【文章內(nèi)容簡介】 是 2 T? 的橫帶重疊地對應到 z平面 上，其中在 s 平面左邊的橫帶對應到 z平面重慶大學本科學生畢業(yè)設計 （論文） 2 均衡算法的研究 6 的單位圓內(nèi)，而 s 平面右邊的橫帶對應到 z 平面的單位圓外。 s 平面的 j? 軸都對應到了 z 平面的單位圓上，且每一段 2 T? 長的 j? 軸都重復的對應到 z 平面的單位圓上。因為 s 平面的每一個寬度 2 T? 的橫帶都重疊地對應到 z平面上 ， 這個恰好是與數(shù)字濾波器的 ??Hz和模擬濾波器的 ??aHs之間的周期 延拓的函數(shù)之間的變換關系 sTze? ， 所以 ， 脈沖不變響應法不是簡單的將 s 平面對應到 z平面 的變換方法 。 jΩ j Im [ z ]1 1z 平面s 平面03 π / Tπ / T π / T 3 π / Tσ Re [ z ] 圖 脈沖不變響應法映射關系 為了 克服脈沖不變響應法帶來的 混疊效應，且 考慮到本文設計的均衡器需要涉及到低通 、高通和提升 /衰減濾波器， 所以 本文使用是下面的所介紹的雙線性變換法，把濾波器的系統(tǒng)函數(shù)從 s 平面映射到 z平面。 雙線性變換法 雙線性變換法是使數(shù)字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應相似的一種變換方法 [8]。 為了避免多 個值重復映射到同一個位置，雙線性變換法先把整個 s平面轉換到一個中間平面 s1上 的一條橫條里，橫條的 寬度是 2 T? ，如圖 所示，然后再通過標準的轉換公式 1sTze? 將此橫條變換到 z 平面上 ， 通過 2 次的轉換就可以使 s平面和 z平面上的點一一對應了，消除了多個值重復映射到同一個位置，也避免了頻譜的混疊。 jΩ j Ω 1j Ω j Im ( z )00 0σ σ 1 1 1S 平面 S 1 平面 z 平面π / T π / T 圖 雙線性變換法經(jīng)兩次變換后的映射關系 將 模擬域的 s 平面 jΩ 軸映射到 到 中介平面 s1 的 jΩ1 軸 的 T?? 到 T? 上 ， 可利重慶大學本科學生畢業(yè)設計 （論文） 2 均衡算法的研究 7 用下面的變換式 ： 1tan( )2T??? () 這樣， ???? 變到 1 T???? ， 0?? 變到 1 0?? ，可將上式寫成 11112222TTjjTTjjeejee?????????? () 再 令 js?? ， 11js?? ， 則得 1111 sTsTes e???? ? () 然后把中介平面 s1 映射 到數(shù)字域的 z平面上 ， 利用下面標準的變換式 ： 1sTze? () 從而 得到模擬域 s 平面和數(shù)字域 z平面的單個值對應關系式為 1111 zs z???? ? () 11 sz s?? ? () 通常情況下，為了讓模擬域的其中一個頻率與數(shù)字域的如何一個頻率有對應的映射關系，可利用可變常數(shù) c， 使式 （ ） 與 式 （ ） 變成 1=ctan( )2T?? () 111 1th ( )21 sTsTs T es c c e??? ? () 仍將 1sTze? 代入到上式 ， 可得 1111 zscz???? ? () csz cs?? ? () 式子 （ ） 和式子 （ ） 是 模擬域 s 平面與數(shù)字域 z 平面之間的單個值的對應關系，這種對應關系叫作是線性變換。 對應待定常數(shù) c 的選擇， 選擇不同的方法來確定待定常數(shù) c 可以使模擬濾波器映射為不同的數(shù)字濾波器，也就是改變頻帶之間的映射關系 。 選擇常數(shù) c 的方法有以下兩種 ： （ 1） 選用讓模擬與數(shù)字濾波器在低頻部分有比較確定的映射關系 ，即在低頻處有 1??? 。當 1? 較小時有 11tan( )22TT??? () 由 6 式及Ω≈Ω 1式可得 重慶大學本科學生畢業(yè)設計 （論文） 2 均衡算法的研究 8 11 2Tc? ???? () 因而得到 2c T? () 那么 ， 在低頻部分模擬的原型濾波器就與數(shù)字濾波的特性近似相等 。 （ 2） 選 用 模擬的原型濾波器的一個指定 頻率 c? 和 數(shù)字濾波器的一個指定頻率如截止頻率 11cT??? 相對應 ，即 1t an ( ) t an ( )22ccc Tcc ??? ? ? () 則有 cot 2ccc ??? ? () 選用此方法的主要好處 是 可以把模擬域的某指定頻率和數(shù)字域的某一固定頻率對應起來，而且是嚴格的對應關系。 雙線性變換法有很明顯的優(yōu)點。首先 ， 濾波器的穩(wěn)定性在經(jīng)過雙線性變換后是一定不會改變的；其次是使用它可以避免出現(xiàn)頻譜的混疊。 音頻 均衡器中使用的濾波器 在本文的音頻 均衡器中， 組合使用了 三種類型的 數(shù)字濾波器。它們分別是 低通 、高通 和坡型 濾波器 。 低通和高通濾波器組合可以用于通頻帶的選通，同時音頻信號中的低高頻噪音也可以得到相應的消除。 采用這種方法，可以很方便的確定音頻信號的通帶范圍，同時還可以通過分別改變高通和低通濾波器的截止頻率和階數(shù)，來控制通頻帶和濾波器斜率的衰減度。 通過低通和高通濾波器對音頻的通頻帶進行選擇，同時也很方便調(diào)節(jié) 其 邊界 處 的頻率響應。 通常在通頻帶對頻率進行衰減或提升，可以采用的濾波器一般有兩種：一種是峰值濾波器，另外一種是坡型濾波器。兩者在頻率響應的明顯的區(qū)別是在提升或衰減的頻帶上，坡型濾波器在提升或衰減頻帶的頻率響應相對平坦，而峰值濾波器在提升或衰減的頻率響應則相對 不平坦。據(jù)此考慮， 本文使用的 是坡型濾波器。 組合這三種類型的濾波器，可以設計出一個對 高 低頻噪聲進行濾除和對通帶的特定 頻段進行相應的提升或衰減的均衡器。本文設計中，使用 了一個 數(shù)字 高通濾波器 、 一個 數(shù)字 低通 濾波器和十 個不同中心頻率的坡型 濾波器組成了一個可以很方便調(diào)節(jié) 通頻帶 ， 以及 將 通頻帶 分割成 十段獨立調(diào)節(jié)增益頻段 的均衡器 。 重慶大學本科學生畢業(yè)設計 （論文） 2 均衡算法的研究 9 F 0 = 31 . 5 Hz提升 / 衰減濾波器F 0 = 63 Hz提升 / 衰減濾波器輸入信號 X 1 ~ 4 階低通濾波器F 0 = 125 Hz提升 / 衰減濾波器F 0 = 250 Hz提升 / 衰減濾波器F 0 = 500 Hz提升 / 衰減濾波器1 ~ 4 階高通濾波器F 0 = 2 0 0 0 Hz提升 / 衰減濾波器F 0 = 4 0 0 0 Hz提升 / 衰減濾波器F 0 = 8 0 0 0 Hz提升 / 衰減濾波器F 0 = 1 6 0 0 0 Hz提升 / 衰減濾波器輸出信號 Y F 0 = 1 0 0 0 Hz提升 / 衰減濾波器 圖 音頻信號通過均衡器的信號流 圖 數(shù)字低通濾波器 的設計 本設計都是 以巴特沃斯模擬低通濾波器為原型來設計數(shù)字濾波器的 [2]。 一般 來說， 可以通過巴特沃斯低通濾波器原型直接設計數(shù)字低通濾波器。 此外 ，本設計還提出了 通過級聯(lián) 形式 的 原型濾波器來 設計高階數(shù)字低通濾波器的方法 。 接下來，本文將就這兩方面的設計思路進行了低通濾波器的設計。 （ 1）通過巴特沃斯低通濾波器原型直接設計數(shù)字低通濾波器 [2]。 一個 N 階低通巴特沃斯濾波器的頻率響應的 模的平方是 [9] 221() 1 ( ) NcHj jj? ??? ? () 式中 N 是濾波器的階。從（ ）式要確定系統(tǒng)函數(shù) (s)H 。 根據(jù)幅度平方函數(shù) 221( ) (s ) ( s ) = 1 + ( ) Nsj cH j H H sj?? ???? () 式 ()中 (s)H 是模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ，這個分母多項式的根就是 (s) ( s)HH? 的極點 ，這些極點位于 12( 1) ( )N csj??? () 式（ ）對于如下的 pss? 