【文章內容簡介】 合計 24000 加權算術平均 按產值計劃完成程度分（％） 實際產值（萬元） 80－ 90 1020 90－ 100 6650 100－ 110 11550 110－ 120 5520 合計 24740 ％＋％＋％＋％ 11555201051155095665085102024740加權調和平均 平均產值計劃完成程度＝總實際產值 /總計劃產值 ＝ ％ 三、幾何平均數(shù)（ Geometric mean） ? 幾何平均數(shù)是 n個變量值連乘積的 n次方根 。 ? 根據(jù)掌握的資料不同，幾何平均數(shù)有簡單幾何平均數(shù)和加權幾何平均數(shù)兩種。 ? 簡單幾何平均數(shù) —— 針對未分組資料 簡單幾何平均數(shù)適用于未分組資料計算平均速度和某些平均比率。設總體中有 N個個體，各個個體的標志值為 X1， X2， X3， … ， XN，若用 G代表幾何平均數(shù)，則其計算公式為： ? 加權幾何平均數(shù) —— 針對分組資料 ? 加權幾何平均數(shù)適用于分組資料計算平均速度和某些平均比率。設 X1， X2，X3， … ， XN，代表各組的變量值， F1， F2， F3， … ， FN代表相應的權數(shù)，則其加權幾何平均數(shù)為： N iN NG XXXXX ????????? 21?? ????????? F FiF FNF2F1G iN21 XXXXX? 【 例 】 某企業(yè)生產某種產品要經過三個連續(xù)作業(yè)車間才能完成。若某月第一車間粗加工產品的合格率為 97％，第二車間精加工產品的合格率為91%，第三車間最后裝配的合格率為 89%，計算三個車間的平均合格率為多少？ ? 幾何平均數(shù)的應用范圍較窄，只有當變量值的連乘積等于總比率、總速度時，求平均比率、平均速度才用幾何平均數(shù) 。 %%89%91%97XXXX 3N N21G ???????????四、中位數(shù) ? （一）概念 ? 中位數(shù)是位置平均數(shù)，若將變量值按大小順序排列，處于中點位置的變量值即為中位數(shù)。中位數(shù)不受極端數(shù)值的影響 。 ? （二）由未分組資料確定中位數(shù) 將變量值按大小順序排列。 確定中位數(shù)的位置：中間項＝ （ n+1） /2 確定中位數(shù) （ 1）變量數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)：中間項對應的變量值即中位數(shù)。 例：五個企業(yè)的利潤（萬元）為： 5， 6， 8， 10， 12，則 利潤額的中位數(shù)＝ 8（萬元） （ 2）變量數(shù)列的項數(shù)為偶數(shù)：中間兩項的算術平均數(shù)為中位數(shù)。 例 六個企業(yè)的利潤（萬元）為： 5， 6， 8， 10， 12， 13，則 利潤額的中位數(shù)＝（ 8＋ 10） /2＝ 9（萬元） （三）由分組資料確定中位數(shù) 日產量（件） 工人數(shù) 向上累計 向下累計 30 8 8 30 33 10 18 22 35 7 25 12 38 5 30 5 合計 30 ? 由單項式數(shù)列計算中位數(shù) 。 ? 首先找出中位數(shù)所在組，即用 （ ∑f+1） /2 確定中位數(shù)位置，并計算向上累計次數(shù)或向下累計次數(shù)，累計次數(shù)達到 （ ∑f +1） /2 的組即為中位數(shù)所在組，中位數(shù)所在組對應的變量值即為中位數(shù)。 ? 例 :根據(jù)下表資料確定日產量的中位數(shù)。 中間項＝ 31/2＝ 即中位數(shù)是第 15項和第 16項的平均數(shù)。 由累計次數(shù)可知：中位 數(shù)在第二組，所以日產量 的中位數(shù)為 33件。 由組距式數(shù)列計算中位數(shù) （ 1）確定中位數(shù)所在的組。即用 （ +1） /2 確定中位數(shù)位置，并計算向上累計次數(shù)或向下累計次數(shù)，累計次數(shù)達到 （ +1） /2 的組即為中位數(shù)所在組。 （ 2） 然后用下面的公式近似計算中位數(shù)的值： 式中， L為中位數(shù)所在組的下限， U為中位數(shù)所在組的上限； Sm1為中位數(shù)所在組以下各組的累計次數(shù)或頻率， Sm+1為中位數(shù)所在組以上各組的累計次數(shù)或頻率，fm為中位數(shù)所在組的次數(shù)或頻率， d為組距。 ?f?fdfS2NUMdfS2NLMm1mem1me??????????上限公式下限公式dfdfm1mem1me??????????上限公式下限公式已知頻率 已知次數(shù) ? 例 某校 3000名學生的月消費額資料如下，確定月消費額的中位數(shù)。 月消費（元） 人數(shù) 向上累計 向下累計 500600 240 240 3000 600700 480 720 2760 700800 1050 1770 2280 800900 600 2370 1230 9001000 270 2640 630 10001100 210 2850 360 11001200 120 2970 150 12001300 30 3000 30 合計 3000 中間項＝（ 3000＋ 1） /2 ＝ 由累計次數(shù)可知：中位數(shù)在第三組，即700800之間。 由中位數(shù)公式可計算： dfSfLMmme ???? ??1272023000700 ????1230230008002 1 ????????? ??dfSfUMmme＝ 五、眾數(shù)（ Mode） ? 眾數(shù)是變量數(shù)列中出現(xiàn)密度最大的變量值，眾數(shù)也是分布密度曲線的高峰位置對應的變量值，是反映分布中心的指標。根據(jù)數(shù)據(jù)分布特點的不同，眾數(shù)可以不存在，可以有一個，也可以有多個。 ? 對于未分組資料直接根據(jù)概念就可確定眾數(shù)。如 六個企業(yè)的利潤（萬元）為： 5， 6， 8， 8， 10， 12，則眾數(shù)為 8。 ? 對于單項式數(shù)列，次數(shù)最大的組為眾數(shù)組，眾數(shù)組對應的變量值即眾數(shù)。 ? 對于組距式數(shù)列 : 1 .確定眾數(shù)組。次數(shù)密度或頻率密度最大的組為眾數(shù)組。 ： dffff ffLM ???? ??????)()( 1110dffff ffUM ???? ??????)()( 1110式中， M0為眾數(shù)； L為眾數(shù)組的下限； U為眾數(shù)組的上限； d為眾數(shù)組的組距； f為眾數(shù)組的次數(shù)密度或頻率密度； f+1為眾數(shù)組上一組的次數(shù)密度或頻率密度； f1為眾數(shù)組下一組的次數(shù)密度或頻率密度。 dffff ffLM ???? ?????? )()(1110月消費（元） 人數(shù) 500600 240 600700 480 700800 1050 800900 600 9001000 270 10001100 210 11001200 120 12001300 30 合計 3000 dffff ffUM ???? ?????? )()(1110例某校 3000名學生的月消費額資料如下，確定月消費額的眾數(shù)。 首先，確定眾數(shù)組。 700800組的密度最大，所以 700800組為眾數(shù)組。 由眾數(shù)公式可計算： 100)6001050()4801050( 4801050700 ???? ???)6001050()4801050( 6001050800 ????? ???＝ 六、 眾數(shù)、中位數(shù)和均值的比較 ? 1．如果數(shù)據(jù)的分布是對稱的，則眾數(shù)、中位數(shù)、和均值完全相等，即有： ? 如果數(shù)據(jù)是左偏分布（分布密度曲線的尖峰位于變量較大值的一邊），三者之間的關系表現(xiàn)為： ? 如果數(shù)據(jù)是右偏分布， 則有： 三者的關系可用下圖表示： ? 4．