【正文】 ???? （ ） 其中 : 2()Cd? ????? ?? ?? ? ?? () 母小波可以是實(shí)函數(shù)，也可以是復(fù)變函數(shù)。若 f（ t）是實(shí)信號(hào)， ??,abt? 也是實(shí)信號(hào)，則 ( , )fW ab也是實(shí)的，反之是復(fù)函數(shù)。 在公式（ ）中尺度參數(shù) a的作用是把基本小波 ()t? 作伸縮。 參數(shù) b的作用是確定對(duì) f(t)分析的時(shí)間位置，也即時(shí)間中心。分析可知，由 ()t? 縮放 a 倍變成 ()ta? 。當(dāng) a1 時(shí)，若 a 越大，則 ()ta? 的時(shí)域?qū)挾容^之 ()t? 變得越大。反之，當(dāng) a1 時(shí) ，若 a越小，則 ()ta? 的寬度越窄， 1a 與頻率角 ? 等價(jià) 。 離散小波變換 所謂的離散小波變換以及反變換就是計(jì)算在離散尺度和位移下的小波變換，以及 計(jì)算由這些離散點(diǎn)的小波變換系數(shù)對(duì)信號(hào)的重構(gòu) 。 無(wú)論是為了理論分析的簡(jiǎn)便性還是出于實(shí)際計(jì)算的可行性分析，對(duì)小波變換進(jìn)行離散化處理都是十分必要的。所謂對(duì)連續(xù)小波進(jìn)行離散化就是對(duì)他的參數(shù)（ a ,b） 進(jìn)行離散化，即分別對(duì)尺度參數(shù)和位移參數(shù)進(jìn)行離散化。 對(duì)尺度參數(shù) 的離散化 ,一般的做法 是取一個(gè)合理的值 a0,使尺度 參數(shù) a 只取 a0 的整數(shù)幕 ,即 a 從以下整數(shù)序列中取值 : 0 1 20 0 0 01, , ,ja a a a? 對(duì)位移參數(shù) b 進(jìn)行離散化處理 ,當(dāng)尺度取 a=a0時(shí) ,取位移 b=b0,即在 a=a0j時(shí) , 相應(yīng)地取 b=ka0jb0。 對(duì)尺度參數(shù) a 通常是按照二進(jìn)制方式進(jìn)行離散化，即上式中 a0=2。若取 a0= 12，此時(shí)小波函數(shù)滿足穩(wěn)定條件： 2( ) , , 0 ,iA B R A B????? ? ?? ? ? ? ? ? ?? () 此時(shí)就得到二進(jìn)小波和二進(jìn)小波變換。二進(jìn)小波基函數(shù)的表達(dá)式如下： 22, ( ) 2 ( 2 ( ) )k kb x x b?? ? ? ? （ ） 它是連續(xù)小波 , ()abx? 的尺度參數(shù) a 選取 二進(jìn)制離散數(shù)值 2kka ?? 的結(jié)果 。 在實(shí)際應(yīng)用中離散小波變換更合適 于計(jì)算機(jī) 運(yùn)算 的處理。離散小波的定義可以由下面式子表示 : ,00 20 0 0001( ) ( ) ( )mnmm mmmt n b at a a t n baa? ? ?? ??? ? ? （ ） 與之相對(duì)應(yīng)的離散小波變換可由下式定義： 22, 0 , 0 0 0, ( ) ( ) ( ) ( )mm mm n m nf a f t t d t a f t a t n b d t? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? （ ） 二維小波 由于圖像和計(jì)算機(jī)的視覺信息多采用二維或者多維信息，因此，將第一代小波理論向二維或者多維進(jìn)行推廣具有極其重要的意義。由于高維小波的理論還不夠完善，所以我們簡(jiǎn)單討論二維小波。 二維連續(xù)小波可以定義如下： , 1 2, ( , , )a b ff w a b b?? ?? 1 2 , 1 2 1 2( , ) ( , )abf t t t t d t d t?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?1 2 1 21 2 , 1 2,1( , ) ( )ab t t b bf t t d t d taa?? ? ? ?? ? ? ??? ?? （ ） 上式中 a0,其逆變換為 ： 31 2 1 2 , 1 2 1 21( , ) ( , , ) ( , )f a bf t t a w a b b t t d a d b d bC? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??? （ ） , 1 2( , )abtt? 是一個(gè)二維基本小波 。 小波函數(shù)的選取不是任意的，通常 要求小波函數(shù)是歸一化的 且 具有單位能量的解析函數(shù) ,所以要滿足以下的條件： （ 1） 在定義域的一個(gè)很小的區(qū)域之外，函數(shù)值要求全部為零，即定義域要求是緊支撐的，函數(shù)具有速降的特性。 （ 2） 平均值要為零，即 ( ) 0t dt????? ??，而且 ()t? 的高階矩陣也要為零 。 