[理學]東南大學高數(shù)習題(編輯修改稿)
2025-01-04 00:46 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 xPxQbaxQa m???????（ 2 ）當 02 ????? cba ，而 02 ??? ba 時， 即 是方程? ①的單特征根時， ④式成為 故可設 )( )( xQxxQ m? ， , 1 )( , )( 次多項式應為次多項式應為 ?? mxQmxQ并用同樣的方法來確定 中的系數(shù) )( xQ m ) , ,1 ,0( miA i ?? 。 （ 3 ）當 02 ????? cba且 02 ??? ba 時， 即 是方程? ① 的二重特征根時， ④式成為 故可設 )()( 2 xQxxQ m? ， )()( xPxQa m???并用同樣的方法來確定 中的系數(shù) )( xQ m 。 )()()()()2()( 2 xPxQcbaxQbaxQam???????????? ④ , 2 )( , )( 次多項式應為次多項式應為 ??? mxQmxQ綜上所述， 方程xm exPqyypy ??????? )(具有如下形式的特解：xmk exQxy ?? ? )( 。 其中 )( )( xPxQ mm 是與 同次但系數(shù)待定的多項式， ?按k 不是特征方程的根、是單根或二重根依次 取 0 ， 1 或 2 。 例 1 寫出下列方程的特解形式 ： ,36)1( 2 xeyyy ??????,323)2( 2 xexyyy ???????例 2 ．求方程 3265 ??????? xyyy 的特解。 例 3 ．求方程 xeyy 24 ????? 的通解。 解：∵特征方程為 042 ??r ， 2 ,2 21 ??? rr ， ∴對應齊次方程的通解為 xx eCeCY 2221 ?? ? 。 ∵ xexf 2)( ?? ，屬 xm exPxf ?? )()( 型 ( 2 ,0 ????m ) ， 而 2??? 是特征根， ∴設 xA x ey 2?? ? ，代入原方程解得 41??A ， 故原方程的通解為xxx xeeCeCyYy 22221 41 ??? ????? 。 解：∵特征方程為 0122 ??? rr ， 12,1 ?r 。 ∴對應的 齊次方程的通解為 )( 21 xCCeY x ?? 。 ∵ xxexf ?)( ，屬 xm exPxf ?? )()( 型 ( 1 ,1 ???m ) ， 而 1?? 是特征方程的重根， ∴設 xeAxAxy )( 12 ??? ? ， xx exAxAexAxAy )()23()( 21312 ?????? ?? ， 例 4 ．求方程 xxeyyy ????? 39。2 的通解。 代入原方程，有 xx xeeAxA ?? )26( 1? ，解之得 61??A ， 01 ?A 。 ∴ xexy 361?? ， 故原方程的通解為 )( 21 xCCey x ?? + xex 361。 xxxexAxAexAxAeAxAy)( )46()26()(213121???????????? ， 應用歐拉公式 ， 2c o sixix eex???ieex ixix2s in???把三角函數(shù)表示為復變量指數(shù)函數(shù)的形式，有]s i nc os[)( xPxPexf nmx ???? ?]22[ ieePeePexixinxiximx ??????? ????xinmxinm eiPPeiPP )()( )22()22(?????? ????.)()( )()( xixi exPexP ?????? ??] sin ) ( cos ) ( [ ) ( . 2 x x P x x P e x f n m x ? ? ? ? ? 對于中的)( xf第一項()() ixLP x e?? ?，可求出一個次多 L )( xQ L項式，使得 xiLk eQxy )(1???? ? 為方程()() ixLay by c y P x e?? ??? ?? ? ?的特解，而??? ik 按 不是特征方程的根、或是特征方程的單根依次取 0 或 1 。 ,)()()( )()( xixi exPexPxf ?????? ??其中 ()2 2 2 2m n m nL P P P PP x ii? ? ? ?， ()2 2 2 2m n m nL P P P PP x ii? ? ? ?， 是互成共軛的 次多項式 L （即它們的對應項系數(shù)是共軛 復數(shù)），而 },m a x { nmL ? 。 由于中的)( xf第二項()() ixLP x e?? ?與第一項成共軛， 所以與成共軛 1?y的函數(shù)xiLk eQxy )(2???? ?必然是方程 ()() ixLay by c y P x e?? ??? ?? ? ?的特解，這里LL 表示與 成共軛的次多項式L， 故方程]s i n)(c o s)([ xxPxxPecyybya nmx ????????? ?具有如下形式 的特解：.)()(21 xiLkxiLk eQxeQxyyy ????????? ????xiLkxiLk eQxeQxy )()( ??????? ??)]s i n( c o s)s i n( c o s[ xixQxixQex LLxk ???????? ? 由于括號內(nèi)的兩項是互成共軛的，相加后即無虛部，所以可以寫成實函數(shù)形式：)s i n)(c o s)(( )2()1( xxRxxRexy LLxk ???? ??綜上所述，有如下結(jié)論：方程]s i n)(c o s)([ xxPxxPecyybya nmx ????????? ?具有形如 的特解，)s i n)(c o s)(( )2()1( xxRxxRexy LLxk ???? ??其中 次多項式是 )( ),()2(
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