【文章內(nèi)容簡介】 線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)； 由二元一次不等式表示的平面區(qū)域作出可行域； 在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解 . 變式訓(xùn)練 若變量 x， y 滿足 2x＋ y≤ 40， x＋ 2y≤ 50， x≥ 0， y≥ 0，則 z＝ 3x＋ 2y 的最大值是 ________． 答案： 70 解析：由不等式組 2x＋ y≤ 40y≥ 0畫出可行域如下圖． 結(jié)合圖形， 由 2x＋ y＝ 40， x＋ 2y＝ 50x＝ 10， y＝ 20， 于是 zmax＝ 3 10＋ 2 20＝ 70. 例 2 活動：教材此例的數(shù)據(jù)以表格的形式給出．這樣可使量 x＋ 2y≤ 50 x≥ 0，與量之間的關(guān)系一目了然，非常有助于我們順利地找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，特別是對于那些量比較多的問題．本例難度不大，可由學(xué)生自己完成，教師給予適當(dāng)點撥． 點評：完成此例后，可讓學(xué)生 對應(yīng)用線性規(guī)劃解決實際問題作一簡單歸納．對較好的學(xué)生，教師可結(jié)合思考與討論進行歸納 . 變式訓(xùn)練 某家具廠有方木料 90m3，五合板 600m2，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售．已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料 五合板 2m2；生產(chǎn)每個書櫥需要方木料 五合板 80 元，出售一個書櫥可獲利潤 120 元，如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤多少？如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤多少？怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤最大？ 解：設(shè)只生產(chǎn)書桌 x張，可獲得利潤 z元， 則 ≤ 90， 2x≤ 600x≤ 900， x≤ 300x≤ 300. z＝ 80x，∴當(dāng) x＝ 300時， zmax＝ 80 300＝ 24000， 即如果只安排生產(chǎn)書桌，最多可生產(chǎn) 300 張書桌，獲得利潤 24000元． 設(shè)只生產(chǎn)書櫥 y張，可獲利潤 z元， 則 ≤ 90， y≤ 600y≤ 450， y≤ 600y≤ 450. z＝ 120y，∴當(dāng) y＝ 450時， zmax＝ 120 450＝ 54000， 即如果只安排生產(chǎn)書櫥，最多可生產(chǎn) 450個，獲得利潤 54000 元． 設(shè)生產(chǎn)書桌 x張，書櫥 y個，利潤總額為 z元． 則 ＋ ≤ 90， 2x＋ y≤ 600， x≥ 0， y≥ 0x＋ 2y≤ 900， 2x＋y≤ 600， x≥ 0， y≥ 0， z＝ 80x＋ 120y，可行域如圖． 由圖可知：當(dāng)直線 y＝－ 23x＋ z120經(jīng)過可行域上的點 m 時，截距z120 最大，即 z 最大，解方程組 x＋ 2y＝ 9002x＋ y＝ 600，得 m 的坐標(biāo)為． ∴ zmax＝ 80x＋ 120y＝ 80 100＋ 120 400＝ 56000． 因此，生產(chǎn)書桌 100 張、書櫥 400 個，可使所得利潤最大，最大利潤為 56000元 . 例 3某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品 1t 需耗 A種礦石 10t、 B 種礦石 5t、煤 4t；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品需耗 A 種礦石 4t、 B 種礦石 4t、煤 9t．每 1t 甲種產(chǎn)品的利潤是 600 元，每 1t 乙種產(chǎn)品的利潤是 1000 元．工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中要求消耗 A種礦石不超過 300t、 B 種礦石不超過 200t、煤不超過 360t，甲、乙兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少，能使利潤總額達到最大？ 