ ∑f +1） /2 的組即為中位數(shù)所在組，中位數(shù)所在組對(duì)應(yīng)的變量值即為中位數(shù)。 ? 例 :根據(jù)下表資料確定日產(chǎn)量的中位數(shù)。 中間項(xiàng)＝ 31/2＝ 即中位數(shù)是第 15項(xiàng)和第 16項(xiàng)的平均數(shù)。 由累計(jì)次數(shù)可知：中位 數(shù)在第二組，所以日產(chǎn)量 的中位數(shù)為 33件。 由組距式數(shù)列計(jì)算中位數(shù) （ 1）確定中位數(shù)所在的組。即用 （ +1） /2 確定中位數(shù)位置，并計(jì)算向上累計(jì)次數(shù)或向下累計(jì)次數(shù)，累計(jì)次數(shù)達(dá)到 （ +1） /2 的組即為中位數(shù)所在組。 （ 2） 然后用下面的公式近似計(jì)算中位數(shù)的值： 式中， L為中位數(shù)所在組的下限， U為中位數(shù)所在組的上限； Sm1為中位數(shù)所在組以下各組的累計(jì)次數(shù)或頻率， Sm+1為中位數(shù)所在組以上各組的累計(jì)次數(shù)或頻率，fm為中位數(shù)所在組的次數(shù)或頻率， d為組距。 ?f?fdfS2NUMdfS2NLMm1mem1me??????????上限公式下限公式dfdfm1mem1me??????????上限公式下限公式已知頻率 已知次數(shù) ? 例 某校 3000名學(xué)生的月消費(fèi)額資料如下，確定月消費(fèi)額的中位數(shù)。 月消費(fèi)（元） 人數(shù) 向上累計(jì) 向下累計(jì) 500600 240 240 3000 600700 480 720 2760 700800 1050 1770 2280 800900 600 2370 1230 9001000 270 2640 630 10001100 210 2850 360 11001200 120 2970 150 12001300 30 3000 30 合計(jì) 3000 中間項(xiàng)＝（ 3000＋ 1） /2 ＝ 由累計(jì)次數(shù)可知：中位數(shù)在第三組，即700800之間。 由中位數(shù)公式可計(jì)算： dfSfLMmme ???? ??1272023000700 ????1230230008002 1 ????????? ??dfSfUMmme＝ 五、眾數(shù)（ Mode） ? 眾數(shù)是變量數(shù)列中出現(xiàn)密度最大的變量值，眾數(shù)也是分布密度曲線的高峰位置對(duì)應(yīng)的變量值，是反映分布中心的指標(biāo)。根據(jù)數(shù)據(jù)分布特點(diǎn)的不同，眾數(shù)可以不存在，可以有一個(gè)，也可以有多個(gè)。 ? 對(duì)于未分組資料直接根據(jù)概念就可確定眾數(shù)。如 六個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)（萬(wàn)元）為： 5， 6， 8， 8， 10， 12，則眾數(shù)為 8。 ? 對(duì)于單項(xiàng)式數(shù)列，次數(shù)最大的組為眾數(shù)組，眾數(shù)組對(duì)應(yīng)的變量值即眾數(shù)。 ? 對(duì)于組距式數(shù)列 : 1 .確定眾數(shù)組。次數(shù)密度或頻率密度最大的組為眾數(shù)組。 ： dffff ffLM ???? ??????)()( 1110dffff ffUM ???? ??????)()( 1110式中， M0為眾數(shù)； L為眾數(shù)組的下限； U為眾數(shù)組的上限； d為眾數(shù)組的組距； f為眾數(shù)組的次數(shù)密度或頻率密度； f+1為眾數(shù)組上一組的次數(shù)密度或頻率密度； f1為眾數(shù)組下一組的次數(shù)密度或頻率密度。 dffff ffLM ???? ?????? )()(1110月消費(fèi)（元） 人數(shù) 500600 240 600700 480 700800 1050 800900 600 9001000 270 10001100 210 11001200 120 12001300 30 合計(jì) 3000 dffff ffUM ???? ?????? )()(1110例某校 3000名學(xué)生的月消費(fèi)額資料如下，確定月消費(fèi)額的眾數(shù)。 首先，確定眾數(shù)組。 700800組的密度最大，所以 700800組為眾數(shù)組。 由眾數(shù)公式可計(jì)算： 100)6001050()4801050( 4801050700 ???? ???)6001050()4801050( 6001050800 ????? ???＝ 六、 眾數(shù)、中位數(shù)和均值的比較 ? 1．如果數(shù)據(jù)的分布是對(duì)稱的，則眾數(shù)、中位數(shù)、和均值完全相等，即有： ? 如果數(shù)據(jù)是左偏分布（分布密度曲線的尖峰位于變量較大值的一邊），三者之間的關(guān)系表現(xiàn)為： ? 如果數(shù)據(jù)是右偏分布， 則有： 三者的關(guān)系可用下圖表示： ? 4．當(dāng)數(shù)據(jù)分布的偏斜程度不是很大時(shí)，算術(shù)平均數(shù)到眾數(shù)的距離是算術(shù)平均數(shù)到中位數(shù)距離的 3倍。