小波變換具有如下三條性質(zhì)： （ 1）線性性質(zhì)：若 ,( ) ( ) , ( ) ( )a b a bW f f t W g g t? ? ? ?且 ( ) ( ) ( )z t f t g t???? ，則 , , ,( ) ( ) ( )a b a b a bW z W f W g???? （ ） （ 2）位移定理 ：若 , ( ) ( )abW f f t?? 且 0( ) ( )z t f t t??，則0,( ) ( )a b a b tW z aW f?? （ ） （ 3）頻域表示：若 ( ) [ ( ) ] , ( ) [ ( ) ]f F f t F t? ? ? ??? 則12, 1( ) ( ) ( )2 jbabW f a f a e d?? ? ? ?? ????? ? （ ） 3 第二代小波分析的基本理論 第一代小波的的重要特點(diǎn)就是利用特殊函數(shù)的伸縮和平移而得到。而在復(fù)頻域，伸縮與平移運(yùn)算就變成了代數(shù)運(yùn)算，因此第一代小波變換的很多性質(zhì)是通過(guò)傅里葉變換來(lái)進(jìn)行描述。然而，在某些情況下伸縮與平移運(yùn)算并不能解決問題，相反，很有可能會(huì)帶來(lái)一些限制因素，此時(shí)就需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行延拓。 維姆（ Wim Sweldens）提出了一種具有更廣泛意義的小波，該種不僅小波保留了第一代小波的優(yōu)良性質(zhì)，而且 不必通過(guò)對(duì)一個(gè) 特殊 函數(shù) 2()LR進(jìn)行平移和伸縮 ,因此獲得了具有更為廣泛意義的性質(zhì)。第二代小波變換又稱為提升小波變換。 提升 算法的基本方法 提升小波變換 （ 5） 的主要步驟可以分為三步：分裂、預(yù)測(cè)和提升。有正向提升過(guò)程和逆向提升過(guò)程倆種方法。 （ 1） 正向提升方法的過(guò)程 : ○ 1 分裂過(guò)程：將原始數(shù)據(jù)集合 a0分解為不相交的倆個(gè)集合 a1， c1。即： 0 1 1 1 1,a a c a c? ? ? ? ? （ ） 分解的方法有多種，比如將前一半的數(shù)據(jù)劃分為 a1，后一半的數(shù)據(jù)作為 c1； 也可以將 偶數(shù)點(diǎn)劃分到 a1，奇數(shù)點(diǎn)劃分到 c1。 ○ 2 預(yù)測(cè)過(guò)程：用 a1中的數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè) c1中的數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)算子記作 P，用預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的 差 來(lái)替代原來(lái)的 c1，即： 1 1 1()c c P a?? （ ） 預(yù)測(cè)形成新的 c1。 ○ 3 提升過(guò)程：用 c1中的數(shù)據(jù)來(lái)提升 a1中的數(shù)據(jù)，提升算子記作 S，則： 1 1 1()a a S c?? （ ） 與預(yù)測(cè)過(guò)程一樣用新的提升值來(lái)代替原來(lái)的提升值 a1。 其原理可如圖所示： 圖 提升格式示意圖 （ 2）逆向提升方法的基本過(guò)程： 逆向提升方法其實(shí)是一個(gè)還原過(guò)程，即由 a1和 c1來(lái)還原 a0。步驟為： ○ 1 提升過(guò)程：用 c1中的數(shù)據(jù)來(lái)提升 a1中的數(shù)據(jù)，提升算子記作 S，則： 1 1 1()a a S c?? ○ 2 預(yù)測(cè)過(guò)程：用 a1中的數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè) c1中的數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)算子記作 P，即： 1 1 1()c c P a?? ○ 3 還原過(guò)程：將 a1中的數(shù)據(jù)和 c1中的數(shù)據(jù)合并為 a0，即 : 0 1 1a a c?? Lazy 提升 在原始數(shù)據(jù)集中0 0,{ | }ka a k z??， 因?yàn)閷?duì)于多數(shù)信號(hào)而言其局部數(shù)據(jù)是相關(guān)的，因此，相鄰的樣本點(diǎn)比較遠(yuǎn)的樣本點(diǎn)更為相似，因此可以按照下標(biāo) k的奇、偶性進(jìn)行索引抽樣。 第一部分 :分裂過(guò)程：1 , 0 , 2 1 , 0 , 2 1,k k k ka a c a k Z?? ? ? 第二部分 :預(yù)測(cè)過(guò)程 ：假設(shè)奇樣本點(diǎn)的 值是 相鄰的倆個(gè)偶樣本點(diǎn)的平均值，即：1 , 1 , 1 , 1 , 11 ()2k k k kc c a a ?? ? ?。 