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正文內(nèi)容

考研教學二考試重點難點總結(jié)(編輯修改稿)

2024-10-05 12:09 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 ()5131()4121()311(21 nnnn ?????? ?????? 211121121 nn ? ? ?????? ???? 11111 kkllkk? ? ??? ?????? ??????????? nk lnnllkk11111211111 ?? 因此原式 ?????? ???? ll 12111 ? 特列: ( 1) ? ????? ??nkn kk1 111lim ? ?1?l ( 2) ? ????? ??????? ???nkn kk1 432112121lim ? ?2?l 二、用兩個重要公式 例 1. 求nn xxx 2c o s4c o s2c o slim ??? 解: 當 0?x ,原式 1? 當 0?x 時 , 原 式nnnnnn xxxxx2s in22c o s4c o s2c o s2s in2lim ???? nnnnnn xxxxx2s i n22s i n2c o s4c o s2c o s2l i m 111???????? ?? nnnnnn xxxxxx2s i n2s i nl i m2s i n2s i nl i m ??????? xxsin? 例 2.求 xx xx ?????? ???? 11lim 解一: ? ?? ? 211111lim/1 /1lim11lim ???????? ???????? ??????? ???????? ????????? ?? eeexxxxxxxxxxxxxxx 解二: 21221121lim11lim ??????? ???????? ?????? ??????? ?????? ?????????? ?? exxx x xxxxx 例 3. ? ? xx x 2cot0 coslim? ? ? xxx x 22s i n2c os20 s in1lim ?? ? ? ?? ?? ? ? ?2c oss in12022s in1lim ???? ??? xxx x 21??e 三、用夾逼定理求極限 例 1.求 ?????? ????? nnn 2 12654321lim ? 解: 令 nnxn 2 12654321 ???? ?, 12 25432 ??? n nyn ? , 則 nn yx ??0 ,于是 12 10 2 ???? nyxxnnn 由夾逼定理可 知: 0lim 2 ??? nn x,于是原極限為 0 例 2.求 ???? ??nkn knnk1 2lim 口訣( 14) :n項相加先合并;不行估計上下界。 解: ?? ??????????? ??? nk nnnknn knnn n1 222 12121 ?? 而 ? ?? ? 212 121lim221lim 2 ????? ??? ???? nn nnnn n nn ? ? ?211121lim121lim 22 ??????? ??? ???? nnnnnn n nn ? 由夾逼定理可知 ???? ???nkx knnk1 2 21lim 例 3.求 ???xx dttx 0 sin1lim 解: ? ? 2s ins in01 ?? ?? ? ??? td tdttkk? 設 ? ??? 1??? nxn ,則 ? ? ? ?12s i ns i ns i n2 1000 ????? ??? ? ndttdttdttn nxn ?? 于是, ? ? ? ??? nndttxn n x 12s in112 0 ???? ? ? ??? 212lim ???? n nn?, ? ? ?? 212lim ???? nnn, 由夾逼定理可知, ?2s in1lim0 ?????xx dttx 四、用定積分定義求數(shù)列的極限 例 1.求 ???? ?nkn knn1 22lim 分析:如果還想用夾逼定理中的方法來考慮 ?? ?????nk nnkn nnn n1 222222221 而 21lim222 ???? nnnn, 11lim 22 2 ???? n nn 由此可見,無法再用夾逼定理,因此我們改用定積分定義來考慮 解: ???????? ?????????nknnknnknknn1 21 22 111limlim 401a r c t a n110 2 ????? ? xxdx 例 2.求 ???? ?nknknnk1 1sinlim? 解: ?????????? nknknk nknknnknkn 111 s i n11s i ns i n11 ???? 而??? 2s ins in1lim 101 ?? ????? x d xnkn nkn ??? 2s i n11l i ms i n11l i m 11 ????????????? ??? ?? ?????? nknnkn nknn nnkn 由夾逼定理可知,??21s inlim1??????nknknnk 五、用洛必達法則求極限 1. 00 型和 ?? 型 例 1.求nnnn 1sin1sin1lim3??? 