即： Oe MMX ??Oe MMX ??Oe MMX ??XMM eO ?? MoMeX ??XMM eO ??)MX(3MX eO ???第三節(jié) 離散趨勢(shì)的測(cè)度 ? 離散指標(biāo)是反映變量值差異程度的指標(biāo)。 ? 作用 反映變量值的離散趨勢(shì)。 離散指標(biāo)是衡量平均數(shù)代表性的尺度。離散指標(biāo)值越小，平均數(shù)的代表性就越好 。 變異指標(biāo)可以表明現(xiàn)象的均衡性 ? 常用的離散指標(biāo)有：極差、四分位差、平均差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差、離散系數(shù)等。 ? 一、極差（ Range） ? 極差也叫全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差。 ? 極差越大，表明變量的變動(dòng)范圍越大，即離散程度越大。 ? 組距式數(shù)列的極差 =最高組上限 最低組下限 粗略反映 離散程度 二、四分位差（內(nèi)距） ? 四分位差是上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差。 ? 將變量值按大小順排列，然后分為四等份，得到三個(gè)四分點(diǎn)，四分點(diǎn)對(duì)應(yīng)的變量值為四分位數(shù)，靠近變量值大的一端的四分位數(shù)叫上四分位數(shù)，用 QU表示；靠近變量值小的一端的四分位數(shù)叫下四分位數(shù)，用 QL表示，若用 H表示四分位差，則計(jì)算公式為： ? 四分位差反映了中位數(shù)兩側(cè)中間一半數(shù)據(jù)的離散程度。 ? 三、平均差 ? 概念 平均差是隨機(jī)變量各個(gè)取值與其算術(shù)平均數(shù)的離差的絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)。 ? 公式 LU H ??NXXMNiid???? 1 ?????? KiiKiiidFFXXM11根據(jù)未分組資料 根據(jù)分組資料 四、標(biāo)準(zhǔn)差和方差 ? 概念 標(biāo)準(zhǔn)差是各變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根。 公式 例 某公司五個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)額（萬(wàn)元）為： 2， 5， 7， 9， 12，計(jì)算平均差和標(biāo)準(zhǔn)差。 NXXN1i i???NXXNii21)(????? ?? ?????K1iiK1ii2iFF)XX(根據(jù)未分組資料 根據(jù)分組資料 NXXMNiid???? 1NXXNii21)(?????=（ 2+5+7+9+12)/5=7 571279777572 ?????????= =14/5=（萬(wàn)元 ) 5)712(79777572 22222 ?????????? ）（）（）（）（ =(萬(wàn)元 ) （萬(wàn)元） 方差 方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方。 nxx? ?? 22 )（? ?? ??ffxx 22 )(?根據(jù)未分組資料 根據(jù)分組資料 由方差的性質(zhì)： 222 )()( ExxE ??? ）（ 2xE = nx? 2??ffx2根據(jù)未分組資料 根據(jù)分組資料 按零件數(shù)分（個(gè)） 人數(shù) 組中值 105110 3 110115 5 115120 8 120125 14 125130 10 43 130135 6 135140 4 合計(jì) 50 —— —— 312 —— xx? fxx?? 例 根據(jù)以下資料計(jì)算平均差和標(biāo)準(zhǔn)差。 平均 產(chǎn)量 x =6160/50=（個(gè)） Md =312/50=（個(gè)） （個(gè)） ???2）（ xx? fxx 2）（ ?五、離散系數(shù) ? 離散系數(shù)是反映變量值相對(duì)離散程度的指標(biāo)。是反映變量值離散程度的絕對(duì)離散指標(biāo)與其算術(shù)平均數(shù)的比率 。 ? 極差系數(shù)： 四分位差系數(shù)： ? 平均差系數(shù)： 標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)： %1 0 0XRV R ?? %1 0 0XHV H ??%1 0 0XMV dM ?? %1 0 0XV ????某大學(xué)文、理科學(xué)生數(shù)學(xué)統(tǒng)考的平均成績(jī) 和標(biāo)準(zhǔn)差為：理科：平均分?jǐn)?shù) 86 標(biāo)準(zhǔn)差 9 文科 : 平均分?jǐn)?shù) 71 標(biāo)準(zhǔn)差 8 比較文理科學(xué)生平均成績(jī)的代表性。 理科標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù) =9/86=% 文科標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù) =8