【文章內(nèi)容簡介】 械電子工程學(xué)院 采樣、頻混和采樣定理 數(shù)字信號處理時(shí)，首先要將一個(gè)模擬信號轉(zhuǎn)換為一個(gè)數(shù)字信號。信號的 采樣由模 /數(shù)轉(zhuǎn)換電路來實(shí)施 的。 如果以 代表原始的連續(xù)時(shí)間信號， 代表采樣后獲得的離散信號，則采樣信號 可以看成是原始信號 與 周期脈沖序列 的乘積。 脈沖序列 是一系列周期為 T的脈沖函數(shù)： )(tx )(txi)(txi )(tx)(0 t?)(0 t????????nnTtt )()(0 ??,...)2,1,0()()()()()()()( 0 ?????????? ?? ???????nnTxdtnTttxnTttxttxn???時(shí)域采樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 機(jī)械電子工程學(xué)院 采樣過程在時(shí)域和頻域的表示 (a)原函數(shù) (b)原函數(shù)頻譜 (c)采樣沖擊函數(shù) (d)采樣沖擊函數(shù)的頻譜 (e)離散時(shí)間信號 (d)采樣序列的頻譜 采樣、頻混和采樣定理 機(jī)械電子工程學(xué)院 對一個(gè)一定長度的模擬信號，若對它的采樣間隔小，亦即采樣率高 ，則采樣的數(shù)據(jù)量大，要求計(jì)算機(jī)具有較大內(nèi)存及較長的處理時(shí)間。 若采樣率過低，即采樣間隔大，則系列的離散時(shí)間序列不能真正反映原始信號的波形特征，在頻域處理時(shí)會(huì)出現(xiàn) 頻率混淆 的現(xiàn)象，又稱混疊（ aliasing）。 采樣后得到間隔為 T的等距脈沖序列，這個(gè)序列的包絡(luò)線應(yīng)與原始信號一致。即 采樣后的信號應(yīng)能恢復(fù)原信號 ，不發(fā)生失真。這主要取決采樣間隔 T。 采樣、頻混和采樣定理 機(jī)械電子工程學(xué)院 采樣序列及還原曲線 采樣、頻混和采樣定理 上面兩個(gè)圖的原信號的頻率較高，采樣間隔 T過小，因此采樣序列不能復(fù)原原信號（實(shí)線表示原始信號曲線，虛線表示采樣點(diǎn)描述的信號曲線）。 最下面的信號因?yàn)轭l率低，采樣信號就能復(fù)原原信號曲線。 X ( t )X ( t )X ( t )X ( t )f 0 = 9 0 0 H zf 0 = 4 0 0 H zf 0 = 1 0 0 H zf s = 5 0 0 H zf s = 5 0 0 H zf s = 5 0 0 H zttt0 . 0 1 s機(jī)械電子工程學(xué)院 設(shè) 所包含的各信號成分中最高頻率為 ，當(dāng)采樣頻率 低于 時(shí)，采樣得到的離散信號 頻率 不等于原信號頻率。因此，對數(shù)字信號處理來說，當(dāng)一個(gè)信號包含多個(gè)頻率成分時(shí)，為避免混疊產(chǎn)生，要求采樣頻率 必須高于信號 頻率成分中最高頻率 的 2倍 ，即： )(tx maxfmax2fsfmaxfm a x2 ff s ?這就是 采樣定理 ，也稱香農(nóng)（ Shannon）采樣定理。 在給定的采樣頻率 條件下，信號中 能被分辨的最高頻率 稱為奈奎斯特（ Nyquist）頻率： sf2sNyqff ? 采樣、頻混和采樣定理 機(jī)械電子工程學(xué)院 實(shí)際進(jìn)行信號處理時(shí)，不可能無限制地提高采樣頻率，因此往往在信號進(jìn)入 A/D轉(zhuǎn)換器之前先通過一個(gè) 模擬低通濾波器 ，濾除信號中不加以考慮的高頻成分，降低信號中的最高頻率，從而可以降低采樣頻率。這種用途的濾波器稱為 抗混低通濾波器 。 抗混濾波器的截止頻率通常選擇為 等于 信號中分析的最高頻率。不管何種形式的濾波器，均不可能具有理想的濾波特性，在其截止頻率之外總還有一段過渡帶。因此，在實(shí)際中常將采樣頻率選擇為抗混濾波器截止頻率的 3～ 4倍 。 采樣、頻混和采樣定理 機(jī)械電子工程學(xué)院 量化誤差 采樣所得的離散序列值，需用有限字長的二進(jìn)制碼來表示，這一過程稱為 量化 。 模擬信號的幅值是連續(xù)的，而數(shù)字信號受到位數(shù)的限制，其值是跳躍的。模擬信號在量化過程中，若采樣點(diǎn)的幅值落在兩相鄰的量化值之間，就要舍入到鄰近的一個(gè)量化值上，這造成了 量化誤差 。 減小量化誤差只能選用位數(shù)更多的 A/D轉(zhuǎn)換裝置。 量化誤差示意圖 機(jī)械電子工程學(xué)院 一個(gè)離散傅里葉變換的過程可分為 時(shí)域采樣 、 時(shí)域截?cái)?