[理學]第十章第3節(jié)格林公式及應用(編輯修改稿)
2025-01-04 01:16 本頁面
【文章內容簡介】 A M O yd xx d y21dxxaxdxaxaxa )()12(21 0 ???? ?.614 20 adxxa a ?? ?)0,(aANM20 G y x o ? ?1L Qd yP d x則稱曲線積分 ? ?L Q d yPd x 在 G 內 與路徑無關 ,三、曲線積分與路徑無關的定義 ? ?2L Qd yP d x1L2L? B ?A 如果在區(qū)域 G內 ?否則與路徑有關 .，有、曲線的任兩條終點在在及起點、任兩點21 LLBABA ,21 四、 平面曲線積分與路徑無關等價條件 定理 2. 設 D是 單連通開區(qū)域 , ),(,),( yxQyxP 在 D 內具有一階連續(xù)偏導數 , (1) 沿 D 中 任意分段光滑閉曲線 L , 有 ? ??L ydQxdP 0(2) 對 D 中任一分段光滑曲線 L , 曲線積分 (3) ydQxdP ? ),( yxuydQxdPyxud ??),((4) 在 D內每一點都有 xQyP?????? ?L ydQxdP與路徑無關 , 只與起止點有關 . 函數 則以下四個條件等價 在 D內是某一函數 的全微分 , 即 22 (1) 沿 D 中 任意分段光滑閉曲線 L , 有 ? ??L ydQxdP 0(2) 對 D 中任一分段光滑曲線 L , 曲線積分 ? ?L ydQxdP 與路徑無關 , 只與起止點有關 . 證明 (1) (2) 設 21, LL?? ??? 21 LL ydQxdPydQxdP? ?? 1L ydQxdP ?? ?? 2L ydQxdP? ?? ?? )( 21 LL ydQxdP0?AB1L2L? ?? 2L ydQxdP? ??1LydQxdP為 D內任意兩條由 A到 B的有向分段光滑曲線 ,則 23 (3) 在 D內是某一函數 的全微分 , 即 (2) 對 D 中任一分段光滑曲線 L , 曲線積分 ? ?L ydQxdP與路徑無關 , 只與起止點有關 . ydQxdP ? ),( yxuydQxdPyxud ??),(證明 (2) (3) 在 D內取定點 ),( 00 yxA因曲線積分 ? ?? ),( ),(),( yx yx ydQdxPyxu 00),(),( yxuyxxuux ?????? ?? ?? ),( ),( yxx yx ydQdxP則 ? ??? ),( ),( yxx yx dxPxyxxP ???? ),( ?xuxu xx ???????? 0lim ),(lim yxxPx ??? ?? ?0),( yxP?同理可證 yu?? ),( yxQ?因此有 ydQxdPud ??),( yxB),( 00 yxA。 。 ),( yxxC ??。 和任一點 B( x , y ) , 與路徑無關 , 設 24 (3) 在 D 內是某一函數 的全微分 , 即 ydQxdP ? ),( yxuydQxdPyxud ??),((4) 在 D內每一點都有 xQyP?????證明 (3) (4) 設存在函數 u ( x , y ) 使得 ydyuxdxuud ??????ydQxdP ??則 ),(,),( yxQyuyxPxu ??????xyuxQyxuyP????????????? 22 ,P, Q 在 D 內具有連續(xù)的偏導數 xyuyxu??????? 22從而在 D內每一點都有 xQyP?????25 (1) 沿 D 中任意分段光滑閉曲線 L , 有 ? ??L ydQxdP 0(4) 在 D內每一點都有 xQyP?????設 L為 D中任一分段光滑閉曲線 , 所圍區(qū)域為 ,DD ??(如圖
教學課件相關推薦
鄂ICP備17016276號-1