【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，從而使得其應(yīng)用越來(lái)越廣泛，也越來(lái)越受到科學(xué)家和工程師的青睞。在緒論中，我們對(duì)模糊理論作了簡(jiǎn)單的了 解。鑒于此，我們有必要了解相關(guān)的模糊理論和模糊控制的知識(shí)，為模糊控制器的設(shè)計(jì)打下一定的理論基礎(chǔ)。 模糊理論基礎(chǔ) 美國(guó)加利福尼亞大學(xué)著名控制論專家扎德（ . Zadeh）在其于 1965 年發(fā)表的論文《 Fuzzy Sets》中首先提出了模糊集合的概念，之后許多學(xué)者對(duì)模糊語(yǔ)言變量及其在控制中的應(yīng)用進(jìn)行了探索和研究。 1973 年， Zadeh 又給出了模糊邏輯控制的定義和定理，為模糊控制奠定了基礎(chǔ)。 世界上的任何事物都具有模糊性。當(dāng)人對(duì)事物進(jìn)行研究時(shí)，事物在人腦中的反映也具有模糊性?？梢?jiàn)，模糊性是一 種客觀存在的特性，因此，用模糊理論去研究客觀事物是合理而可行的。 事物的復(fù)雜性使人們不可能精確地去了解它。事物越復(fù)雜，人們對(duì)事物的了解就越不可能完善，從而人們對(duì)事物的感知就越模糊，也就無(wú)法用精確數(shù)學(xué)去描述這些事物、解決相關(guān)問(wèn)題。 Zadeh 提出的 “大系統(tǒng)不相容原理 ”清楚地指出了復(fù)雜性與精確性的對(duì)立關(guān)系。即：當(dāng)系統(tǒng)的復(fù)雜性增加時(shí)，對(duì)其精確化的能力將會(huì)降低，當(dāng)達(dá)到一定的閥值后，復(fù)雜性和精確性將互相排斥。這個(gè)原理說(shuō)明：人們不應(yīng)該也不可能對(duì)系統(tǒng)的準(zhǔn)確性作過(guò)分的追求，只能對(duì)系統(tǒng)采用取其主要特征而舍棄其次要特征的辦法來(lái) 描述，從而盡量降低其復(fù)雜性而又不會(huì)使其過(guò)于簡(jiǎn)單。顯然，這種描述實(shí)際上就是一種模糊描述。實(shí)踐也證明，對(duì)任何一個(gè)物理系統(tǒng)進(jìn)行確切描述是不可能的，然而模糊描述則有利于提高解決問(wèn)題的效率。 從經(jīng)典集合到模糊集合的轉(zhuǎn)變 19 世紀(jì)末德國(guó)數(shù)學(xué)家 Gee Contor 發(fā)表了一系列有關(guān)集合的文章，對(duì)任意元素的集合進(jìn)行了深入的探討，提出了基數(shù)、序數(shù)等理論，創(chuàng)立了集合論，并成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。每個(gè)數(shù)學(xué)分支都可以看作研究某類對(duì)象的集合，因此，集合的理論統(tǒng)一了許多似乎沒(méi)有聯(lián)系的概念。 對(duì)于集合這一最 基本的公理化的概念，不能加以定義，只能給出一種描述。即：集合一般指具有某種屬性的、確定的、彼此間可以區(qū)別的事物的全體。 根據(jù)以上描述，人們研究的對(duì)象要么屬于某一集合，要么不屬于該集合，而不可能既屬于這個(gè)集合，又不屬于這個(gè)集合。對(duì)于這種集合的概念，可用特征函數(shù)（或稱為隸屬函數(shù)）描述如下： ??? ??? A x0 A x1)x(A? （ ） 集合等價(jià)于其特征函數(shù) μA(x)。從這個(gè)意義上講，知道 μA(x)就知道 A，反之亦然，二者是一回事。這就是我們使用最為普遍并被大多 數(shù)人所接受的 “經(jīng)典集 合 ”，為與模糊集合區(qū)別，也可稱之為 “清晰集合 ”。 然而，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，人們所面臨的問(wèn)題也越來(lái)越復(fù)雜。在研究的過(guò)程中，人們發(fā)現(xiàn)大多數(shù)客觀事物并不具有這種清晰性，比如，根據(jù)人的年齡，可以把人分為 “少年 ”、 “青年 ”、 “中年 ”、 “老年 ”等，而這些概念之間的界限是非常不清晰的；同樣，根據(jù)人的身高可以將人分為 “矮個(gè)子 ”、 “中等個(gè)子 ”、 “高個(gè)子 ”等，這些概念之間同樣沒(méi)有明確的界限，用經(jīng)典集合論對(duì)這些概念進(jìn)行定義就顯得無(wú)能為力了。