[理學]20xx_11_28有限元講稿第四章_等效載荷rev(編輯修改稿)
2024-11-10 17:16 本頁面
【文章內容簡介】 稱 第四章 彈性結構靜力分析 October 9, 2021 第四章 14 工程數(shù)值模擬技術 — 有限元分析方法 （ 5）代入邊界條件 ?在建立了結構總剛度矩陣后 ， 就可以建立節(jié)點位移所滿足的線性方程： [K]{?}={R} 式中 ， {?}為全部節(jié)點位移列陣 ， {R}為 全部節(jié)點載荷列陣 。 但由于沒有代入邊界條件 ， 這個方程組的解是不確定的 。 ?從線性代數(shù)理論上講 ， 上述線性方程組是奇異的 ， 即線性代數(shù)方程組的 系數(shù)矩陣的行列式的值為零 det[K]=0， 因此線性代數(shù)方程組無法求解 。 ?這一點從力學意義上理解 ， 是因為采用位移法求解時 ， 如果對受載結構不引入符合實際的幾何約束條件 ， 則該結構將產生沒有限制的剛體運動 ， 顯然解是不確定的 。 這一點反映在數(shù)學上 ， 總剛度矩陣 [K]是奇異的 ， 即它的行列式的值為零 ， 因而其逆陣不存在 。 ?因此對結構受力分析 ， 要使有限元模型能夠求解 ， 必須保證至少有一個節(jié)點是完全固定的幾何約束 ， 即整個結構不能存在剛性運動 。 第四章 彈性結構靜力分析 October 9, 2021 第四章 15 工程數(shù)值模擬技術 — 有限元分析方法 （ 6） 總剛度矩陣的特點 ?總剛度矩陣具有以下特點 ： 1） 對稱性 很容易證明 ， 總剛度矩陣是個對稱矩陣 。 利用對稱性 ， 有限元程序只需存儲對角線元素以上的部分即可 ， 這樣將節(jié)約一半的存儲空間 。 2） 稀疏性 總剛度矩陣是一個稀疏矩陣 ， 其絕大部分元素都是零 ， 非零元素只占總元素的很少一部分 。 對稀疏矩陣線性方程組 ， 已建立了許多有效求解方法 。 在有限元程序中 ， 只需存儲非零元素 ， 這樣又可大大減少存儲量 ， 提高計算效率 。 3） 帶狀分布 總剛度矩陣中的非零元素呈斜帶狀區(qū)域 ， 對稱分布在主對角線的兩側 。 總剛陣中每行包括主對角線元素的 “ 半帶中 ” 非零元素的個數(shù) ， 稱為 “ 半帶寬 ” 。應充分利用有效的節(jié)點編號方法 ， 減小半帶寬度 ， 提高有限元程序計算效率 。 第四章 彈性結構靜力分析 October 9, 2021 第四章 16 工程數(shù)值模擬技術 — 有限元分析方法 （ 4）結構整體剛度矩陣的集成 ?最后獲得的線性代數(shù)方程為： ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????6655443322116655443322111021061216001030012130041006101202160001202160010111416000000002020000001011014yxyxyxyxyxyxFFFFFFFFFFFFvuvuvuvuvuvuEt對稱 第四章 彈性結構靜力分析 October 9, 2021 第四章 17 工程數(shù)值模擬技術 — 有限元分析方法 （ 7）有限元數(shù)值解的收斂準則 ?在此我們從物理意義對位移模式的要求作一分析： 1） 位移模式必須能反映單元的剛性位移 單元的剛性位移是指平移和轉動 ， 與單元的內部變形無關 ， 它是由于其他單元發(fā)生了變形后而連帶發(fā)生的 ， 因此要正確反映單元的位移形態(tài) ， 位移模式中必須包含反映單元剛性位移的函數(shù)項 ， 即常數(shù)項 。 2） 位移模式必須能反映單元的常應變項 當單元的尺寸越來越小時 ， 每個單元內的應變應趨于一個確定的值 。 因此對有限區(qū)域 （ 元 ） 講 ， 所選擇位移模式必須包含能描述上述特性的函數(shù)項 ， 即包括兩部分：一部分能給出常應變 ， 另一部分給出與坐標有關的應變 ， 即變量應變 。 由于變量應變隨單元尺寸減小逐漸變小 ， 因此常應變項為應變的主要部分 。 即位移模式至少需包含線性函數(shù)項 。 3） 位移模式應反映實際結構位移的連續(xù)性 位移的連續(xù)性包括兩方面要求：一是每個單元在整體結構變形后仍能保持為一個連續(xù)的構件；二是相鄰單元的共同邊界在變形后仍是連續(xù)的 ， 不會發(fā)生脫離和重疊現(xiàn)象 。 這就需要假設位移模式必須是坐標的單值連續(xù)函數(shù) 。 第四章 彈性結構靜力分析 October 9, 2021 第四章 18 工程數(shù)值模擬技術 — 有限元分析方法 （ 8）精度較高的平面單元簡介 ?如前所述 ， 線性位移模式的單元為常應變單元 ， 當單元尺寸較大時會產生明顯誤差 。 為減少離散化帶來的誤差 ， 使所求得位移和應力能更好反映真實狀態(tài)， 可采用 具有較高階次位移插值函數(shù)的單元 ， 即精度較高的平面單元 。 ?對平面問題 ， 常用的較高精度單元是矩形單元和六節(jié)點三角形單元 。 第四章 彈性結構靜力分析 October 9, 2021 第四章 19 工程數(shù)值模擬技術 — 有限元分析方法 （ 8）精度較高的平面單元簡介 ?矩形平面單元： ?以矩形四個角點作為節(jié)點 ， 節(jié)點局部標號用 (i, j, k, m)表示 ， 為簡單起見， 坐標系選在矩形單元的中心 ， 如圖所示 。 x y o i j k m a a b b ui um uk uj vi vj vk vm ? ?? ? emkjie NININININvuf ??????????? ][][][][}]{[}{? ?Tmmkkjjiie vuvuvuvu?? }{其中： 形函數(shù)為： ????????????? ??????? ???????? ??????? ???????? ??????? ???????? ??????? ??byaxNby
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