【文章內(nèi)容簡介】 ()5131()4121()311(21 nnnn ?????? ?????? 211121121 nn ? ? ?????? ???? 11111 kkllkk? ? ??? ?????? ??????????? nk lnnllkk11111211111 ?? 因此原式 ?????? ???? ll 12111 ? 特列： （ 1） ? ????? ??nkn kk1 111lim ? ?1?l （ 2） ? ????? ??????? ???nkn kk1 432112121lim ? ?2?l 二、用兩個重要公式 例 1． 求nn xxx 2c o s4c o s2c o slim ??? 解： 當 0?x ，原式 1? 當 0?x 時 ， 原 式nnnnnn xxxxx2s in22c o s4c o s2c o s2s in2lim ???? nnnnnn xxxxx2s i n22s i n2c o s4c o s2c o s2l i m 111???????? ?? nnnnnn xxxxxx2s i n2s i nl i m2s i n2s i nl i m ??????? xxsin? 例 2．求 xx xx ?????? ???? 11lim 解一： ? ?? ? 211111lim/1 /1lim11lim ???????? ???????? ??????? ???????? ????????? ?? eeexxxxxxxxxxxxxxx 解二： 21221121lim11lim ??????? ???????? ?????? ??????? ?????? ?????????? ?? exxx x xxxxx 例 3． ? ? xx x 2cot0 coslim? ? ? xxx x 22s i n2c os20 s in1lim ?? ? ? ?? ?? ? ? ?2c oss in12022s in1lim ???? ??? xxx x 21??e 三、用夾逼定理求極限 例 1．求 ?????? ????? nnn 2 12654321lim ? 解： 令 nnxn 2 12654321 ???? ?， 12 25432 ??? n nyn ? ， 則 nn yx ??0 ，于是 12 10 2 ???? nyxxnnn 由夾逼定理可 知： 0lim 2 ??? nn x，于是原極限為 0 例 2．求 ???? ??nkn knnk1 2lim 口訣（ 14） :n項相加先合并；不行估計上下界。 解： ?? ??????????? ??? nk nnnknn knnn n1 222 12121 ?? 而 ? ?? ? 212 121lim221lim 2 ????? ??? ???? nn nnnn n nn ? ? ?211121lim121lim 22 ??????? ??? ???? nnnnnn n nn ? 由夾逼定理可知 ???? ???nkx knnk1 2 21lim 例 3．求 ???xx dttx 0 sin1lim 解： ? ? 2s ins in01 ?? ?? ? ??? td tdttkk? 設 ? ??? 1??? nxn ，則 ? ? ? ?12s i ns i ns i n2 1000 ????? ??? ? ndttdttdttn nxn ?? 于是， ? ? ? ??? nndttxn n x 12s in112 0 ???? ? ? ??? 212lim ???? n nn?， ? ? ?? 212lim ???? nnn， 由夾逼定理可知， ?2s in1lim0 ?????xx dttx 四、用定積分定義求數(shù)列的極限 例 1．求 ???? ?nkn knn1 22lim 分析：如果還想用夾逼定理中的方法來考慮 ?? ?????nk nnkn nnn n1 222222221 而 21lim222 ???? nnnn， 11lim 22 2 ???? n nn 由此可見，無法再用夾逼定理，因此我們改用定積分定義來考慮 解： ???????? ?????????nknnknnknknn1 21 22 111limlim 401a r c t a n110 2 ????? ? xxdx 例 2．求 ???? ?nknknnk1 1sinlim? 解： ?????????? nknknk nknknnknkn 111 s i n11s i ns i n11 ???? 而??? 2s ins in1lim 101 ?? ????? x d xnkn nkn ??? 2s i n11l i ms i n11l i m 11 ????????????? ??? ?? ?????? nknnkn nknn nnkn 由夾逼定理可知，??21s inlim1??????nknknnk 五、用洛必達法則求極限 1． 00 型和 ?? 型 例 1．求nnnn 1sin1sin1lim3??? 解：離散型不能直接用洛必達法則，故考慮 3030 s i nl i ms i ns i nl i m x xxx xx xx ?? ?? 