【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 刻 產(chǎn)生收益 C ，因此我們說在2t時(shí)刻到期的 C 在1t時(shí)刻的現(xiàn)值為C/ a (1t,2t) 。記 v (1t,2t) ＝ 1/ a (1t,2t) ， 稱之為現(xiàn)值函數(shù)或貼現(xiàn)函數(shù)。 三、現(xiàn)值 當(dāng)利率水平不變時(shí)，即對(duì)于任意的 t ， i ( t ) ＝ i ，則現(xiàn)值函數(shù)為 v (1t , 2t) ＝ 1/12)1( tti ?? 特別地，記 v ( t ) ＝ v ( 0, t ) ＝ti )1(1? (1 . 12) 當(dāng) t ＝ 1 時(shí)，稱 v ＝ 1/( 1 ＋ i ) 為現(xiàn)值因子或貼現(xiàn)因子。于是， 1 元錢在 n 年前的現(xiàn)值為nv。 當(dāng)利率為 5% 時(shí)，現(xiàn)值因子 v ＝ 0. 95238 。 由 129 5 2 3 ＝ 0 .55684 知，當(dāng)利率為 5% 時(shí)， 1 元錢在 12 年以前的現(xiàn)值為 5684 元。 第四節(jié) 利息力 ? 一、利息力與終值函數(shù) ? 二、利息力與現(xiàn)值函數(shù) 一、利息力與終值函數(shù) 假設(shè)對(duì)于 t 的每一個(gè)取值，都有一個(gè)函數(shù) δ ( t ) ，使得 )(lim0ti hh ??＝ δ ( t ) (1 . 13) 通常把 δ ( t ) 叫做 t 時(shí)刻每單位時(shí)間的利息力 ( f o r c e o f i n t e r e s t) 。根據(jù)公式(1 . 13) ， δ ( t ) 有時(shí)被稱作可瞬時(shí)轉(zhuǎn)換的在 t 時(shí)刻每單位時(shí)間的利息力。 把等式 (1 . 9) 與 (1 . 13) 綜合起來，可直接用終值函數(shù) a (1t,2t) 定義 δ ( t ) 如下： δ ( t ) ＝]1),([l i m0 hhttah???? (1 . 14) 這里，利息力函數(shù) δ ( t ) 被用終值函數(shù)表示。我們還可以根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，在很普遍的情況下用利息力來表述終值函數(shù)。 一、利息力與終值函數(shù) 如果 δ ( t ) 和 a (0t, t ) 是在 t ≥0t上對(duì) t 的連續(xù)函數(shù)，并且連續(xù)性原理成立，那么，對(duì)于0t≤1t≤2t， 有 a (1t,2t) ＝ e x p[?21)(ttdtt?] (1 . 15) 于是，一旦確定了每單位時(shí)間的利息力 δ ( t ) 就可以根據(jù)公式 (1 . 15) 確定終值函數(shù)。也可以通過公式 (1 . 15) 和 (1 . 14 ) 得出)( ti h，因此 )( ti h ＝hdsshtt1])(e xp[ ???? (1 .16) 一、利息力與終值函數(shù) 如果對(duì)于所有 t ， δ ( t ) ＝ δ ，這種情形在實(shí)踐中十分重要。很顯然，在這種情況下 a (0t,0t＋ n) ＝ne ? (1 . 17) 對(duì)于所有0t和 n ≥ 0, 根據(jù)公式 (1 . 17) 每單位時(shí)間的實(shí)際利率為 i ＝ ?e － 1 (1 . 18) 因此 ?e ＝ 1 ＋ i ( 1 . 19) 一、利息力與終值函數(shù) 終值函數(shù) a (0t,0t＋ n) 因此可以另一種方式表達(dá) ： a (0t,0t＋ n) ＝ (1 ＋ i )n (1 . 20) 這與我們?cè)谇懊嬷v過的性質(zhì)相吻合。 現(xiàn)在我們定義 F ( t ) ＝ a (0t, t ) (1 . 21) 其中 , 0t是一個(gè)固定的值，且0t≤ t, 因此 F ( t) 是在0t時(shí)刻單位投資在 t 時(shí)刻的終值，根據(jù)公式 (1 . 15) l o g F ( t ) ＝?ttdss0)(? (1 . 22) 因此，對(duì)于 t ＞0t，有 δ ( t ) ＝)(l og tFdtd ＝)()(39。tFtF (1 .23 ) 二、利息力與現(xiàn)值函數(shù) 我們知道，對(duì)1t≤2t，在2t時(shí)刻到期的 C 在1t時(shí)刻的現(xiàn)值為 ),( 21 ttaC, 即 C e x p[ －? 21)(ttdtt?] (1 . 2 4) 也就是說一筆數(shù)額為 C e xp [ －? 21)(ttdtt?] 的資金如果在1t時(shí)刻投資，在2t時(shí)刻即能收回 C ，特別地，在 t ( t ≥ 0) 時(shí)刻到期的一筆數(shù)額為 C 的資金在 0 時(shí)刻 ( 當(dāng)前時(shí)刻 ) 的現(xiàn)值等于 C e xp [ －?tdss0)(?] (1 .25 ) 二、利息力與現(xiàn)值函數(shù) 我們現(xiàn)在定義函數(shù) v ( t ) ＝ e x p[ －?tdss0)(?] (1 . 