解:離散型不能直接用洛必達法則,故考慮 3030 s i nl i ms i ns i nl i m x xxx xx xx ?? ?? 等價無窮小代換 616s i nlim3 c o s1lim020 ???? ?? xxx x xx ? 61?原式 例 2.求10102limxexx?? 解:若直接用00型洛必達法則 1,則得12109130 5lim102lim 22xexex xxxx???? ??????? (不好辦了,分母 x 的次數(shù)反而增加) 為了避免分子求導數(shù)的復雜性,我們先用變量替換,令 tx ?21 于是ttttxx ettexe 551010 limlimlim2?????????? ?? ?????? ??型 0!5lim5lim 4 ?????????? tttt eet ? 口訣( 15):變量替換第一 寶;由繁化簡常找它。 例 3.設函數(shù) )(xf 連續(xù), 0)0( ?f ,求????? xxx dttxfxdttftx000 )()()(lim 解:原式?? ???? xx xx duufxdtttfdttfx00 00 )()()(lim (分母作變量替換 utx ?? ) ??????? xxx xxfduufxxfxxfdttf000 )()()()()(lim (用洛必達法則,分子、分母各求導數(shù)) (用積分中值定理) )()( )(lim )0( 0 xxfxf xfx ?? ?? ? ??( ? 在 0 和 x 之間) 21)0()0( )0( ??? ff f 2. ??? 型和 0 ?? 型 例 1.求 ???????? ?? 2220 c o ss in1lim x xxx 解:原式 xx xxxx 222220 s inco ss inlim ???? 42202s in41limxxxx??? 30 42c o s2s in442limxxxxx??? 30 24sin41limxxxx??? 20 6 4cos1lim x xx ?? ? x xx 12 4sin4lim0?? 34? 例 2.設 0?a , 0?b 常數(shù)。求 ???????? ???? xxx bax11lim 解:原式tbatxxba tttxxx????????? 011lim11lim 令 ?????? 型00 用洛必達法則 ? ?bbaa ttt lnlnlim0 ?? ?? ba lnln ?? baln? 3. 1? 型, 00 型和 0? 型 這類都是 ? ? )()(lim xgxf 形式可化為 ? ?)(ln)(lim xfxge 而 ? ?)(ln)(lim xfxg 都是 0 ?? 型,按 2 的情形處理 例 1.求 xx x 2sin0lim?? 解:令 xxy 2sin? , xxy lnsinln 2? 021l i m1lnl i mlnl i mlns i nl i mlnl i m302020200?????? ??????????xxxxxxxxyxxxxx 1lim 00 ??? ?? eyx 例 2.設 0?a , 0?b 常數(shù),求 nnnnba ???????? ??? 2lim 解:先考慮xxxxba?????????? ???? 2lim11它是 1? 型 令xxx bay?????????? ?? 211,???????? ????????? ?? 2lnlnln 11 xx baxy ? ?tbatxxbaytttxxxx2lnlnl i m112lnlnl i mlnl i m011???????????? ?? ????????令 ?????? 型00 ? ? abbaba bbaattttt lnlnln21lnlnl i m0 ???????? 因此, abbaxxxx ??????????? ???? 2lim11 于是, abba nnnn ????????? ??? 2lim 六、求分段函數(shù)的極限 例:求 ?????????????? xxeexxxs in12lim410 解: ???? ?? ?? 0 , 0 , xx xxx 又 ????? xn e10lim , 0lim 10 ??? xn e 所以必須先分左、右極限考慮。 ? ? 112s in12lim 410 ??????????????????? xxeexxx 110s i n12l i m4340 ???????????????????? ? xxeeexxxx 1s i n12l i m410 ???????????????? xxeexxx 七、用導數(shù)定義求極限 例 1.設 ? ? 20 ?? xf ,求 ? ? ? ?x xxfxxfx ????????23lim 000 解:原式 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?x xfxxfxfxxfx ??????????? 0000023lim ? ? ? ? ? ? ? ?? ?x xfxxfx xfxxfxx ??????? ???????? 22lim233lim3 000000 ? ? ? ?00 2
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