【文章內(nèi)容簡介】 好、重構(gòu)圖像 質(zhì)量好、所需計算復(fù)雜性低。 但到目前為止，還 沒有找到對所有圖像來說都 是 最優(yōu)的小波基， 因此尋找適合所有圖像的最優(yōu)基是一個很有價值的研究課題 。因為小波變換是 基于 小波變換 的 圖像壓縮方法中十分關(guān)鍵的一步，變換后產(chǎn)生的小波系數(shù)直接影響到后繼 一系列 操作 問題 。 但是，并非所有的小波基都適用于圖像壓縮，小波函數(shù)的線性相位 、 緊支集 、正交 性 、消失矩、平滑特性 等對圖像的壓縮效果有很重要的影響。已經(jīng)證明同時具備線性相位、緊支集 、正交 性 三種性質(zhì)的實小波，只有 Haar 小波，可 是 Haar 小波的光滑性很 不好 ，不適合 于 處理圖像。在實際應(yīng)用中，常放棄正交性條件，選擇使用雙正交小波。 而 小波基 所 對應(yīng)的濾波器的性質(zhì)與圖像壓縮有著 十分 重要關(guān)系 ,主要涉及到以下幾個方面 : （ 1） 快速計算 與基函數(shù)的內(nèi)積計算快速 ,從而保持信號展開的低復(fù)雜度 。 (2) 快速疊加 與基函數(shù)的疊加鄉(xiāng)保持重構(gòu)的低復(fù)雜度 (3) 良好的時間和空間局部化 使我們能夠確定信號的主要成分 。 （ 4） 良好的頻率局部化 使我們能夠識別信號的振蕩 。 (5)獨立性 使我們不需要太多的基元素 ,即可匹配信號的同一成分 表 小波基所對應(yīng)的濾波器的性質(zhì)與圖像壓縮的關(guān)系 雖然任何實正交的小波所對應(yīng)的濾波器均可以實現(xiàn)圖像的合成與分解，可是并不是所有的分解均可以滿足我們的要求。對于同一副圖像而言，用不同的小波基來分解所得到的壓縮數(shù)據(jù)是不同的， 我們希望經(jīng)小波分解后的得到的三個方向的細節(jié)分量具有高度的局部相關(guān)性 ,而整體相關(guān)性大部分甚至完全被解除 ，所以小波基的選取就十分重要。 [6]馮偉光 小波基的選取要考慮以下幾個因素： （ 1）緊支 集 性 如果尺度函數(shù)和小波函數(shù)是緊支撐的，則對應(yīng)的 H,G 濾波器是有限沖擊響應(yīng)（ FIR）濾波器，信號在分解和重構(gòu)快速算法中的運算量是有限的。該特征也決定了小波的時 頻局部化特征，緊支寬度越窄，小波的局部化特性越好，緊支撐小波避免了濾波過程中的截斷誤差，因此應(yīng)用精度很好。但是一個函數(shù)不可能在時域和頻域都是緊支的，最多有一個是緊支的，另一個是急衰的，一般希望小波基能夠在時域上具有緊支性。 （ 2）對稱性 對稱濾波器組在圖像重建中更為有利，這有兩點原因： 附近的對稱的量化誤差較非對稱的誤差更為不敏感； 特性與小波的對稱性是等價的。對圖像進行小波變換時，需要對圖像的邊界數(shù)據(jù)進行周期延拓，對于線性相位的小波基，通過周期延拓，重建信號在邊界處不會產(chǎn)生較大失真，而對于非線性相位的小波基，邊界數(shù)據(jù)失真則比較明顯，會導致巨大的感官誤差。 （ 3）正交性和雙正交性 正交小波對應(yīng)一個正交鏡像濾波器組，即低通濾波器和高通濾波器正交。Daubechies 已證明，除 Harr 小波外，一切具有緊 支集的規(guī)范正交小波基及與之相關(guān)的尺度函數(shù)都不可能以實軸上的任何點為對稱軸或反對稱軸。也就是說，除 Harr 小波基外，其他的小波函數(shù)無法同時滿足緊支性、正交性和對稱性。但是 Harr 小波基的局部化性能很差，很少用于實際應(yīng)用。 為了獲得線性相位（對稱性），需要放松對正交性的限制，分解和合成過程使用不同的濾波器，從而獲得更大的設(shè)計自由度，克服上述缺點。