復(fù)變函數(shù)華中科技大學(xué)(編輯修改稿)
2025-06-20 01:34 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 22441 2 c o s sin , ( 0 , 1 , 2 , 3 )44kki i kpppp??????? ? ? ?????即 808182832 c os si n ,16 16992 c os si n ,16 1617 172 c os si n ,16 1625 252 c os si n .16 16wiwiwiwipppppppp????????????????????????????????四個(gè)根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn)半徑為 21/8的圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn) . 28 21+i w0 w1 w2 w3 O x y 167。 很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程 (或不等式 )來(lái)表 示 。 也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程 (或不等式 )來(lái)確定 它所表示的平面圖形 . 例 3 將通過(guò)兩點(diǎn) z1=x1+iy1與 z2=x2+iy2的直線用復(fù)數(shù)形式的方 程來(lái)表示 . [解 ] 通過(guò)點(diǎn) (x1,y1)與 (x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為 1 2 11 2 1( ) ,()( ) .x x t x xty y t y y? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ?? 因此 , 它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為 z=z1+t(z2?z1). (??t+?) 由此得知由 z1到 z2的直線段的參數(shù)方程可以寫成 z=z1+t(z2?z1). (0?t?1) 取 12t ?得知線段 12zz的中點(diǎn)為 122zzz ?? 例 4 求下列方程所表示的曲線 : 1 ) | | 2 。2 ) | 2 | | 2 |。3 ) I m ( ) 4 .ziz i ziz??? ? ???解： 1 ) | | 2zi??設(shè) z = x + i y , 方程變?yōu)? 2222| ( 1 ) | 2( 1 ) 2 ,( 1 ) 4x y ixyxy? ? ?? ? ?? ? ??i O x y 2 ) | 2 | | 2 |z i z? ? ? 幾何上 , 該方程表示到點(diǎn) 2i和 ?2的距離相等的點(diǎn)的軌跡 , 所以方程表示的曲線就是連接點(diǎn) 2i和 ?2的線段的垂直平分線 , 方程為 y ? ? x , 也可用代數(shù)的方法求出。 O x y ?2 2i y??x 3 ) I m ( ) 4 .iz??設(shè) z = x + i y , 那末 (1 )I m ( ) 1i z x y ii z y? ? ? ?? ? ?可得所求曲線的方程為 y ? ?3 . O y x y??3 167。 復(fù)數(shù)域的幾何模型 復(fù)球面 0 N x1 x2 x3 o z(x,y) x y P(x1,x2,x3) x1 x2 x3 N(0,0,2r) 除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外 , 還可以用球面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù) . 對(duì)復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn) z, 用直線將 z與 N相連 , 與球面相交于 P點(diǎn) , 則球面上除 N點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 , 而 N點(diǎn)本身可代表無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) , 記作 ?. 這樣的球面稱作復(fù)球面 . 擴(kuò)充復(fù)數(shù)域 引進(jìn)一個(gè) “ 新 ” 的數(shù) ∞ : ????擴(kuò)充復(fù)平面 引進(jìn)一個(gè) “ 理想點(diǎn) ” : 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) ∞ . 約定 : ),0(0??? aa ),(0 ????aa )( ????? aa)0( ???????? aaa)( ????????? aaa167。 區(qū)域 1. 區(qū)域的概念 平面上以 z0為中心 , d (任意的正數(shù) )為半徑的圓 : |z?z0|d 內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為 z0的 鄰域 , 而稱由不等式 0|z?z0|d 所確定的點(diǎn)集為 z0的 去心鄰 域 . 包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi)且滿足 |z|M 的所有點(diǎn)的集合 , 其中實(shí)數(shù) M0 , 稱為 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域 . 即它是圓 |z|=M 的外部且包含無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身 . 不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身的僅滿足 |z|M 的所有點(diǎn)稱為 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域 , 也記作 M|z|?. 0 M |z|M 設(shè) G為一平面點(diǎn)集 , z0為 G中任意一點(diǎn) . 如果存在 z0的一個(gè)鄰域 , 該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于 G, 則稱 z0為 G的 內(nèi)點(diǎn) . 如果 G內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn) , 則稱 G為 開集 平面點(diǎn)集 D稱為一個(gè) 區(qū)域 , 如果它滿足下列兩個(gè)條件 : 1) D是一個(gè)開集 。 2) D是 連通
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