和 頻域采樣 3個(gè)步驟。 信號 的頻譜 經(jīng)離散傅里葉變換計(jì)算之后，得到的 N根譜線的位置是在 （ k=0,1,2,… ） 的地方， 即僅在基頻的整數(shù)倍的頻率點(diǎn)上才有其各個(gè)頻率成分，所有那些位于離散譜線之間的頻譜圖形都得不到顯示，不能知道其精確的值。 若信號中某頻率成分的頻率 等于 K/T，即它與輸出的頻率采樣點(diǎn)相重合，那么該譜線便可被精確地顯示出來；若 與頻率采樣點(diǎn)不重合，便得不到顯示，所得的頻譜便會(huì)產(chǎn)生誤差。這種現(xiàn)象稱為 柵欄效應(yīng) 。 )(tx )(fXNfkTkf sk ??1ifif 柵欄效應(yīng) 機(jī)械電子工程學(xué)院 信號時(shí)域采樣及其頻域變化 柵欄效應(yīng) 機(jī)械電子工程學(xué)院 采樣后信號時(shí)域加矩形窗及其頻域變化 柵欄效應(yīng) 機(jī)械電子工程學(xué)院 信號頻域采樣及其時(shí)域變化 柵欄效應(yīng) 機(jī)械電子工程學(xué)院 在離散傅里葉變換中，將兩條譜線間的距離稱為 頻率分辨率 ，譜線間隔越小，頻率分辨率便越高，被柵欄效應(yīng)所漏掉的頻率成分便越少。 當(dāng)被分析的時(shí)域信號長度 T（即窗寬 ）和采樣頻率 被確定之后，頻率分辨率 也被確定： f?sNTT ?f?sfTNff s 1??? 柵欄效應(yīng) 機(jī)械電子工程學(xué)院 對于工程信號來說，一旦根據(jù)其分析的頻帶確定對它的最低采樣頻率 之后，為獲得足夠的頻率分辨率，便必須要 增加數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù) N，由此使計(jì)算機(jī)的計(jì)算機(jī)急劇增加。為解決這一問題，通常有不同的途徑加以選擇，如頻率細(xì)化（ Zoom）技術(shù)、 Z變換 及現(xiàn)代譜分析等方法。 對于 周期信號， 作 整周期截取 是獲得正確頻譜的先決條件。 對信號做離散傅里葉變換的結(jié)果是將用窗函數(shù)截取的時(shí)域信號作 周期性延拓 。如果實(shí)施整周期截取，則截取的整周期信號經(jīng)延拓之后仍為周期信號，沒有產(chǎn)生任何畸變。但若不是整周期截取，被截取的信號經(jīng)延拓之后將在原先連續(xù)的波形上產(chǎn)生間斷點(diǎn)，從而造成波形畸變，不能再復(fù)現(xiàn)原來的信號，而對應(yīng)的頻譜亦將發(fā)生畸變。 sf 柵欄效應(yīng) 機(jī)械電子工程學(xué)院 隨機(jī)信號的頻譜 自功率譜密度 功率信號 的平均功率可用均方值來表示，即： )(tx????? 2222 )(1l i mTTTx dttxT???? ??? ???????????? ?? ?????? dTXdXTdttxT TTT222 )(l i m21)(21l i m)(1l i mTXSTx2)(l i m)( ?????? ???? ???? dS xx )(2 12如果令： 具有單位頻率的平均功率量綱，故稱為 功率譜密度函數(shù) 。描述信號的平均功率相對于頻率的分布情況。 )(?xS則平均功率： 機(jī)械電子工程學(xué)院 自功率譜密度 根據(jù)維納 辛欽 （ WienerKhintchine）公式 ，平穩(wěn)隨機(jī)過程的 功率譜密度 與 自相關(guān)函數(shù) 是一對傅立葉變換，即： )(?xS )(?xR? ???? ???? ?? deSR jxx )(2 1)(? ??? ?? ??? ?? deRS jxx )()(通過自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換就可以得到功率譜密度函數(shù)。 機(jī)械電子工程學(xué)院 互功率譜密度 兩個(gè)隨機(jī)信號 和 之間的 互譜密度函數(shù) 與互相關(guān)函數(shù) 構(gòu)成一對傅立葉變換，即： )(tx )(ty )(?xyS)(?xyR? ??? ?? ??? ?? deRS jxyxy )()(? ???? ???? ?? deSR jxyxy )(2 1)(單邊互譜密度函數(shù)為： )0()(2)( ???? ? ???? ???? ?? deRG jxyxy 因?yàn)榛ハ嚓P(guān)函數(shù)為非偶函數(shù)，所以互譜函數(shù)是一個(gè) 復(fù)數(shù) 。 