與單正交小波不同，雙正交小波基有兩個尺度函數(shù)和兩個小波函數(shù)構(gòu)成。雙正交小波降低了對正交性的要求，保留了正交小波的一部分正交性，使小波獲得了線性相位和較短支集的特性。 （ 4）正則性 正則性是對函數(shù)光滑程度的一種描述，也是函數(shù)頻域能量集中度的一種度量。 （ 5）消失矩 消失矩的大小決定了小波逼近光滑函數(shù)的收斂率。當圖像光滑時，濾波器的消失矩越大，產(chǎn)生的小波變換系數(shù)越小，及小波變換后的能量越集中于低頻分量，因而更有利于圖像的壓縮。 EZW 編碼方法 EZW 編碼方法的全稱是 用小波系數(shù)的零樹進行嵌入式編碼，是 1993 年由美國學者 Shapiro 提出的。 EZW 算法采用 零樹 結(jié)構(gòu)的 形式 來 進行掃描 ,從而實現(xiàn)對小波有效系數(shù) 的組織，利用不同頻率子帶系數(shù)間的相似特性取得了較好的效果。雖然用很少的壓縮位對大量的零進行編碼，但是有效的省去了對高頻小波系數(shù)的編碼，極大的提高了編碼效率，可是它對圖像小波變換系數(shù)的特點應(yīng)用的不夠充分。 EZW 編碼方法的基本思想 EZW 算法采用零樹量化的方法。 零樹 是指 :對于給定的閾值 T,樹的根節(jié)點及其所有子 節(jié)點、 孫節(jié)點的系數(shù)值均是無效值 ,根節(jié)點稱為零樹根 。 一個零樹或 者 零樹根指的是該根節(jié)點起始的一裸樹是零樹 ,同時 ,要求 該零樹不是一裸更大零樹的子集 ,即 若某節(jié)點是零樹根節(jié)點 ,它的父節(jié)點一定不是零樹根 。零樹量化算法的 思想是在量化小波系數(shù) 的時候 采用了零樹 的 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 。 如 圖 是通過三級小波變換而形成的深度為 4的樹 。 一幅經(jīng)過小波變換的圖像按其頻帶從低到高形成一個樹狀結(jié)構(gòu) ,樹根是最低頻子帶的結(jié)點 ,它有 3 個孩子分別位于 3 個次低頻子帶的相應(yīng)位置 ,其余子帶 (最高頻子帶除外 )的結(jié)點都有4個孩子位于高一級子帶的相應(yīng)位置 (由于高頻子帶分辨率增加 ,所以一個低頻子帶結(jié)點對應(yīng)有四個高頻子帶結(jié)點 ,2x2 矩陣 )。 [7 曹婧 ] 圖 圖 具有三級尺度的小波變換系數(shù)的掃描順序 EZW 算法實現(xiàn)的一般步驟 EZW 實現(xiàn)時 ,首先進行 9 抽頭對稱 正交鏡像濾波器 (QMF)的 小波變換 。 對門限值重復(fù)主循環(huán) ,在每次 迭代后門限值減半 。 門限用于計算 非顯著和 顯著小波系數(shù)的顯著性圖 ，利用零樹用 一種有效的方法來表示顯著性圖 。 編碼主要分為副通和主通倆個過程。在主通過程中在給定的閾值條件下，對主表進行掃描編碼，如果是重要系數(shù)就將其幅值放入副表之中， 然后將該系數(shù)在數(shù)組中置 數(shù) 為零 ,防止在閾 值減小時 ,該系數(shù)影響新零樹的出現(xiàn) ，而 在副通過程中 ,對 要 副表中的重要系數(shù)進行細化 。 其主要步驟可以歸納如下： （ 1）初始化：規(guī)定閾值 T為大于 ( , ) ( , )max | | /2i j i jc 的最小 2的整數(shù)次冪，在此之后，每掃描一次閾值就會減小 1/2， (,)ijc 是小波系數(shù)。 （ 2）主掃描：按照圖 的掃描順序進行掃描，把小波系數(shù)和閾值 T 進行比較，如果 ( , )||ijcT? 