九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(編輯修改稿)
2025-06-06 03:09 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 線與軸只有一個(gè)交點(diǎn) 二次三項(xiàng)式的值為非負(fù) 一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 拋物線與軸無(wú)交點(diǎn) 二次三項(xiàng)式的值恒為正 一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根 . ⑸ 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系： 圖像參考： 十一、函數(shù)的應(yīng)用 二次函數(shù)應(yīng)用 二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見(jiàn)題型 1． 考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如： 已知以為自變量的二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)， 則的值是 2． 綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個(gè)函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如： 如圖，如果函數(shù)的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)的圖像大致是（ ） y y y y 1 1 0 x o1 x 0 x 0 1 x A B C D 3． 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如： 已知一條拋物線經(jīng)過(guò) (0,3)， (4,6)兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為，求這條拋物線的解析式。 4． 考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如： 已知拋物線（ a≠ 0）與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－ 3，與 y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是－ （ 1）確定拋物線的解析式；（ 2）用配方法確定拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo) . 5．考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見(jiàn)的作為專項(xiàng)壓軸題。 【例題經(jīng)典】 由拋物線的位置確定系數(shù)的符號(hào) 例 1 （ 1）二次函數(shù)的圖像如圖 1，則點(diǎn)在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （ 2）已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的圖象如圖 2所示， 則下列結(jié)論：① a、 b 同號(hào)；②當(dāng) x=1和 x=3時(shí)，函數(shù)值相等；③ 4a+b=0；④當(dāng) y=2時(shí)， x的值只能取 （ ） A． 1 個(gè) B． 2 個(gè) C． 3 個(gè) D． 4 個(gè) (1) (2) 【點(diǎn)評(píng)】弄清拋物線的位置與系數(shù) a， b， c 之間的關(guān)系，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 例 y=ax2+bx+c的圖象與 x軸交于點(diǎn) (2， O)、 (x1，0)，且 1O；③ 4a+cO，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為 ( ) A 1 個(gè) B. 2 個(gè) C. 3 個(gè) D． 4 個(gè) 會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 例 ：關(guān)于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=3的一個(gè)根為 x=2，且二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的對(duì)稱軸是直線 x=2，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ( ) A(2， 3) B.(2， 1) C(2， 3) D． (3， 2) 例 如圖（單位： m），等腰三角形 ABC 以 2米 /秒的速度沿直線L 向正方形移動(dòng)，直到 AB 與 CD 重合．設(shè) x秒時(shí)，三角形與正方形重疊部分的面積為 ym2． （ 1）寫(xiě)出 y與 x的關(guān)系式； （ 2）當(dāng) x=2， ， y分別是多少？ （ 3）當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時(shí)， 三角形移動(dòng)了多長(zhǎng)時(shí)間？求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、 對(duì)稱軸 . 例 已知拋物線 y=x2+x． （ 1）用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸． （ 2）若該拋物線與 x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為 A、 B，求線段 AB的長(zhǎng)． 【點(diǎn)評(píng)】本題（ 1）是對(duì)二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第（ 2）問(wèn)主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系． 例 ：二次函數(shù) y=ax2(b+1)x3a 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) P(4， 10)，交 x 軸于，兩點(diǎn)，交 y軸負(fù)半軸于 C點(diǎn)，且滿足 3AO=OB． (1)求二次函數(shù)的解析式； (2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn) M，使銳角∠ MCO∠ ACO?若存在，請(qǐng)你求出 M 點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由． 例 “已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ c，－ 2）， 求證：這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是 x=3?！鳖}目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無(wú)法辨認(rèn)的文字。 （ 1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請(qǐng)寫(xiě)出求解過(guò)程，并畫(huà)出二次函數(shù)圖象；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。 （ 2）請(qǐng)你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整。 點(diǎn)評(píng)： 對(duì)于第（ 1）小題，要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來(lái)的結(jié)論“函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是 x=3”當(dāng)作已知來(lái)用，再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ c，－ 2）”，就可以列出兩個(gè)方程了，而解析式中只有兩個(gè)未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對(duì)于第（ 2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（ 1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個(gè)任意點(diǎn)的坐標(biāo)，可以給出頂點(diǎn)的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)等。 用二次函數(shù)解決最值問(wèn)題 例 1 某產(chǎn)品每件成本 10 元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià) x（元） 與產(chǎn)品的日銷售量 y（件）之間的關(guān)系如下表： x（元） 15 20 30 ? y（件） 25
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