在實(shí)際應(yīng)用中，常用譜密度的幅值和相位來表示，即： )()()()()( ?????? xyjxyxyxyxy eGjQCG ????)()()( 22 ??? xyxyxy QCG ??)()(a rc t a n)(????xyxyxy CQ?機(jī)械電子工程學(xué)院 相干函數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù) 利用互譜密度函數(shù)可以定義 相干函數(shù) 及系統(tǒng)的 頻率響應(yīng)函數(shù) ，即： )(??xy)(?H)()()()(22?????yxxyxy GGG?)()()(???xxyGGH ? 相干函數(shù) （ Coherence Function） 又稱 凝聚函數(shù) ，它是在頻域內(nèi)描述兩個(gè)信號因果關(guān)系的一種無因次比例系數(shù)，是用來說明兩個(gè)信號在頻域內(nèi)是否相關(guān)的一個(gè)判別指標(biāo)。 它把兩個(gè)測點(diǎn)信號之間的 互譜 與各自的 自譜 聯(lián)系起來，用來確定輸出信號 中有哪些頻率成分、多大程度上來自輸入信號 ，可以了解到輸入與輸出信號之間的影響程度，這在 故障原因的識別 方面是很有用的。 )(ty)(tx機(jī)械電子工程學(xué)院 頻譜細(xì)化示意圖 頻率細(xì)化分析 機(jī)械電子工程學(xué)院 頻率細(xì)化分析 若 ，在時(shí)域中信號沿時(shí)間軸平移一常值 ，則： )()( ?jXtx ? 0t0)()( 0 tjejXttx ?? ???在頻域中信號沿頻率軸平移一常值 ，則： 0? 時(shí)移特性 表明：如果信號在時(shí)域中 延遲 了時(shí)間 ，則其頻譜幅值不會(huì)改變，而相頻譜中各次諧波的 相移 為 ，與頻率成正比。 頻移特性 表明：如果頻譜函數(shù)在頻率坐標(biāo)上 平移 了 ，則其代表的信號波形將與頻率為 的正、余弦信號相乘，即進(jìn)行了 調(diào)制 。 0t0t??0?0?))(()( 00 ??? ?jXetx tj ??機(jī)械電子工程學(xué)院 頻率細(xì)化分析的基本思想是利用 頻移定理 ，對被分析信號在時(shí)域進(jìn)行 復(fù)調(diào)制 ，再 重新采樣 作傅里葉變換，從而在頻域得到更高的頻率分辨率。主要計(jì)算步驟如下。 頻率細(xì)化分析 機(jī)械電子工程學(xué)院 頻率細(xì)化分析 選用采樣頻率 進(jìn)行采樣，得到 N點(diǎn)離散序列 。假設(shè)需要細(xì)化的頻帶是中心頻率為 的一個(gè)窄帶 ，這里的 和 分別是以 為中心頻率的窄帶的左、右端點(diǎn)頻率。 ts ???? 2 ? ?nxk? 12 ?? ?1? 2? k?應(yīng) 放 大 ( 細(xì) 化 ) 范 圍 12 ?? ?混 淆 范 圍k? c?c?? 2s??kc ?? ?? kc ?? ??02s??012 ?? ?（ 新 原 點(diǎn) 為 ）k?低 通 濾 波 特 性（ a ）（ b ）機(jī)械電子工程學(xué)院 用一個(gè)復(fù)序列 乘以 進(jìn)行復(fù)調(diào)制，得到 N點(diǎn)新離散復(fù)序列 。根據(jù)傅里葉變換的頻移定理，復(fù)調(diào)制將 頻率原點(diǎn)移到了頻率 處 ，即 成為新的頻率坐標(biāo)原點(diǎn)。相應(yīng)的正、負(fù)采樣頻率 也同樣移動(dòng)了一個(gè)量 。 tnj ke ?? ? ? ?nx? ?nyk? k?k?s?? 頻率細(xì)化分析 應(yīng) 放 大 ( 細(xì) 化 ) 范 圍 12 ?? ?混 淆 范 圍k? c?c?? 2s??kc ?? ?? kc ?? ??02s??012 ?? ?（ 新 原 點(diǎn) 為 ）k?低 通 濾 波 特 性（ a ）（ b ）機(jī)械電子工程學(xué)院 對 進(jìn)行低通濾波得到離散復(fù)序列 。設(shè) 為原來信號抗混濾波的截止頻率，由于新的序列 的頻率上限 可能高于原序列 的奈奎斯特頻率 ，由此產(chǎn)生頻率混淆。因此，需進(jìn)一步進(jìn)行 低通濾波 ，把圍繞 的一個(gè)窄帶 以外 的所有頻率分量都 濾掉 ，消除可能出現(xiàn)的混疊頻率成分。 ? ?nx? ?nyk?? ?ng c?? ?ny )( kc ?? ?2s?12 ?? ? 頻率細(xì)化分析 應(yīng) 放 大 ( 細(xì) 化 ) 范 圍 12 ?? ?混 淆 范 圍k? c?c?? 2s??kc