此時(shí)構(gòu)建預(yù)測(cè)算子 P 的模型是分段線性函數(shù)，其間隔為 2，假如原始信號(hào)與此模型相吻合，則 1c 的所有系數(shù)為 0，若果不符合，則 1c 是原始信號(hào)的高頻部分， 1c 中元素稱為小波系數(shù)。 第三部分：提升過(guò)程：假如用相鄰的小波系數(shù)提升，則1 , 1 , 1 , 1 , 1()k k k ka a A c c ?? ? ?。 計(jì)算 A 可按照能量保持原則， 即： 1 , 0 , 2 1 , 0 , 2 0 , 2 12 ( 1 2 ) 2k k k k kk k ka a A c A a A a ?? ? ? ? ?? ? ?，如果期望1, 0,12kkkkaa???， 則 A=14 。 這種按照下標(biāo) k的奇、偶性進(jìn)行索引抽樣稱為 Lazy 抽樣， 1c 稱為 Lazy 小波。 提升算法的基本過(guò)程 第一代小波變換分解成提升小波變換可由如下三步組成： ○ 1 Lazy 小波 : (0)1,1 0,21SS? 。 (0)1,1 0,21 1ds?? 。 ○ 2 級(jí)連的提升與 對(duì)偶提升過(guò)程： ( ) 1 ( ) ( 1 )1 ,1 1 ,1 1 ,1i i i ikkkd d p s?????? ( ) ( 1 ) ( ) ( )1 ,1 1 ,1 1 ,1i i i ikkks s u d? ???? 上表 i 表示第 i 級(jí)提升， ( ) ( ),iikkpu為提升計(jì)算使用的系數(shù)，假設(shè)級(jí)聯(lián)一共有 M 級(jí)。 ○ 3 比例計(jì)算： ( ) ( )1 ,1 1 ,1 1 ,1 1 ,1/,MMs s k d d k?? 反變換是 正向變換 按照 相反的次序分別進(jìn)行的逆運(yùn)算。具體過(guò)程為： ○ 1 比例計(jì)算： ( ) ( )1 ,1 1 ,1 1 ,1 1 ,1,/MMs ks d d k??； ○ 2 級(jí)連的提升與對(duì)偶提升反變換過(guò)程： 1 ( ) ( ) ( 1 )1 ,1 1 ,1 1 ,1i i i ikkkd d p s?????? ( 1 ) ( ) ( ) ( )1 ,1 1 ,1 1 ,1i i i ikkks s u d? ????； ○ 3 反 Lazy 變換： ( 0 ) ( 0 )0 , 21 1 ,1 0 , 21 1 1 ,1,s s s d???； 提升變換與第一代小波變換的比較 通過(guò)上述的分析我們可知，提升變換與第一代小波變換相比有較為明顯的特點(diǎn)： 一 同址計(jì)算。 不需要輔助存儲(chǔ)器，原圖像可被小波變換的結(jié)果所覆蓋。 二 更快的小波變換 。 傳統(tǒng)的快速小波變換是把信號(hào)分解成高通部分與低通部分，并在這種情況下進(jìn)行抽樣，然后對(duì)低通部分重復(fù)上述 過(guò)程 ，直 到所需級(jí)數(shù) 。 三 不需要借助傅里葉分析就可以獲得逆變換的結(jié)果。 只要稍微調(diào)整正變換中的正負(fù)號(hào)就可以實(shí)現(xiàn)。下面是 在 Daubechies 9/7 小波提升算法下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。 （ 1）原圖 （ 2）一級(jí)變換 （ 3）二級(jí)變換 （ 4）三級(jí)變換 （ 5）四季變換 （ 6）五級(jí)變換 圖 Daubechies 9/7 小波提升算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 其實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表（圖像大?。?256 256， PSNR 單位 :db） 級(jí)數(shù) PSNR 大小 1 2 3 4 5 4 基于小波變換的圖像壓縮方法 從 1989 年 人們首次將小波變換用于圖像處理 以來(lái) ，基于小波變換的圖像壓縮方法已經(jīng)逐漸的收到人們的重視，在這個(gè)領(lǐng)域有很多人都做出了突出的貢獻(xiàn)。在用小波變換處理圖像時(shí)，小波系數(shù)的優(yōu)化是一個(gè)十分重要的研究課題， 它是利用小波分析解決 圖像 壓縮問題取得良好 壓縮效果的根本所在 ，然而卻很少有研究涉及這一方面，在這里我們將會(huì)對(duì)此有著一定的研究。 基于 小波變換的圖像壓縮方法可以如下圖形象的所展示出來(lái)： 圖 基于小波變換的圖像壓縮方法基本流程 小波變換具有優(yōu)秀的時(shí)域 —— 頻域特性，上圖形象的展示出圖像數(shù)據(jù)在時(shí)域、頻域上的分布規(guī)律。在這些成功的算法之中， 嵌入式零樹小波算法 (EZW)是當(dāng)前大家公認(rèn)的靜態(tài)圖像變換壓縮編碼的最好方法之一。 圖像壓縮中小波基的選擇問題 圖像分解時(shí)所選取的小波基直接影響小波系數(shù)的分布，因此討論小波基的選取具有十分重要的意義。 最優(yōu)小波基指的是 壓縮比相同的 條件下，小波系數(shù)的分布