等價無窮小代換 616s i nlim3 c o s1lim020 ???? ?? xxx x xx ? 61?原式 例 2．求10102limxexx?? 解：若直接用00型洛必達法則 1，則得12109130 5lim102lim 22xexex xxxx???? ??????? （不好辦了，分母 x 的次數(shù)反而增加） 為了避免分子求導數(shù)的復雜性，我們先用變量替換，令 tx ?21 于是ttttxx ettexe 551010 limlimlim2?????????? ?? ?????? ??型 0!5lim5lim 4 ?????????? tttt eet ? 口訣（ 15）：變量替換第一 寶；由繁化簡常找它。 例 3．設函數(shù) )(xf 連續(xù)， 0)0( ?f ，求????? xxx dttxfxdttftx000 )()()(lim 解：原式?? ???? xx xx duufxdtttfdttfx00 00 )()()(lim （分母作變量替換 utx ?? ） ??????? xxx xxfduufxxfxxfdttf000 )()()()()(lim （用洛必達法則，分子、分母各求導數(shù)） （用積分中值定理） )()( )(lim )0( 0 xxfxf xfx ?? ?? ? ??（ ? 在 0 和 x 之間） 21)0()0( )0( ??? ff f 2． ??? 型和 0 ?? 型 例 1．求 ???????? ?? 2220 c o ss in1lim x xxx 解：原式 xx xxxx 222220 s inco ss inlim ???? 42202s in41limxxxx??? 30 42c o s2s in442limxxxxx??? 30 24sin41limxxxx??? 20 6 4cos1lim x xx ?? ? x xx 12 4sin4lim0?? 34? 例 2．設 0?a ， 0?b 常數(shù)。求 ???????? ???? xxx bax11lim 解：原式tbatxxba tttxxx????????? 011lim11lim 令 ?????? 型00 用洛必達法則 ? ?bbaa ttt lnlnlim0 ?? ?? ba lnln ?? baln? 3． 1? 型， 00 型和 0? 型 這類都是 ? ? )()(lim xgxf 形式可化為 ? ?)(ln)(lim xfxge 而 ? ?)(ln)(lim xfxg 都是 0 ?? 型，按 2 的情形處理 例 1．求 xx x 2sin0lim?? 解：令 xxy 2sin? ， xxy lnsinln 2? 021l i m1lnl i mlnl i mlns i nl i mlnl i m302020200?????? ??????????xxxxxxxxyxxxxx 1lim 00 ??? ?? eyx 例 2．設 0?a ， 0?b 常數(shù)，求 nnnnba ???????? ??? 2lim 解：先考慮xxxxba?????????? ???? 2lim11它是 1? 型 令xxx bay?????????? ?? 211，???????? ????????? ?? 2lnlnln 11 xx baxy ? ?tbatxxbaytttxxxx2lnlnl i m112lnlnl i mlnl i m011???????????? ?? ????????令 ?????? 型00 ? ? abbaba bbaattttt lnlnln21lnlnl i m0 ???????? 因此， abbaxxxx ??????????? ???? 2lim11 于是， abba nnnn ????????? ??? 2lim 六、求分段函數(shù)的極限 例：求 ?????????????? xxeexxxs in12lim410 解： ???? ?? ?? 0 , 0 , xx xxx 又 ????? xn e10lim ， 0lim 10 ??? xn e 所以必須先分左、右極限考慮。 ? ? 112s in12lim 410 ??????????????????? xxeexxx 110s i n12l i m4340 ???????????????????? ? xxeeexxxx 1s i n12l i m410 ???????????????? xxeexxx 七、用導數(shù)定義求極限 例 1．設 ? ? 20 ?? xf ，求 ? ? ? ?x xxfxxfx ????????23lim 000 解：原式 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?x xfxxfxfxxfx ??????????? 0000023lim ? ? ? ? ? ? ? ?? ?x xfxxfx xfxxfxx ??????? ???????? 22lim233lim3 000000 ? ? ? ?00 2