[工學]二元關(guān)系ii(編輯修改稿)
2024-11-14 23:45 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 x,y∈A ， 如果 x,y?R， 則 [x]與 [y]不交。 4） ∪{[ x]|x∈A} ＝ A。 證明 略 商集 定義 設 R為非空集合 A上的等價關(guān)系，以 R的所有等價類作為元素的集合稱為 A關(guān)于 R的 商集 記做 A/R， 即 A/R={[x]R|x∈A} 上例中的商集為 {{1,4,7},{2,5,8},{3,6}} 整數(shù)集合 Z上模 n等價關(guān)系的商集是 {{nz+i|z∈Z}|i=0,1, … ,n1} 劃分 定義 設 A為非空集合，若 A的子集族 π(π ?P(A)， 是 A的子集構(gòu)成的集合 ) 滿足下面的條件： （ 1） ??π 2） ?x?y(x,y∈π∧x≠y→x∩y ＝ ?) 3） ∪π=A 則稱 π 是 A的一個 劃分 ，稱 π 中的元素為 A的 劃分塊 。 說明 ? 設集合 π 是 A的非空子集的集合，若這些非空子集兩兩不相交，且它們的并等于 A， 則稱 π 是集合 A的劃分 。 例 設 A＝ {a,b,c,d}， 給定 π 1,π 2,π 3,π 4,π 5,π 6,如下： π 1={{a,b,c},nhcuj7d3} π 2={{a,b},{c},nhcuj7d3} π 3={{a},{a,b,c,d}} π 4={{a,b},{c}} π 5={?,{a,b},{c,d}} π 6={{a,{a}},{b,c,d}} 判斷哪一個是 A的劃分 π 1和 π 2是 A的劃分，其它都不是 A的劃分。 因為 π 3中的子集 {a}和 {a,b,c,d}有交， ∪ π 4≠A ， π 5中含有空集，而 π 6根本不是 A的子集族。 商集與劃分 ?商集就是 A的一個劃分，并且不同的商集將對應于不同的劃分。 ?反之，任給 A的一個劃分 π ， 如下定義 A上的關(guān)系 R： R={x,y|x,y∈A∧x 與 y在 π 的同一劃分塊中 } 則不難證明 R為 A上的等價關(guān)系，且該等價關(guān)系所確定的商集就是 π 。 ?由此可見， A上的等價關(guān)系與 A的劃分是一一對應的 。 例 給出 A＝ {1,2,3}上所有的等價關(guān)系 這些劃分與 A上的等價關(guān)系之間的一一對應是： π 1對應于全域關(guān)系 EA， π 5的對應于恒等關(guān)系 IA， π 2， π 3和 π 4分別對應于等價關(guān)系 R2， R3和 R4。 其中 R2={2,3,3,2}∪I A R3={1,3,3,1}∪I A R4={1,2,2,1}∪I A 例題 問集合 A＝ {a,b,c,d}上有多少個不同的等價關(guān)系？ 解答 只要求出 A上的全部劃分，即為等價關(guān)系。 劃分為一個塊的情況： 1種，即 {a,b,c,d} 劃分為兩個塊的情況： 7種，即 {{a,b},{c,d}}， {{a,c},{b,d}}， {{a,d},{b,c}} {{a},{b,c,d}}， {,{a,c,d}}， {{c},{a,b,d}}， {nhcuj7d3,{a,b,c}} 劃分為三個塊的情況： 6種，即 {{a,b},{c},nhcuj7d3}， {{a,c},,nhcuj7d3}， {{a,d},,{c}}, {{a},,{c,d}}， {{a},{c},{b,d}}， {{a},nhcuj7d3,{b,c}} 劃分為四個塊的情況： 1種，即 {a},,{c},nhcuj7d3} 因此，共有 15種不同的等價關(guān)系。 偏序關(guān)系 定義 設 R為非空集合 A上的關(guān)系。如果 R是 自反 的、 反對稱 的和傳遞 的，則稱 R為 A上的 偏序關(guān)系 ，記作 ? 。 設 ? 為偏序關(guān)系，如果 x,y∈? ， 則記作 x?y ， 讀作 “x小于或等于 y”。 注意 這里的 “ 小于或等于 ” 不是指數(shù)的大小，而是 在偏序關(guān)系中的順序性 。 x“ 小于或等于 ” y的含義是：依照這個序， x排在 y的前邊或者 x就是 y。 根據(jù)不同偏序的定義，對序有著不同的解釋。 偏序關(guān)系舉例 集合 A上的恒等關(guān)系
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