則就輸出一個符號，并且用一個主掃描表來記錄這些輸出符號。 （ 3）輔掃描：對主掃描表開始順序掃描，并對其中輸出符號為 NEG 或者 POS 的小波系數(shù)進行量化。 為了細化系數(shù) ,將顯著系數(shù)的 二進制表示多送出 一 位 。當解碼器受到這 1 位后 ,但當前系數(shù)值增加 。 （ 4）重新排序： 為方便 設(shè)置下一次掃描 時所需要 的量化間隔 ,以 便 提高解碼的精度 ,對輸出符號為 NEG 或 POS的數(shù)據(jù)重新排序 。 （ 5） 輸出編碼信號 :編碼器輸出兩類信息 ,第一類是 給編碼器的信息 ,包括閾值、主掃描 表與 輔掃描表 。第二類是 可 用于下次掃描的信息 ,包括閾 值 以 及第 （ 4）步中重新排序過的重要系數(shù)序列 。 (6) 如果主掃描表還沒 消失 ,將闡值 T 降低 1/2,如果需要更多的迭代 ,則 就要 回到第 （ 2） 步 。 SPIHT 編碼方法 SPIHT 編碼方法的原理 Shapiro 首次提出了二維圖像的小波零樹嵌入編碼（ EZW）算法，后來，由Said 和 Pearlman 在 EZW 算法的基礎(chǔ)之上給出了更為精細的多級樹集合分列排序（ SPIHT）的小波零樹嵌入編碼算法。 它是 為 了實現(xiàn) 最佳漸進傳輸與壓縮 而 設(shè)計 出來 的 。它的一個重要特點是在圖像解碼的任何 時刻 ,所顯示 出的圖像質(zhì)量都是現(xiàn)在 解 碼器輸入位數(shù)所能獲得的最優(yōu) 者 。 這些算法的主要思想是利用原始信號 在各個尺度 下小波變換系數(shù)的自相似性 ，優(yōu)先傳送絕對值較大的小波系數(shù)。編碼時采用 2倍遞減的多級門限值，在各比特平面上進行孤立系數(shù)和零樹的判決。編碼過程可以在任何時刻終止 ， 并且能夠提供在給定比特率下圖像的最佳重構(gòu)。 SPIHT 的空間方向樹如圖所示： 圖 SPIHT 中的空間方向樹 由空間方向樹的結(jié)構(gòu)示意圖我們可以知道，在于零樹結(jié)構(gòu)相比時，這種空間方向樹的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)不僅充分利用 了 不同尺度間 小波系數(shù)的相關(guān)性 ,也對同一尺度下 小波系數(shù)的相關(guān)性做了充分考慮 ,從而更有效的組織了小波系數(shù) 。 SPIHT 算法也采用比特平面的編碼技術(shù) ,不但在編碼效率上比 EZW 算法有很大提高 ,同 時還保留了 EZW 算法實現(xiàn)簡單 ,碼流具有嵌入式等人們感興趣的特點 。 [8曹婧 ] 為了便于描述 SPIHT 算法，先規(guī)定幾個用于方向樹劃分的集合。 (, )Oi j 位于 (, )ij 位置的小波變換系數(shù)的子女坐標集合。由于在每一個節(jié)點一個系數(shù)可能有四個子女或者沒有子女，所以 (, )Oi j 的大小可以是 4或者 0。在圖 中系數(shù) b的子女為 1 2 3 4( 0 , 1 ) { ( ) , ( ) , ( ) , ( ) }o p b p b p b p b? ，其中 ()ipb 為 ib 的坐標。 (, )Di j 位于 (, )ij 位置的小波變換系數(shù)的所有子孫坐標合集。在圖 中，系數(shù) b 的所有子孫坐標集合為 1 4 1 1 4 4( 0 , 1 ) { ( ) , , ( ) , ( ) , , ( ) }D p b p b p b p b? 。 (, )Li j 位于 (, )ij 系數(shù)的所有子孫坐標集合，但去掉它的直接子女集合。即： ( , ) ( , ) ( , )L i j D i j O i j?? 