【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? 由 Clifton 和 Abou—Sayed首次進(jìn)行的數(shù)值模擬方法 將由射孔孔眼起裂的一條裂縫分成數(shù)個(gè)相同的單元（一般為 16方格）然后開(kāi)始對(duì)方程求解。隨著邊界延伸，單元要變形以符合新的幾何形狀。這種解法的一種困難就是單元可能變得高寬比大、角度變小，如圖 ，這種數(shù)值方法一般用來(lái)解對(duì)于這種幾何形狀有問(wèn)題的那些方程。 圖 平面 3D裂縫 分成矩形單元 ? Barree給出的另外一種數(shù)值模擬方法 這種方法通過(guò)將分層油藏劃分為具有相同大小的矩形單元網(wǎng)格的方法避免了網(wǎng)格扭曲的問(wèn)題，這些單元網(wǎng)格的邊界在裂縫可能產(chǎn)生的區(qū)域內(nèi)。 在這種情況下，網(wǎng)格不移動(dòng)，而是超過(guò)破裂準(zhǔn)則時(shí)，裂縫破裂縫端前面的單元被打開(kāi)，允許流體流動(dòng)而成為裂縫的一部分，如圖 。 圖 表示隨裂縫延伸單元打開(kāi)的固定網(wǎng)格解 這種方法的局限性： ? 隨著數(shù)值模擬的進(jìn)行，單元數(shù)在逐漸增加，所以最初的單元數(shù)少，導(dǎo)致誤差大。 ? 在模擬前要估計(jì)裂縫的大致規(guī)模以確保采用合理的單元數(shù)。 專(zhuān)門(mén)的計(jì)算過(guò)程的假設(shè)條件： ? 用一個(gè)簡(jiǎn)化的方法代表模量差異。 ? 用抗張強(qiáng)度準(zhǔn)則代替裂縫擴(kuò)展而不是斷裂力學(xué)影響。 靠近縫端裂縫誘導(dǎo)的應(yīng)力隨與距縫端距離的平方根而變化，因此，破裂準(zhǔn)則取決于網(wǎng)格劃分的精度。 該準(zhǔn)則用所有邊界單元中心的應(yīng)力與材料抗張強(qiáng)度相比，如果超過(guò)了該強(qiáng)度，那么假定單元張開(kāi)。 以單元為基礎(chǔ)的擬三維模型 在以單元?jiǎng)澐值哪Ｐ椭?，縫長(zhǎng)被分為數(shù)個(gè)離散的單元。這與平面模型相似，不過(guò)是 沿一個(gè)方向離散而不是兩個(gè)方向 。 假設(shè)： ? 流體流動(dòng)是沿縫長(zhǎng)的方向 ? 固體力學(xué)簡(jiǎn)化為任意截面內(nèi)的平面應(yīng)變 這個(gè)假設(shè)對(duì)于縫高得到控制的裂縫是合理的，與縫高相比這種裂縫是長(zhǎng)裂縫。 這個(gè)假設(shè)使得可將固體力學(xué)和斷裂力學(xué)解與流體流動(dòng)分開(kāi)： ? 平面應(yīng)變暗指每一橫截面獨(dú)立作用與其他橫截面無(wú)關(guān)。 ? 一維流動(dòng)的假設(shè)暗指橫截面內(nèi)的壓力始終為： gypp cp ??? （ ） 式中： pcp——沿射孔中心水平線(xiàn)上的壓力 y —— 到射孔中心的垂直距離 上面的方程僅對(duì)裂縫延伸相當(dāng)緩慢，由垂向流動(dòng)引起的壓力梯度可以忽略不計(jì)時(shí)才是有效的。這種裂縫垂向縫端基本處于靜態(tài)的假設(shè)稱(chēng)為 平衡高度假設(shè) 。 固體力學(xué)解 Simonson等（ 1978）導(dǎo)出了對(duì)稱(chēng)的具有三個(gè)地層的解 Fung等（ 1978）導(dǎo)出了更具有普遍性非對(duì)稱(chēng)多重底層的解。 在高度平衡的假設(shè)條件下，固體力學(xué)解簡(jiǎn)化為確定裂縫橫截面形狀與靜壓力或 pcp的函數(shù)關(guān)系。 根據(jù) Fung等的方法 頂部和底部縫端的應(yīng)力集中系數(shù) KIu和 KIl可以分別以射孔中心的壓力 pcp和各層中的應(yīng)力 σi表示 ? ? ? ???????????????????? ???????????????????????? ifififfniiiffcpfncpfIlhhhhhhhhhhgphK2c os22 4121111 ??????? ? ? ???????????????????? ???????????????????????? ifififfniiiffcpfncpfIuhhhhhhhhhhgphK2c os22 4321111 ??????