【文章內(nèi)容簡介】 函數(shù)在某點處取得極值，則一元函數(shù)也在該點取得極值。但若一元函數(shù)在某點處取得極值，則多元函數(shù)不一定在該點取得極值。 第三章 一元函數(shù)極值原理在實際生活中的應用 一元函數(shù)的極值原理在實際生活中應用相當廣泛， 例如企業(yè)的最大利潤和最小成本問題，稅收額最大問題，以及如何采取措施，使得工廠的廢氣對環(huán)境的污染最小的問題等等，這些都需要一元函數(shù)的極值原理來解決！因此一元函數(shù)的極值原理在實際生活中的應用相當重要！ 最大利潤和最小成本的問題 利潤最大化與成本最小化是每一個生產(chǎn)企業(yè)孜孜以求的最高目標。要實現(xiàn)這一最高目標，首先要合理確定產(chǎn)品的產(chǎn)量，除了要考慮市場的需求外，還要考慮到產(chǎn)品的市場價格因素，這就需要研究成本、收益、利潤與產(chǎn)量之間的依賴變化關系。 例 1：某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本為 2020 元， 平均 每生產(chǎn) 1 噸產(chǎn)品所需要 成本 費用 為 60 元，市場對該產(chǎn)品的需求規(guī)律為 Q=100010P(其中 p 為價格，Q 為需求量 )，求產(chǎn)量為多少時 該工廠獲得的 利潤最大； 獲得最 最大利潤時的價格又是多少？ 分析過程： 一般地說，總成本包括兩部分：固定成本與可變成本，其中固定成本與產(chǎn)量無關，而可變成本與產(chǎn)量有關，它隨產(chǎn)量的增加而增加。如果設總成本為 C，固 定成本為 ，可變成本為 ，產(chǎn)量為 Q，那么，總成本函數(shù)可表示為：= + 。 設產(chǎn)品銷售量等于產(chǎn)量 Q，產(chǎn)品價格為 P，則收益函數(shù)為： R(Q)=P(Q) 解： 因為總成本 C 是產(chǎn)量 Q 的函數(shù)，即 ? ? 2020 60C Q Q??，而銷售總收益為： ? ? 21 0 0 1 0 01 0 1 0R Q P Q Q Q??? ? ? ? ????? 于是總利潤為 ? ? ? ? ? ? 2 40 20 0010QL Q R Q C Q Q? ? ? ? ? ? 令 ? ? 1 4 0 05L Q Q? ? ? ? ?, 得駐點 ? ? 12 0 0 , 05Q L Q??? ? ? ?， 所以 ? ?200 2020L ? 為極大值，也是最大值。 即當生產(chǎn)量 200Q? 噸時總利潤最大，此時最大利潤是 2020 元。 當產(chǎn)量 200Q? 噸時，價格 2020 0 0 1 0 0 8 01 0 1 0QP ? ? ? ? ?（元），即最大利潤時的價格是 80 元。 稅收額最大問題 問題歸結(jié)為求解使稅收收益最大的稅率（稅率收益是稅率與實際的市場銷售量的乘積）。 例 2： 假設某地區(qū)經(jīng)長時間征稅試驗，政府能夠確定某產(chǎn)品市場的消費量與有關稅率之間的關系是 227 3tx?? （ 1） 其中 t 表示產(chǎn)品的稅率， x 表示市場消費的數(shù)量。由于稅率等于 t ，所以政府的收益 R 就應等于稅率和市場消費數(shù)量的積，即 ? ?12 22 7 3R xt x x? ? ? （ 2） 其中 R 和 t 被假設為非負值， R 的定義域為 03x??，由于 0x? 和 3x? 時，R 都等于零，所以 R 在 0 與 3 之間達到極大值。對（ 2）式求導數(shù)有 ? ? ? ? ? ? ? ?11 22222 12 21 2 7 62 7 3 2 7 3 6 022 7 3xR x x x xx? ?? ? ? ? ? ? ? ?? 解得駐點 ??， 將它代人（ 2）式，即收益 ? ， 再將 ??代人（ 1）式，求得稅率 %t? 。 所以當稅率為 % 時，政府可獲得最大收益 . 工廠廢氣對環(huán)境污染最小問題 工廠的廢氣對環(huán)境的污染程度不容小覷，那如何使得工業(yè)廢氣對環(huán)境的污染最小是大家均關心的問題，我們舉例說明相關問題。 