【文章內(nèi)容簡介】 線性無關(guān)。 （ 2） 1 2 3(0 1 0 ) ( 1 0 0 ) ( 1 1 0 ) 0 0 0a a a? ? ?故 線性相關(guān)。 則 1 2 3 1a a a? ? ? (0 1 0 ) (1 0 0 ) (1 1 0 )線性相關(guān)的充要條件 ：在線性空間中，對于矢量 存在著一個矢量 ，它可以表示為其余矢量的線性組合。 12 kv v v， ， ，iv信息論與編碼 4．矢量空間（線性空間）的基底 如果存在一組線性無關(guān)的矢量 ，這些矢量的線性組合的集合可以構(gòu)成一個矢量空間，則稱這組矢量為這個矢量空間的 基底 。 12 nv v v， ， ，n維矢量空間包含 n個基底，也可以說， n個基底“張成” n維矢量空間。 如果 是 n維矢量空間 Vn(F)中 k個線性無關(guān)的矢量，則這些矢量線性組合的集合可構(gòu)成 Vn(F)的一個 k維子空間，這 k個矢量為子空間的基底。 12 kv v v， ， ，結(jié)論：（ n， k）線性分組碼可由 k個線性獨立的碼字組成的基底張成。 碼矢量 ：由（ n， k）線性分組碼的每個碼字構(gòu)成的矢量（碼字） 字矢量 ： n維線性空間任一個字構(gòu)成的矢量。 信息論與編碼 二．線性分組碼的矩陣描述 1．定義：（線性分組碼的模型） 設(shè) Vn(F2)是定義在 F2上的一個 n維的矢量空間，而 C是它的一個 k維的子空間，則稱 C是碼長為 n，消息位為 k的 線性分組碼 或 （ n， k）線性分組碼 。 【 例 】 （ 6， 3）分組碼 C 0 1 2 0 1 2 3 4 5()u u u c c c c c c?編碼規(guī)則： 0011223 0 14 0 25 1 2cucucuc u uc u uc u u?????? ??????? ???????用矩陣表示： ???????????110100101010011001)()( 210543210 uuucccccc組成矩陣的三個 6維的行矢量是線性無關(guān)的，它構(gòu)成了 V6(F2)上的一個 3維子空間，故 C是（ 6， 3）線性分組碼。 信息論與編碼 2．線性分組碼的矩陣描述： 設(shè) 0 1 1kg g g ?， ， ， 是（ n， k）線性分組碼中 k個線性無關(guān)的非零碼字， 0 1 1 ( 2 )ku u u G F? ?， ， ，則（ n， k）線性分組碼 2k個碼字中的任一碼字 可表示為 c0 0 1 1 1 1kkc u g u g u g??? ? ? ?用矩陣表示： 010 1 11() kkggc u G u u ug????????? ? ???????：長為 k的序列，構(gòu)成 2k個不同的消息。 0 1 1()ku u u u ??????????????????????????????????? 1,11,10,11,11,10,11,01,00,0110nkkknnk ggggggggggggG??????????生成矩陣 信息論與編碼 【 例 】 （ 7， 3）線性分組碼， k = 3， 2k = 8（消息） u0 u1 u20 0 00 0 10 1 01 0 01 1 01 0 10 1 11 1 10 0 0 0 0 0 00 0 1 1 1 0 10 1 0 0 1 1 11 0 0 1 1 1 01 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 10 1 1 1 0 1 01 1 1 0 1 0 0c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 u? c?012100111001001110011101ggg???00 1 2 1 0 1 221001110( ) ( ) 0 1 0 0 1 1 10011101gc u G u u u g u u ug? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?則： 如： 41001110( 110 ) 010 011 1 ( 110 100 1 )0011101c????????????信息論與編碼 3．生成矩陣的性質(zhì) （ 1）如果 G是一個生成矩陣，那么與 G行等價的任一矩陣也是生成矩陣。 初等行變換 ：任意兩行交換； 將任一行加到另一行； 將任一行同乘一個數(shù)。 【 例 】 （ 6， 3）線性分組碼 0 1 2 3 4 5 0 1 21 0 0 1 1 0( ) ( ) 1 0 1 1 0 10 1 1 1 1 0c c c c c c u u u???????對 G作初等行變換： ???????????? ?????????????? ?????????????? ????????????? ???011001101010110100110011101010110100110011011110110100110011101101110100231232 rrrrrrG信息論與編碼 （ 2）每個線性分組碼都有唯一的梯形生成矩陣 ? ?knkk PIG ??? ,（ 3）一個矢量空間的基底不止一個， G不唯一 . （ 4）等價的各個 G編出的碼相同，但各消息對應(yīng)的碼字不同。 （ 5）生成矩陣 G中的每一個行矢量，不僅僅是張成 k維線性空間的 基底矢量，本身也是一個碼字。 （ 6）各個 G編出的碼相同，因此碼集合的最小漢明距離 dmin 不變， 因此碼的檢糾錯能力不變，因此可以尋找最容易實現(xiàn)的編碼 方案。 信息論與編碼 4．系統(tǒng)碼 ：信息位以不變的形式在碼組中出現(xiàn)的碼稱為系統(tǒng)碼（出現(xiàn)的位置一般在前面或后面）。 如：前例（ 7， 3）線性分組碼 ),,(110100101110101110100)(211021020210210uuuuuuuuuuuuuuuGuc?????????????????????好 好 好好 好 好? ?433 , ?PI好 好 好 好一般性結(jié)論： （ 1）每一個線性分組碼都有一個與之等價的系統(tǒng)碼存在； （ 2）（ n， k）線性分組碼系統(tǒng)碼的生成矩陣是一個 k k的單位陣 [ Ik ]和一個 k (nk)矩陣 [Pk nk]組合而成的。 （ 3）與非系統(tǒng)碼相比，系統(tǒng)碼編碼過程及所需設(shè)備可以簡化。 信息論與編碼 三．線性分組碼的校驗矩陣 1．校驗矩陣 【 例 】 （ 6， 3）線性分組碼 ),,(110100101010011001)()(212021210210543210uuuuuuuuuuuucccccc???????????????在碼字中 c0、 c c2是信息位， c c c5是冗余位（校驗位） 信息論與編碼 ),,()( 212021210543210 uuuuuuuuucccccc ????由校驗位方程得： ?????????????????212152020410103ccuucccuucccuuc???????????????000521420310ccccccccc用矩陣表示 0100110010101001011543210???????????????????????????????cccccc0THc??即 （ H為 n－ k行 n列的矩陣） 信息論與編碼 【 例 】 （ 1）（ n， 1）重復(fù)碼， k＝ 1 ????????????????校驗位010100ucucucn???????????????? 00