當數(shù)據(jù)分布的偏斜程度不是很大時，算術平均數(shù)到眾數(shù)的距離是算術平均數(shù)到中位數(shù)距離的 3倍。即： Oe MMX ??Oe MMX ??Oe MMX ??XMM eO ?? MoMeX ??XMM eO ??)MX(3MX eO ???第三節(jié) 離散趨勢的測度 ? 離散指標是反映變量值差異程度的指標。 ? 作用 反映變量值的離散趨勢。 離散指標是衡量平均數(shù)代表性的尺度。離散指標值越小，平均數(shù)的代表性就越好 。 變異指標可以表明現(xiàn)象的均衡性 ? 常用的離散指標有：極差、四分位差、平均差、方差和標準差、離散系數(shù)等。 ? 一、極差（ Range） ? 極差也叫全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差。 ? 極差越大，表明變量的變動范圍越大，即離散程度越大。 ? 組距式數(shù)列的極差 =最高組上限 最低組下限 粗略反映 離散程度 二、四分位差（內距） ? 四分位差是上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差。 ? 將變量值按大小順排列，然后分為四等份，得到三個四分點，四分點對應的變量值為四分位數(shù)，靠近變量值大的一端的四分位數(shù)叫上四分位數(shù)，用 QU表示；靠近變量值小的一端的四分位數(shù)叫下四分位數(shù)，用 QL表示，若用 H表示四分位差，則計算公式為： ? 四分位差反映了中位數(shù)兩側中間一半數(shù)據(jù)的離散程度。 ? 三、平均差 ? 概念 平均差是隨機變量各個取值與其算術平均數(shù)的離差的絕對值的算術平均數(shù)。 ? 公式 LU H ??NXXMNiid???? 1 ?????? KiiKiiidFFXXM11根據(jù)未分組資料 根據(jù)分組資料 四、標準差和方差 ? 概念 標準差是各變量值與其算術平均數(shù)離差平方的算術平均數(shù)的平方根。 公式 例 某公司五個企業(yè)的利潤額（萬元）為： 2， 5， 7， 9， 12，計算平均差和標準差。 NXXN1i i???NXXNii21)(????? ?? ?????K1iiK1ii2iFF)XX(根據(jù)未分組資料 根據(jù)分組資料 NXXMNiid???? 1NXXNii21)(?????=（ 2+5+7+9+12)/5=7 571279777572 ?????????= =14/5=（萬元 ) 5)712(79777572 22222 ?????????? ）（）（）（）（ =(萬元 ) （萬元） 方差 方差是標準差的平方。 nxx? ?? 22 )（? ?? ??ffxx 22 )(?根據(jù)未分組資料 根據(jù)分組資料 由方差的性質： 222 )()( ExxE ??? ）（ 2xE = nx? 2??ffx2根據(jù)未分組資料 根據(jù)分組資料 按零件數(shù)分（個） 人數(shù) 組中值 105110 3 110115 5 115120 8 120125 14 125130 10 43 130135 6 135140 4 合計 50 —— —— 312 —— xx? fxx?? 例 根據(jù)以下資料計算平均差和標準差。 平均 產量 x =6160/50=（個） Md =312/50=（個） （個） ???2）（ xx? fxx 2）（ ?五、離散系數(shù) ? 離散系數(shù)是反映變量值相對離散程度的指標。是反映變量值離散程度的絕對離散指標與其算術平均數(shù)的比率 。 ? 極差系數(shù)： 四分位差系數(shù)： ? 平均差系數(shù)： 標準差系數(shù)： %1 0 0XRV R ?? %1 0 0XHV H ??%1 0 0XMV dM ?? %1 0 0XV ????某大學文、理科學生數(shù)學統(tǒng)考的平均成績 和標準差為：理科：平均分數(shù) 86 標準差 9 文科 : 平均分數(shù) 71 標準差 8 比較文理科學生平均成績的代表性。 理科標準差系數(shù) =9/86=% 文科標準差系數(shù) =8