都滿足 pcs ?? () ( 2 1 ) , k22p ks N????? 為 整 數(shù) () 也即 ( 2 k 1 )ex p (j[ ] )22pcs N??? ??? () 在圖（ ）中畫出 N=1， N=2， N=3 和 N=4 時 ， (s) ( s)HH? 的極點位置 。 重慶大學本科學生畢業(yè)設計 （論文） 2 均衡算法的研究 10 ImReωcImReωcImReωcImReωc π / 3π / 4π / 4N = 3N = 1N = 4N = 2 圖 N=1， 2,3 和 4 時， (s) ( s)HH? 的極點位置 關于 (s)H 和 ()Hs? 的極點， 可有以下結論 [9] 1） 在 模擬域的 s 平面內(nèi)， 2N 個極點把半徑為 c? 圓等分 分開 。 2）極點不會在 Im軸上出現(xiàn) ，而且 當 N 為奇時，在 Re 軸上有極點分布， N 為偶時，則 Re 軸上無極點 。 3） 相靠近的兩個極點之間的角度之差 是 N? 。 在極點的選取問題上 ，由濾波器的穩(wěn)定性可知， (s)H 的極點應都落于左半平面 。由于本文的均衡器未涉及到系統(tǒng)函數(shù)相頻特性的設計，所以，不 進行深入探究 零點的分配 。 其次，為了保證各邊界頻率點為預先指定的頻率，對頻率進行預畸變，計算模擬濾波器的邊界頻率 [10] 2 tan( )2cc T ??? () 式中， T 為采樣間隔， c? 為數(shù)字域截止頻率。 于是 ， 可得 模擬巴特沃斯濾波器的 ()aHs為 1 : ( ) ca cN H s s ??? ?? () 2222 : ( ) 2 ca ccN H s ss??? ? ? ? ? () 重慶大學本科學生畢業(yè)設計 （論文） 2 均衡算法的研究 11 33 2 2 33 : ( ) 22 ca c c cN H s s s s??? ? ? ? ? ? ? () 44 3 2 2 3 44 : ( ) 2 . 6 1 3 1 3 . 4 1 4 2 2 . 6 1 3 1cc c ca cN H s s s s s??? ? ? ? ? ? ? ? ? () 最后 ， 利用雙線性變換法 ， 把 1~4 階的模擬巴特沃斯低通濾波器原型 (s)aH 變換成1~4 階的 數(shù)字低通濾波器 ()Hz 121 11(z)= (s ) zs T zaHH ??? ?? () 最終，得到 了 1~4 階數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù) （ T 取 2） 11 11212()( 1 ) ( 1 )[ , ] [ , ]11ccLPcccccczHzzb b baa??? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? () 2 2 1 2 22 2 2 1 2 22() ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 1 )c c cLP c c c c czzHz zz????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 21 2 3212223[ , , ] [ , 2 , ]212221c c ccccccb b b baaa? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? () 1 2 31 2 3 43 1 2 31 2 3 43 3 3 31 2 3 4321322323324( z )[ b , b , b , b ] [ , 3 , 3 , ]2 2 13 2 2 33 2 2 32 2 1c c c cccccccccLPccccb b z b z b zHa a z a z a zbaaaa? ? ?? ? ?? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? () 重慶大學本科學生畢業(yè)設計 （論文）