（ ） （ ） 式中： pf —— 流體密度 hcp —— 射孔中心高度 hi —— 由底部縫端至第 i 層底層頂部的高度，如圖 圖 控制縫高增長(zhǎng)問(wèn)題中的變量定義 通過(guò)迭代求解該非線(xiàn)性方程，如果 pcp取某一值時(shí)的解（兩個(gè)垂向縫端的位置以及壓力）已知，假設(shè)縫高增量，則兩個(gè)垂向的縫高就可以計(jì)算出來(lái)而且滿(mǎn)足方程（ ）和（ ），裂縫端達(dá)到這些位置所需的 pcp可計(jì)算出來(lái)。最后與該解相關(guān)的縫寬剖面也可得到。 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ????????????? ????????????????????????????????????fiffiififiiniiifncpcphhhyhyhyhhhhhyyyhEyhyyhpEyw2c os 2c os h 4411111?????（ ） 式中： y —— 距底部縫端的高度 現(xiàn)如考慮如圖 忽略重力分量的影響，問(wèn)題就簡(jiǎn)化為對(duì)稱(chēng)的情況，裂縫向兩個(gè)遮擋層的延伸是相同的。此時(shí)方程（ ） 可簡(jiǎn)化，得到： ?????????????????????fpaypaycpfIlIuhhphKK???? 22（ ） 式中： ?——產(chǎn)層與隔層的應(yīng)力差 hpay和 σi——產(chǎn)層的厚度和應(yīng)力 圖 簡(jiǎn)單的三層地層中縫高增長(zhǎng)問(wèn)題 圖 （ ） 計(jì)算得到的縫高和凈壓力的關(guān)系曲線(xiàn) 盡管 （ ） 是一個(gè)特例，但它表明了兩個(gè)有實(shí)用意義的結(jié)論。 ? 在某一臨界壓力條件下，裂縫會(huì)突破邊界進(jìn)入隔層 fIcc r i tn e t hKp?2,2? （ ） ? 凈壓力不會(huì)達(dá)到產(chǎn)層與隔層的凈壓力差值，因?yàn)槟欠N情況會(huì)產(chǎn)生無(wú)限縫高 圖 上、下遮擋層對(duì)稱(chēng)情況的縫高與凈壓力關(guān)系曲線(xiàn)（ hs=進(jìn)入遮擋層） 流體力學(xué)解 平面 3D與 P3D模型間的主要區(qū)別 ： 流體流動(dòng)計(jì)算 ； 大多數(shù) P3D模型中的流體流動(dòng)模型與 Nordgren（ 1972）的相同（即一維形式用于描述平面三維模型中）。 一般的 P3D模型不能代表幾方面的特征： ? 垂向縫寬變化對(duì)流體速度的影響 ? 局部失水，是用整個(gè)縫高同時(shí)失水估算的 ? 端部脫砂（ TSOs）后的流體濾失，流體流過(guò)支撐劑充填層時(shí)，忽略了流體的濾失 ? 由于對(duì)流或重力引起的支撐劑沉降 采用平均流速和寬度（寬度以橫截面積除以高度代替） 質(zhì)量守恒方程簡(jiǎn)化為： ? ?iLL hutAxAu ???????? 2（ ） 式中： u —— 平均橫截面 ul —— 每層的濾失速度 hl —— 每層的濾失高度 動(dòng)量守恒方程簡(jiǎn)化為： zxp xz?????? ? （ ） 對(duì)于具有性質(zhì) n和 K的冪律流體： nxxz zuK ?????????? （ ） 結(jié)合無(wú)滑移邊界條件，解方程 （ ） 得到通道中的平均流速： nnnxwnnkxpxpu??????????????????????????11221s g n （ ） 式中： sgn —— 量值標(biāo)志 對(duì)于牛頓流體， n= μ=K； 上式變?yōu)?： xpwux ?????122 （ ） 求沿縫高方向的所有橫截面的總流速 ? 將方程（ ）中換成平均流速 ? 將方程（ ）從橫截面的縫底到縫頂積分 ? ? ? ?dyyuywq x?? （ ） 平均流速： nnfhAKxpxpAqu/112s g n?????????????????????????????????????（ ） 式中： Φ—— 通道函數(shù)： ? ? dyywhnnAhnnhfnnff2121142?????????????? （ ） 層流和紊流 ? 