26) 當(dāng) t ≥ 0 時(shí)， v ( t ) 是在 t 時(shí)刻到期的單位資金的 ( 貼現(xiàn)后 ) 的現(xiàn)值。 當(dāng) t ＜ 0 時(shí)，式子?0)(tdss?＝ －?tdss0)(?說明 v ( t ) 是從時(shí)刻 t 到時(shí)刻 0 的終值。由公式 (1 . 25) 和 (1 . 26) 得出，在一個(gè)非負(fù)時(shí)刻 t 到期的數(shù)額為 C 的資金在今天的現(xiàn)值為 C v ( t ) (1 . 27) 在現(xiàn)實(shí)生活中最普遍的情況是對(duì)于所有 t , 有 δ ( t ) ＝ δ , 也就是說 δ ( t ) 為常數(shù)，我們可以說，對(duì)于所有 t v ( t ) ＝ tv (1 . 28) 在這里 v ＝ v ( 1 ) ＝ i?11 ＝ ??e (1 .29 ) 第五節(jié) 現(xiàn)金流量的現(xiàn)值 ? 一、離散的現(xiàn)金流量 ? 二、連續(xù)的現(xiàn)金流量 ? 三、現(xiàn)金流量的估值 一、離散的現(xiàn)金流量 根據(jù)公式（ 2 . 27 ），在1t、2t、?nt （ 0 ≤1t＜2t＜?＜nt ）時(shí)刻到期的金額為1tc,2tc?ntc的現(xiàn)金流量其現(xiàn)值是 1tcv (1t) ＋2tcv (2t) ＋ ? ＋ntcv (nt) ＝ ??njjt tvc j1)( (1 . 30) 如果支付的次數(shù)是無限的，現(xiàn)值被定義為： ??? 1)(jjt tvc j (1 . 31) ( 按實(shí)際中的通常情況，我們假設(shè)該級(jí)數(shù)是收斂的。 ) 二、連續(xù)的現(xiàn)金流量 我們考慮這樣一種情況：假設(shè)在 0 時(shí)刻與 T 時(shí)刻之間投資者連續(xù)地支付款項(xiàng)，其中 T ＞ 0 。在 t 時(shí)刻的付款率為每單位時(shí)間)( t?元，這個(gè)現(xiàn)金流量的現(xiàn)值是多少 ? 要回答這個(gè)問題，必需理解在 t 時(shí)刻現(xiàn)金流量的付款率意味著什么。如果M ( t ) 代表從時(shí)刻 0 到時(shí)刻 t 的支付總 額，那么根據(jù)定義，對(duì)于所有 t , 有 )( t? ＝ )(39。 tM (1 . 32) 那么，如果 0 ≤ α ＜ β ≤ T ，在 α 時(shí)刻和 β 時(shí)刻之間收到的總支付是： M ( β ) － M ( α ) ＝???dttM )(39。＝???? dtt )( (1 . 33) 這樣一來，在任一時(shí)刻的付款率就是到那個(gè)時(shí)刻為止的支付總額的導(dǎo)數(shù)，而在任意兩個(gè)時(shí)刻之間的支付總額就是在適當(dāng)?shù)臅r(shí)間間隔的付款率的積分。 二、連續(xù)的現(xiàn)金流量 在 t 時(shí)刻與 t ＋ ? t 時(shí)刻之間所收到的總支付為 M ( t ＋ ? t ) － M ( t ) 。 當(dāng) ? t 趨近于 0 時(shí) ， M ( t ＋ ? t ) － M ( t ) 近似 等于)(39。 tMdt 或 ρ ( t ) dt 。因此，理論上可以把 t時(shí)刻和 t ＋ dt 時(shí)刻之間收到的資金總額的現(xiàn)值看作為 v ( t ) p ( t ) dt ，通過積分得到的整個(gè)現(xiàn)金流量的現(xiàn)值為?Tdtttv0)()( ? (1 . 34) 如果 T 為無限，我們依據(jù)類似的理由得出現(xiàn)值 ??0)()( dtttv ? (1 . 35) 我們把離散的現(xiàn)金流量和連續(xù)的現(xiàn)金流量的結(jié)果綜合起來，可以得出計(jì)算一般現(xiàn)金流量的公式? )( tvc t＋??0)()( dtttv ? (1 . 36) 其中， 求和部分是針對(duì)時(shí)刻 t 對(duì)所有非零的離散現(xiàn)金流量tc求和。 二、連續(xù)的現(xiàn)金流量 ? 到此為止，我們假定所有的支付，不論是離散的，還是連續(xù)的，都是正值，如果某人有一系列的收入款項(xiàng) (可以把它看作是正值 )以及一系列的支出款項(xiàng) (可以看作是負(fù)值 )，則它們的凈現(xiàn)值 ( present value)被定義為數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量總和與數(shù)額為負(fù)值的現(xiàn)金流量總和的差。 三、現(xiàn)金流量的估值 考慮1t和2t時(shí)刻的情況，這里2t不一定大于1t。在2t時(shí)刻的金額為 C 的款項(xiàng)在1t時(shí)刻的值被定義為： ( a ) 如果1t≥2t，等于從2t時(shí)刻的款項(xiàng) C 到1t時(shí)刻的終值，或者 ( b ) 如果1t＜2t，等于2t到期的款項(xiàng) C 在1t時(shí)刻的現(xiàn)值。 由公式 (1 . 17) 和 (1 . 24) 得出在上述兩種情況中，在2t時(shí)刻到期的 C 在1t時(shí)刻的值為 C