活動：將已知數(shù)據(jù)列成下表，然后按線性規(guī)劃解 決實際問題的步驟完成，本例可由學(xué)生自己完成． 解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為 xt、 yt，利潤總額為 z元， 那么 10x＋ 4y≤ 300， 5x＋ 4y≤ 200， 4x＋ 9y≤ 360， x≥ 0， y≥ 0； 目標(biāo)函數(shù)為 z＝ 600x＋ 1000y. 作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域如圖． 作直線 l： 600x＋ 1000y＝ 0，即直線 l： 3x＋ 5y＝ 0. 把直線 l向右上方平移至 l1的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點 m，且與原點距離最大，此時 z＝ 600x＋ 1000y取最大值． 解方程組 5x＋ 4y＝ 200， 4x＋ 9y＝ 360，得 x＝ 36029≈ ， y＝100029≈ .∴ m的坐標(biāo)為． 答：應(yīng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品約 ，乙產(chǎn)品 ，能使利潤總額達到最大． 知能訓(xùn)練 ．設(shè)變量 x， y 滿足約束條件： y≥ x， x＋ 2y≤ 2， x≥－ 2，則 z＝x－ 3y 的最小值為 A．－ 2 B．－ 4 c．－ 6 D．－ 8 2．醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配營養(yǎng)餐．甲種原料每10g 含 5 單位蛋白質(zhì)和 10 單位鐵質(zhì)，售價 3 元；乙種原料每 10g 含 7單位蛋白質(zhì)和 4單位鐵質(zhì)，售價 2 元．若病人每餐至少需要 35 單位蛋白質(zhì)和 40 單位鐵質(zhì)．試問：應(yīng)如何使用甲、乙原料，才能既滿足營養(yǎng)，又使費用最?。? 答案： ． D 解析：在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出不等式組 y≥ x， x＋ 2y≤ 2， x≥－ 2所表示的平面區(qū)域，作出直線 x－ 3y＝ 0，平移該直線，并結(jié)合圖形知點為最優(yōu)解．所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為 zmin＝－ 2－ 3 2＝－ 8，故選D. 2． 活動：將已知數(shù)據(jù)列成下表： 原料 /10g 蛋白質(zhì) /單位 鐵質(zhì) /單位 甲 0 乙 費用 設(shè)甲、乙兩種原料分別用 10xg 和 10yg，則需要的費用為 z＝ 3x＋ 2y；病人每餐至少需要 35 單位蛋白質(zhì)，可表示為 5x＋ 7y≥ 35；同理，對鐵質(zhì)的要求可以表示為 10x＋ 4y≥ 40，這樣，問題成為在約束條件5x＋ 7y≥ 35， 10x＋ 4y≥ 40， x≥ 0， y≥ 0 下，求目標(biāo)函數(shù) z＝ 3x＋ 2y 的最小值． 解：設(shè)甲、乙兩種原料分別用 10xg 和 10yg，總費用為 z，那么5x＋ 7y≥ 35， 10x＋ 4y≥ 40， x≥ 0， y≥ 0； 目標(biāo)函數(shù)為 z＝ 3x＋ 2y， 作出可行域如圖． 把 z＝ 3x＋ 2y 變形為 y＝－ 32x＋ z2，得到斜率為－ 32，在 y 軸上的截距為 z2，隨 z變化的一組平行直線． 由圖可知，當(dāng)直線 y＝－ 32x＋ z2 經(jīng)過可行域上的點 A 時，截距z2 最小，即 z最?。? 由 10x＋ 4y＝ 40， 5x＋ 7y＝ 35，得 A，∴ zmin＝ 3 145＋ 2 3＝ .∴甲種原料使用 145 10＝ 28，乙種原料使用 3 10＝ 30時，費用最?。? 課堂小結(jié) ．讓學(xué)生自己歸納整合本節(jié)所學(xué)的知識方法及用線性規(guī)劃解決實際問題的方法步驟，自己在本節(jié)中的最大收獲有哪些？ 2．教師強調(diào)，通過本節(jié)學(xué)習(xí)，需掌握如何用線性規(guī)劃解決實際問題的解題思路：首先，應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出約束條件，確定線性目標(biāo)函數(shù)．然后，用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解，即畫出可行域，在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解．