例 3： 煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵而污染環(huán)境 。 已知落在地面某處的煙塵 濃度與該處至煙囪距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比。 現(xiàn)有兩座煙囪相距 20km，其中一座煙囪噴出的煙塵量是另一座 噴出煙塵量 的 8 倍，試 在 兩座煙囪連線上 找出 一點，使該點的煙塵濃度最小 . 分析過程：已知兩座煙囪之間的距離，設點 C 是要求的一點，則容易列出煙塵濃度的函數(shù)表達式。且只有一個自變量，故是一元函數(shù)極值原理的應用。 解： 設煙囪 A 的煙塵量為 1，則煙囪 B 的煙塵 量為 8。 C 為兩座煙囪連線上的一點 并設 AC＝ )200( ??xx xCB ??? 20 ， 于是點 C 的煙塵濃度為 )200()20( 8 22 ????? xxkxky， 其中 k 為比例系數(shù) . 332333/ )20( )80001202020(2)20( 162 xx xxxkxkx ky ? ????????? 令 ，有 0800 0120 0609 23 ???? xxx ， 即 0)4 0 03)(203( 2 ??? xx . 解得在（ 0， 20）內(nèi)惟一駐點 320?x . 由于煙塵濃度的最小值客觀上存在，并在（ 0， 20）內(nèi)取得， ?在惟一駐點 320?x 處， 煙囪噴出的煙塵 濃度 y 最小，即在 AB 間距 A 處 km320處的煙塵濃度最小 第四章 二元函數(shù)極值原理在實際生活中的應用 二元函數(shù)的極值原理一般適用解決的問題是問題中涉及的自變量有兩個，根據(jù)二元函數(shù)極值原理求出符合題意的解。二元函數(shù)的極值原理在實際生活中應用 很普遍，例如：生產(chǎn)兩種產(chǎn)品如何安排才能夠使得利潤最大問題，如何使用材料才能夠使得花費最少問題，以及如何合理的調(diào)控價格才能夠使得企業(yè)獲利最大的問題等等。這些均需要借助二元函數(shù)的極值原理來解決！ 最大利潤問題 每一個企業(yè)都想獲得高利潤，而利潤的獲得往往受一些條件的限制，例如，原材料的價格，勞動者的工資，以及銷售價格等。 例 1： 某廠生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為 yx, (單位： 千只 )，其利潤函數(shù)為 152484 22 ?????? yxyxz （單位：萬元）。 如果現(xiàn)有原料 15000 kg (不要求用完 )，生產(chǎn)兩種產(chǎn)品每千只都要消耗原料 2020 kg ．求： (1)使 工廠獲得的 利潤最大時 ，甲乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量 和最大利潤； (2)如果原料降至 12020 kg ，求 獲得 利潤最大時的產(chǎn)量和最大利潤． 分析過程：該題中涉及的自變量有兩個，故應該根據(jù)所列表達式，由二元函數(shù)的極值原理求出相應的問題。 解 ： 首先考慮無條件極值問題．解方程組 得駐點 )3,4( ，此時 1 5 0 0 01 4 0 0 02 0 0 032 0 0 04 ????? ，即原料在使用限額內(nèi)．又0,0,8,02 ???????????????????? yyxxxyxyyyxx zzzzzz ，所以 )3,4( 為極大值點，也是最大值點．故甲乙兩種產(chǎn)品分別為 4 千只和 3 千只時利潤最大，最大利潤為37)3,4( ?z 萬元 ． )2( 當原料為 12020 kg 時，若按 )1( 的方式生產(chǎn)，原料已不足，故應考慮在約束 1222 ?? yx 下，求 ),( yxz 的最大值．應用拉格朗日乘數(shù)法，設 )6(152484 22 yxyxyxF ????????? ?， ?????