有限元分析中的單元性質(zhì)特征與誤差處理(編輯修改稿)
2025-06-14 21:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 關(guān)系，當(dāng)中間的節(jié)點與其它單元無關(guān)時，我們稱作是內(nèi)部節(jié)點。而其余的節(jié)點是外部節(jié)點。既然內(nèi)部節(jié)點與其他單元無關(guān)，那么在組成整體剛度之前，就可以把他們消去，也就是把內(nèi)部節(jié)點的位移用外部節(jié)點的位移來表示。 ? 以一維三節(jié)點桿單元為例 1 1 2 2 3 3()u x N u N u N u? ? ?11 12 13 1 121 22 23 2 231 32 33 3 3k k k u pk k k u pk k k u p? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? 以一維三節(jié)點桿單元為例 11 12 13 1 121 22 23 2 231 32 33 3 3k k k u pk k k u pk k k u p? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?a a a b a ab a b b b bK K q PK K q P? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?a a a a b b ab a a b b b bK q K q PK q K q P????? ?? ?11a a a a b b b b b a a ab b b b b a aK q K K P K q Pq K P K q??? ? ???其中 a代表的是 外部節(jié)點 ， b代表的是 內(nèi)部節(jié)點 。 ? 單元中的位移模式一般采用設(shè)有待定系數(shù)的有限多項式作為近似函數(shù)，優(yōu)先多項式的選取原則應(yīng)該考慮以下幾個方面： 待定系數(shù)是由節(jié)點位移條件確定的，因此它的個數(shù)應(yīng)該與節(jié)點位移 DOF個數(shù)相等。 在選取多項式時，必須選擇常數(shù)項和完備的一次項。單元位移模式中的常數(shù)項和一次項可以反映單元的剛體位移合唱應(yīng)變的特性。這是因為當(dāng)劃分的單元數(shù)趨于無窮時，即單元縮小趨于一點，此時單元應(yīng)變趨于常數(shù)。 選擇多項式應(yīng)該由低到高，盡量選取完全多項式以提高單元的精度。 ? 因此，在構(gòu)造一個單元的位移函數(shù)時，應(yīng)該參考由多項式函數(shù)構(gòu)成的 Pascal三角形和上述原則進行函數(shù)項次的選取與構(gòu)造。 ? 收斂性問題 在有限元分析中，當(dāng)節(jié)點數(shù)目或單元插值函數(shù)的項數(shù)趨于無窮大時，即單元尺寸趨于零時，最后的解答如果能夠無線的逼近準(zhǔn)確解，那么這樣的位移函數(shù)或形函數(shù)是逼近于真實的，這就稱為收斂。 為使有限元分析的解答收斂，位移函數(shù)必須滿足一些收斂準(zhǔn)則，這些準(zhǔn)則都經(jīng)過過嚴密的理論驗證。主要包括以下三個方面。 ? 收斂性準(zhǔn)則 定義：當(dāng)單元尺寸趨于零時，有限元的解趨于真實解。 準(zhǔn)則 1：完備性準(zhǔn)則（針對單元內(nèi)部）。如果在勢能泛函中所出現(xiàn)的位移函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是 m階，則有限元解答收斂性的條件之一是選取單元內(nèi)的位移場函數(shù)至少是 m階完全多項式。 準(zhǔn)則 2：協(xié)調(diào)性準(zhǔn)則（針對單元之間）。如果在勢能泛函中位移函數(shù)所出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)是 m階，那么位移函數(shù)在單元交界面上必須具有直至 m1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，即 Cm1連續(xù)性。 ? 以一般的梁問題為例 ? ? ? ? ? ?21 dd2 llUWEIz v x p x v x x? ? ???????從上式可以看出，所出現(xiàn)的物理量是關(guān)于位移的最高階導(dǎo)數(shù)為 2，因此假定形狀函數(shù)的時候，形函數(shù)至少應(yīng)該包含完整的二次多項式。由準(zhǔn)則 2可知，位移函數(shù)為 C1連續(xù)，即在單元之間的位移函數(shù)至少要求一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。 ? 以一般的平面問題為例 ? ?? ? ? ?1d2ddpx x y y z z x y x y y z y z z x z xx y z x y zsUWb u b v b w p u p v p w A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ????????從上式可以看出，所出現(xiàn)的物理量是關(guān)于位移的最高階導(dǎo)數(shù)為 1，因此假定形狀函數(shù)的時候，形函數(shù)至少應(yīng)該包含完整的一次多項式。由準(zhǔn)則 2可知，位移函數(shù)為 C0連續(xù)，即在單元之間的位移函數(shù)要求零階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。亦即函數(shù)的本身連續(xù)，而其一階導(dǎo)數(shù)可以
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