第21講多項式環(huán)(編輯修改稿)
2024-10-11 16:00 本頁面
【文章內容簡介】 Raa ?,0,0, , 顯然 ? ? ? ? ,0,0,0,0, Rba ?? ?? ? ? ? ? ? ? .,0,0,0,0,0,0, Rbaba ???? ??? ? ?? ??? ,0,0,0,0, ba ? ??,0,0,ab? R? R? 是 P 的一個子環(huán) . 現(xiàn)令 ? : ,RR? 其中 ? ? ? ? Raaa ??? ?,0,0,? 可知 , ? 是一個環(huán)同構 ,即 0RR?? 顯然 . ? ? ??? RRP ? ????圖 由“ 挖補 定理”知，我們可得到一 個 新的環(huán) 0R ，其中 0RR?且 PR??0 ， 0R 中的 單位元就是 R 中單位元 R1 . (3) 須證 0R 含有 R 上的未定元 令 ? ?.,0,0,1,0 ??x .因為 0RRPxRx ????? 又注意到 , ? ?????????? ?????? ? 0,0,1,0,0,0 個kkx (證略 ) 下面證明 : x 就是 R 的未定元 . 令 0, 2210 ??? nn xaxaxaa ? ? ?Rai? ?? (*) 在環(huán)同構中之下 : PR ?0 ? ??,0,0,00 aa ? ? ??,0,0,11 aa ? ? ? ??,0,0,nn aa ? ? ??,0,0,00 ? 由 (*)? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ,0,0,0,0,0,0,0,0, 10 ???? nn xaxaa 利用 P 中元素乘法的 x 定義和的特點上式變?yōu)?: ? ? ? ??? ,0,0,0, 210 ?aaa ? 0210 ????? naaaa ? ? x是的 R 上的未定義 練習題 : 設 R 為整環(huán) ,而 F 是 R 的子環(huán) ,如果 ?? ,R?? 都是 F 上的代數(shù)元 ,那么 R 本就是一個域 . 證明 : (只需證 ?R 中每個元都可逆即可 ) ??? R? ,由題設知 ,? 是 F 上的代數(shù)元 ,即存在不全為零的 Faaaa n ??, 210 使 02210 ????? nnaaaa ??? ? 并可保證 00?a 即零次項 0? . (這是因為 :由于 naaa , 10 ? 不全為零 ,設 ia 是從左數(shù)第一個不 為零的元 ? ? ? .01111 ???????? ???? nniiinniiii aaaaaa ?????? ?? 但 ? 不是零因子 i?? 不是零因子 ? ????? ??? 01 innii aaa ?? ? 零次項 0? 所以上述假設是合理的 ) ? 0a 可逆 于是 ? ? ?????? ? ??? 1210 nnaaaa ? 011 a?? ? ???? 121 ???? nnaaa
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