實驗數(shù)據(jù)及模型參數(shù)(編輯修改稿)
2025-06-18 01:00 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 單變量函數(shù)的曲線擬合，但實際在化工實驗數(shù)據(jù)處理及模型參數(shù)擬合時，通常會碰到多變量的參數(shù)擬合問題。一個典型的例子是傳熱實驗中努塞爾數(shù)、雷諾數(shù)及普朗特數(shù)之間的擬合問題： 根據(jù)若干組實驗測得的數(shù)據(jù) ， 如何求出式 （ 516） 中的參數(shù) c cc3， 這是一個有 2個變量的參數(shù)擬合問題 ， 為不失一般性 ， 我們把它表達(dá)成以下形式 。 給定數(shù)據(jù)序列 用一次多項式函數(shù)擬合這組數(shù)據(jù) 。 設(shè) ， 作出擬合函數(shù)與數(shù)據(jù)序列的均方誤差 由多元函數(shù)的極值原理， Q( a0 ,a1 ,a2 )的極小值滿足 32 cc PrRecNu 1?22110 x a x a ap ( x ) ???21 2211012210 )())((),( imi iimi ii yxaxaayxpaaaQ ?????? ?? ??????????????????????????????????????miiiiimiiiiimiiiixyxaxaaaQxyxaxaaaQyxaxaaaQ122211021122110112211000)(20)(20)(2 ( x1i ,x2i ,yi ),i=1,2,3… ,m （ 517） 整理得多變量一次多項式函數(shù)擬合的法方程 通過求解方程（ 518）就可以得到多變量函數(shù)線性擬合時的參數(shù)，由于方程（ 516）不是線性方程，我們可以通過對方程（ 516）兩邊同取對數(shù)，就可以得到以下線性方程 只要作如下變量代換： 并將實驗數(shù)據(jù)代入法方程（ 518）就可以求出方程（ 516）中的系數(shù)。對于變量數(shù)多于 2個，并且擬合曲線模型是非線性型時，可參照本節(jié)的方法，推導(dǎo)得到法方程，通過對法方程的求解就可以求得各種擬合曲線參數(shù)。靈活運用上面介紹的方法，可以解決大部分實驗數(shù)據(jù)及模型參數(shù)的擬合問題。 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????miiimiiimiimiimiiimiimiiimiimiimiimiiyxyxyaaaxxxxxxxxxxm1211121012212112121121111211PrcReccNu lnlnln)l n ( 321 ???32221110 ln lnln )l n (caPrxcaRexcaNuy?????? （ 518） ——— 實例 根據(jù)某傳熱實驗測得如下數(shù)據(jù)，請用方程（ 516 ）的形式擬合實驗曲線。 解：利用上面的 VB程序 ， 將數(shù)據(jù)依次輸入 ， 就可以得到方程 （ 516） 中的三個參數(shù) C1= C2= C3= 則式 516 ） 就變成了常見的光滑管傳熱方程 值得注意的是程序中對 c2(1)的處理，不是直接將計算結(jié)果顯示出來，而是進(jìn)行指數(shù)運算后才顯示出來。這是由于我們在進(jìn)行擬合計算的時候，對方程（ 516 ）進(jìn)行了對數(shù)運算。如果擬合方程的形式和方程（ 516 ）不同，則需對上面提供的程序作適當(dāng)修改。例如以下兩個自變量的擬合函數(shù) N u 1 .1 2 7 2 .4 1 6 2 .2 0 5 2 .3 1 2 1 ,4 8 4 6 .0 3 8 7 .3 2 5 Re 100 200 300 500 100 700 800 Pr 2 4 1 0 .3 5 3 4 2 PrReNu ?2221110 nn x a x a ap ( x ) ??? VB程序調(diào)用 本節(jié)中將用最小二乘法求解線性矛盾方程的方法來構(gòu)造擬合函數(shù) ， 并將其推廣至任意次和任意多個變量的擬合函數(shù) ， 為在化學(xué)化工中實驗數(shù)據(jù)處理及模型參數(shù)擬合提供更為一般性的方法 。 給定數(shù)據(jù)序列 （ xi,yi） ,i=1, 2 , … , m ， 做擬合直線 p (x) = a0 + a1x ， 如果要直線 p (x)過這些點 ， 那么就有 p (xi ) = a0 + a1xi =yi, i=1, 2 , … , m , 即 上述方程組中有 2個未知量 m個方程 ( m2 )。 一般地 ， 將含有n個未知量 m個方程的線性方程組其一般形式為 ?????????????mm yxaayxaayxaa1022101110 ?寫成矩陣形式 為 ???????????????????????????????mm yyyaax???211021 1x1x1???????????????????mnmnmmnnnnyxaxaxayxaxaxayxaxaxa?????22112222212111212111 寫成矩陣形為 ?????????????????????????????????????mnmnmmnnyyyxxxaaaaaaaaa???????2121212222111211 一般情況下，當(dāng)方程數(shù) n多于變量數(shù) m， 且 m個方程之間線性無關(guān) , 則方程組無解，這時方程組稱為矛盾方程組。方程組在一般意義下無解，也即無法找到 n個變量同時滿足 m個方程。這種情況和擬合曲線無法同時滿足所有的實驗數(shù)據(jù)點相仿，故可以通過求解均方誤差 極小意義下矛盾方程的解來獲取擬合曲線。由數(shù)學(xué)知識還可證明：方程組 ATAX = ATB的解就是矛盾方程組 AX = B 在最小二乘法意義下的解。這樣我們只要通過求解 ATAX = ATB就可以得到矛盾方程組的解，進(jìn)而得到各種擬合曲線，為擬合曲線的求解提供了另一種方法。 例如，擬合直線 p (x ) = a0 +a1x的矛盾方程組 ATAX = ATB 的形式如下： 化簡得到與式 (312)相同的法方程 ???????????????????????????????????????????mmmmyyyxxxaaxxxxxx ??????? 2121102121 111111 111???????????????????????????????????????????miiimiimiimiimiiyxyaaxxxm11101211 min║ AXB║ 2 2 這里需要注意的是變量 X和系數(shù)（ a0 ， a1） 之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系。即 對于 n次多項式曲線擬合，要計算 Q ( a0 ,a1 , …, an ) 的極小值問題 ,這與解矛盾方程組
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