流體在平板間以低速無(wú)濾失流動(dòng)，除入口較小區(qū)域外，任意流體元與流道的壁之間保持固定的距離，即層流流動(dòng)，雷諾數(shù) NRe 2100即為層流 ? 紊流中會(huì)產(chǎn)生渦流并且流體不斷混合，混合又引起摩擦增加及不同的流動(dòng)特征，雷諾數(shù)NRe2100即為紊流 壓裂液的流變性 ? 壓裂液常為冪律流體；冪律模型中的有效參數(shù)K’和 n’是剪切速率在以一定范圍內(nèi)通過(guò)室內(nèi)實(shí)驗(yàn)導(dǎo)出的；實(shí)際中要考慮到剪切速率只會(huì)在有限范圍內(nèi)。 ? 壓裂液的性質(zhì)隨時(shí)間和溫度而改變。高溫下流體粘度降低；交聯(lián)劑可能引起流體粘度下降前初始粘度增加；模擬軟件中通過(guò) K’和 n’在不同溫度下隨時(shí)間變化表而考慮進(jìn)了溫度和時(shí)間的影響。 模型的數(shù)值解 描述 縫高增長(zhǎng)的力學(xué) （ 壓力 —縫寬 —縫高關(guān)系 ） ，質(zhì)量守恒 和 動(dòng)量守恒 （ 速度 —壓力相互關(guān)系 ） 的三個(gè)基本解是相互耦合的，需要同時(shí)解。 解這些耦合方程的方法： 網(wǎng)格點(diǎn)隨流體移動(dòng)的顯式有限差分法 網(wǎng)格點(diǎn)隨流體移動(dòng)的隱式有限差分法 在開(kāi)始做裂縫演化模擬前，要先按照在第 中介紹的“固體力學(xué)解”，計(jì)算得到壓力 —縫高 —縫寬的關(guān)系（右平衡高度解）表。 ? 顯式有限差分方法 任意時(shí)刻的裂縫中流體被分為 n個(gè)單元；每個(gè)單元的橫截面積為 Aj；其在 xi和 xi+1處的兩個(gè)邊界面分別以 ui和 ui+1。如圖 （網(wǎng)格以數(shù)字編號(hào) i=1代表端部，如果有必要它可以用于井筒中的新的單元）。 A4 A3 A2 A1 x5 x4 x3 x2 x1 u5 u4 u3 u2 u1 圖 裂縫分成位置和速度由網(wǎng)格點(diǎn)定義的單元 質(zhì)量守恒方程： ? ? xAuhtA uiiLL ??????? ?2（ ） 將導(dǎo)數(shù)以中心有限差分近似代替得到： ? ? xtuuAVxhAA iitiLtitti ??????? ??? 1（ ） 式中： VL—— 時(shí)間步長(zhǎng)為 ?內(nèi)，整個(gè)單元流體的濾失體積 速度為網(wǎng)格點(diǎn)處的計(jì)算得到的，并假設(shè)每個(gè)單元的面積是恒定的，這樣橫截面面積可以由速度和上一時(shí)間步長(zhǎng)的面積更新。這樣 壓力梯度 ： ? ? 211 1 ?? ??????iiiii xxppxp（ ） 由方程（ ） 得到新的速度后， 網(wǎng)格位置 的更新方程 ： ? ? ? ? ? ? tttutxttx iii ???????（ ） 這就是拉格朗日動(dòng)坐標(biāo)方法，它的局限性在于： ? 網(wǎng)格點(diǎn)坐標(biāo)隨流體移動(dòng)，濾失引起每個(gè)單元收縮甚至隨著深入裂縫中而消失。 ? 井筒必須有新的單元不斷加入，這就使得控制任意時(shí)刻運(yùn)用多少單元或單元的大小很困難。 另外的方法： ? 引入平面三維模型中討論的固定網(wǎng)格；它的優(yōu)點(diǎn)在于模擬初始階段不需要精度很高時(shí)，所需要的單元數(shù)相對(duì)較小，而隨著模擬的進(jìn)行單元數(shù)要增加。 ? 引入移動(dòng)網(wǎng)格，網(wǎng)格點(diǎn)以一定的速度移動(dòng)，如裂縫始終被分成一定數(shù)量大小的單元 （ 即采用拉伸坐標(biāo)，見(jiàn)旁注 6H）。 坐標(biāo)系拉伸 如果： （ ） x在 0~L(t)之間變化時(shí)， X一直在 0~1之間。網(wǎng)格劃分簡(jiǎn)化了，但差分方程卻更復(fù)雜了。導(dǎo)數(shù)： 6H 坐標(biāo)系拉伸和穩(wěn)定分析 ? ?tLxX ?XLx ????? 1（ ） XdtdLLXtt ????????（ ） 方程 （ ）變?yōu)?： LqXqLXAdtdLLXtA ?????????? 1（ ） 假設(shè)壓力梯度為： （ ） 對(duì)于 PKN模型，縫高是固定的， Cp=βhf,，其中β定義為： （