華中科技大學(xué)復(fù)變函數(shù)與積分變換洛朗級數(shù)(編輯修改稿)
2025-06-17 10:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ??? ? ?? ? ??? ? ?? ?于 是167。 洛朗級數(shù) 稱為函數(shù) f (z)在以 z0為中心的圓環(huán)域 : R1|zz0|R2內(nèi)的洛朗 (Laurent)展開式 , 它右端的級數(shù)稱為 f (z)在此圓環(huán)域內(nèi)的 洛朗級數(shù) . 一個(gè)在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正 ,負(fù)冪項(xiàng)的級數(shù)是 唯一 的 , 這個(gè)級數(shù)就是 f (z)的洛朗級數(shù) . 0 )( ()nnnc z zfz?? ? ?? ?? 其中 101 0 1 22() , ( , , , ) ,()n nCfc d niz? ??? ?? ? ? ? ? ? ???167。 洛朗級數(shù) 注 1： 0nnnf z C z z??? ??? ? ? ? ? ?? 00nnnC z z???? ? ? ?? 01nnnC z z?????? ? ? ??zz??? ? ? ? ? ?0r z z R? ? ? ? ?0() z z z R? ??： 解 析 部 分 ， 在 內(nèi) 解 析 ；0( z ) z z r? ??： 奇 異 部 分 或 主 要 部 分 ， 在 解 析 。注２： 00 L a ur e ntnnfzn C 。n?? ?????時(shí) ， 系 數(shù)注 3： Taylor級數(shù)是 Laurent級數(shù)的特殊情形 0f ( z ) z z R??當(dāng) 在 內(nèi) 解 析 時(shí) ，101 ) 0 12nn CC f ( z z z d z n 。i??? ? ? ? ? ? ? ? ??1012n nCfzC d zi z z? ????? ? ??0 0 1 2nfzn , , ,n!?? ??? ? ? ?167。 洛朗級數(shù) 注 4： 同一函數(shù)在不同區(qū)域內(nèi)的展開式不同； 例如 在 z=i 和 z=i處展開函數(shù) 為洛朗級數(shù)。 12() ()ifz z z i?? ?① 展開點(diǎn)為 i： f(z)在復(fù)平面內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn) : z=0與 z=?i, 分別在以 i為中心的圓周 : |zi|=1與 |zi|=2上 . 因此 , f (z)在以 i為中心的圓環(huán)域 (包括圓域 )內(nèi)的展開 式有三個(gè) : 1)在 |zi|1中的泰勒展開式 。 2)在 1|zi|2中的洛朗展開式 。 3)在 2|zi|+?中的洛朗展開式 。 O ?i i ② 展開點(diǎn)為 ?i： f(z)在復(fù)平面內(nèi)有一個(gè)奇點(diǎn) : z=0在以 i為中心的圓周 :|z+i|=1上 . 因此 , f (z)在以 i為中心的圓環(huán)域內(nèi)的展開式有二個(gè) : 1)在 0 |z+i|1中的洛朗展開式 。 2)在 1|z+i| +?中的洛朗展開式。 i?0167。 洛朗級數(shù) 將函數(shù)展為洛朗級數(shù) 常用方法 : 1. 直接法 2. 間接法 1. 直接展開法 利用定理公式計(jì)算系數(shù) nc),2,1,0(d)( )(π2 1 10?????? ? ? nzficCnn ???然后寫出 .)()( 0 nnn zzczf ?? ?????缺點(diǎn) : 計(jì)算往往很麻煩 . 167。 洛朗級數(shù) 典型例題 例 1 , 0 內(nèi)在 ??? z . )( 2 展開成洛朗級數(shù)將 zezfz?解： ,)( nnn zczf ??????由定理知 : ?? ? d)( )(π2 1 10? ??? C nn zfic ???dπ2 1 3? ??C nei其中 )2,1,0(,)0(: ???????? nzC ??, 3 時(shí)當(dāng) ??n0?nc, 2 在圓環(huán)域內(nèi)解析zez故由柯西 –古薩基本定理知 : , 2 時(shí)當(dāng) ??n 由高階導(dǎo)數(shù)公式知 : 022)(dd)!2( 1???????????? zznnezn )!2( 1?? n ???dπ2 1 3? ??
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