最后，還要根據(jù)實際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實際問題的解，即結(jié)合實際情況求得最優(yōu)解． 作 業(yè) 習(xí)題 3— 5A組 5；習(xí)題 3— 5B組 3. 設(shè)計感想 ．本節(jié)內(nèi)容與實際問題聯(lián)系緊密，有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識以及解決實際問題的能力．本節(jié)內(nèi)容滲透了多種數(shù)學(xué)思想，是向?qū)W生進行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的典型教材，也是培養(yǎng)學(xué)生觀察、作圖能力的典型教材． 2．通過實例給出解題步驟，讓其更深入了解并掌握新知．這里強調(diào)的還有作圖的規(guī)范問題，這是學(xué)生容易忽視的，但這又是本節(jié)課很重要的一部分． 3．關(guān)于難度把握問題，依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》及教材分析， 二元一次不等式表示平面區(qū)域以及線性規(guī)劃的有關(guān)概念比較抽象，按高二學(xué)生現(xiàn)有的知識和認知水平難以透徹理解，再加上學(xué)生對代數(shù)問題等價轉(zhuǎn)化為幾何問題，以及數(shù)學(xué)建模方法解決實際問題有一個學(xué)習(xí)消化的過程，故本節(jié)知識內(nèi)容定為了解層次．但這個了解不同于其他的了解，應(yīng)注意讓學(xué)生切實學(xué)會從實際問題抽象出約束條件及目標(biāo)函數(shù)，并注意規(guī)范書寫解答步驟． 第 2 課時 導(dǎo)入新課 思路 ，這節(jié)課我們進一步探究有關(guān)線性規(guī)劃的一些問題，看看用線性規(guī)劃還能解決哪些實際問題 ．教師出示多媒體，提出問題，由此引入新課． 思路 ，我們是用平移直線的辦法來解決的，需要畫圖精確，令學(xué)生很頭痛．下面我們探究調(diào)整最優(yōu)值法來確定最優(yōu)整數(shù)解的方法．教師用多媒體出示以下問題： 某人有樓房一座，室內(nèi)面積共有 180 平方米，擬分隔成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為 18 平方米，可住游客 5 名，每名游客每天住宿費 40 元，小房間每間面積 15 平方米，可住游客 3 名，每名游客每天住宿費 50 元；裝修大房間每間需 1000 元，裝修小房間每間需 600 元．如果他只能籌款 8000 元用于裝修，且游客能住滿客房，他應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間，能獲得最大收益？ 學(xué)生很容易設(shè)隔出大房間 x 間，小房間 y 間時收益為 z元，則 x，y 滿足 8x＋ 15y≤ 180， 1000x＋ 600y≤ 8000， x≥ 0， x∈ N， y≥ 0， y∈ N. 作出可行域，作直線 l： 200x＋ 150y＝ 0，即 l： 4x＋ 3y＝ 0，把直線 l 向右上方平移，直線經(jīng)過可行域上的點 B 時，與原點距離最大，此時 z＝ 200x＋ 150y 取得最大值，解方程組 6x＋ 5y＝ 60， 5x＋ 3y＝ 40，得點 B 的坐標(biāo)為，由于 B 的坐標(biāo)不是整數(shù)，而最優(yōu)解中， x、 y 必須都是整數(shù)，所以可行域內(nèi)的點 B不是最優(yōu)解． 以下教師與學(xué)生共同探究調(diào)整最優(yōu)值法來確定最優(yōu)整點的方法： 將 B 點坐標(biāo)代入 4x＋ 3y＝ z，得 z＝ 3717，所以令 4x＋ 3y＝ 37. 所以 y＝ 37－ 4x3， x＝ 37－ 3y4，代入約束條件得 y＝ 9， x 無解； 再令 4x＋ 3y＝ 36，所以 y＝ 36－ 4x3， x＝ 36－ 3y4，代入約束條件得 7≤ y≤ 12,0≤ x≤ 4. 又因為 4x＋ 3y＝ 36，所以得最優(yōu)解為和，此時 z 的最大值是 36，最大利潤是 1800元． 用圖解法解決時，容易丟一組解，而選擇調(diào)整最優(yōu)值法，即可避免丟解問題，只是需要一定的不等式及不定方程的知識．鼓勵學(xué)生課外進一步探究其他方法． 推進新課 新知探究 提出問題 1 節(jié)課我們利用線性規(guī)劃解決實際問題的方法、步