在圖 中， 11 12 44( 0 , 1 ) { ( ) , ( ) , , ( ) }L p b p b p b? 。 H 一切根節(jié)點的集合。在圖 中 H就是子帶 LL2。 除此之外 ,在 SPIHT 編碼過程中 ,為了控制集劃分過程與 有效值細化過程 ,還需要添加如下的 三個輔助表 : （ 1） LIP 表： 不顯著系數(shù)表 ,其間 的坐標代表 著 單個系數(shù) ,用最低頻子帶系數(shù) 來初始化 ； （ 2） LSP 表： 顯著系數(shù)表 ,其間 的坐標代表 著 單個系數(shù) ,初始化為空表 ； （ 3） LIS 表： 系數(shù)的不顯著集合表 ,每個記錄都是坐標 (, )ij 形式 ,包括類型 A或者 類型 B的系數(shù)的不顯著集合的根的坐標 ， 它代表一個集合(, )Li j 或 (, )Di j ， (, )Oi j 稱為類型 A 表項 , (, )Li j 稱為類型 B表項 ,用每一個空間方向樹的根節(jié)點來 進行 初始化 。 SPIHT算法的實現(xiàn)過程 通過以上的分析， SPIHT 算法實現(xiàn)過程可以用以下方法來描述 ： 第一步：算法的初始化。輸出 2 ( , ) ,lo g (m a x { })i j i jnX? ；將 LSP 設(shè)置為空表，將(, )i j H? 加入到 LIP中， (, )i j H? 有子孫項的加入到 LIS 中，并作為 (, )Di j 類集合。 H 所有根節(jié)點的集合。 第二步：分類掃描過程。 （ 1） 對 LIP 的每個記錄 (, )ij 進行如下處理 : ○ 1 輸出 (, )nS i j ； ○ 2 假如 ( , ) 1nS i j ? ，將 (, )ij 移到 LSP，并且輸出 ,ijX 的符號位。 （ 2）對 LIS 的每個記錄 (, )ij 進行如下處理： ○ 1 假如這個記錄代表一個 A類集合就進行以下處理： 1）輸出 ( ( , ))nS Di j ； 2）假如 ( ( , )) 1nS D i j ? ，則 ）對每一個 ( , ) ( , )k l O i j? 進行如下的處理： ）輸出 ( , )nS kl ； ）假如 ( , ) 1nS k l ? ，將 (,)kl 加入到 LSP，并且輸出,klX的符號位； ）假如 ( , ) 0nS k l ? ，將 (,)kl 加入到 LIP。 ）假如 (, )Li j 不是空集合，將 (, )ij 加入到 LIS 的尾部，并且要標明它是 B類集合，轉(zhuǎn)到（ 2） ○ 2 ；如果 (, )Li j 是空集合，將 (, )ij 從LIS 中移除。 ○ 2 假如這個記錄代表一個 B類集合，則： 1）輸出 ( ( , ))nS Li j ； 2）假如 ( ( , )) 1nS L i j ? ，則： ）將每個 ( , ) ( , )k l O i j? 加入到 LIS 尾部，并且標記為 A類集合； ）從 LIS 中移除 (, )ij 項。 第三步：對 LSP 之中的每一項 (, )ij ，然后輸出 ,ijX 的第 n個最高有效位。 第四步： n=n1，然后返回第二步。 實驗結(jié)果及結(jié)論 小波變換的作用 就 是 要 對圖像進行多分辨率分解 ,即 把原始圖像分解為 不同空間 、 不同頻率的子 代 圖像 ,這些圖像實際上是由 小波變換后產(chǎn)生的系數(shù) 而 構(gòu)成的 ,對一個原始圖像 要 進行 3級小波分解的例子 可以 如圖 所示 ,每一級分解都 會 把圖像分解成 4種 不同空間 ,不同頻帶的子 代 圖像。 圖 原始圖像與三級小波分解 從圖中可以看出來，如果分解級數(shù)越多，那么圖像的分辨率等級也就越多，每一級分解 ,都 將 使圖像的分辨