這說(shuō)明了經(jīng)典集合的這種局限性是本質(zhì)上的。為了克服經(jīng)典集合理論的這 種局限性，一種新的理論 ——模糊集合理論便應(yīng)運(yùn)而生。 經(jīng)典集合描述的事物具有 “跳變性 ”，即事物的屬性只能是從 “0”變?yōu)?“1”或從“1”變?yōu)?“0”，中間沒(méi)有過(guò)渡。而客觀事物只有少數(shù)符合這種 “跳變 ”的性質(zhì)，絕大多數(shù)事物屬性的變化都是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程。如人的年齡增長(zhǎng)就是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程，從嬰兒到老年是隨著時(shí)間的推移逐漸變化的，不可能一夜之間發(fā)生 “跳變 ”。模糊集合正好能描述這種漸變過(guò)程。模糊集合與經(jīng)典集合在區(qū)間 [0,1]上的映射圖明確地反映了二者的關(guān)系，如圖 2— 1 所示。 圖 2— 1 經(jīng)典集合與模糊集合映射圖 模糊集合的基本概念 為了對(duì)模糊理論進(jìn)行深入的認(rèn)識(shí)，我們首先應(yīng)了解模糊集合的定義。 定義 論域 U 上的模糊集合 A 用隸屬度函數(shù) μA(x)來(lái)表示，其取值范圍為 [0,1]。 定義 設(shè)給定論域 U，則 U 到 [0,1]閉區(qū)間的任一映射 μA ? ? )x( x 1,0U:AA ?? ?? （ 2— 2） 都確定 U 的一個(gè)模糊子集 A， μA 稱為模糊子集的隸屬函數(shù)， μA(x)稱為 x 對(duì)于 A 的隸屬度。隸屬度也可記為 A(x)。在不混淆的情況下，模糊 子集也稱為模糊集合。 由定義 和 可知，模糊集合是經(jīng)典集合的一種推廣，它允許隸屬度函數(shù)在區(qū)間 [0,1]內(nèi)任意取值。也就是說(shuō)，經(jīng)典集合的隸屬度函數(shù)只允許取兩個(gè)值——0 或 1，即元素要么屬于該集合（隸屬度為 “1”）； 么不屬于該集合（隸屬度為 “0”）；而模糊集合的隸屬度函數(shù)則是區(qū)間 [0,1]上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)。 從上述定義可以看出，模糊集合并不模糊，它只是一個(gè)帶有連續(xù)隸屬度函數(shù) 的集合。模糊集合清楚地表明了客觀事物屬于某一集合的 “程度 ”，如果隸屬度函數(shù)為 “0”，則表示該事物完全不屬 于該集合；如果隸屬度函數(shù)為 “1”，則表示該事物完全屬于該集合；如果隸屬度函數(shù)取值介于 “0”和 “1”之間，則表示該事物部分屬于該集合，其值越大，則表明該事物隸屬于該集合的 “程度 ”越高，反之則隸屬程度越低。模糊集合及其隸屬度函數(shù)的出現(xiàn)，使人們更客觀、更準(zhǔn)確地利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述事物。 論域 U 上的模糊集合 A 可以表示為一組元素與其隸屬度值的有序?qū)Φ募?，? ? ?Ux))x(,x(A A ?? ? （ 2— 3） 當(dāng) U 連續(xù)時(shí)（如 U=R）， A 一般可以表示為 x/)x(A U A?? ? （ 2— 4） 這里的積分符號(hào)并不表示積分，而是表示 U 上隸屬度函數(shù)為 μA(x)的所有點(diǎn)的集合。 當(dāng) U 取離散值時(shí)， A 一般可以表示為 x/)x(A U A?? ? （ 2— 5） 同樣，這里的求和符號(hào)也只是表示 U 上隸屬度函數(shù)為 μA(x)的所有點(diǎn)的集合。 由于模糊集合是經(jīng)典集合的推廣，因此，模糊集合中的許多概念和術(shù)語(yǔ)是由經(jīng)典集合 推廣而來(lái)的，我們?cè)诖瞬蛔鬟^(guò)多的說(shuō)明。然而，有些概念是模糊集合體系所特有的，不能通過(guò)經(jīng)典集合推廣。簡(jiǎn)要說(shuō)明如下： 定義 支撐集（ support）、模糊單值（ fuzzy singleton）、中心（ center）、交叉點(diǎn)（ crossover point）、高度（ height）、標(biāo)準(zhǔn)模糊集（ normal fuzzy set）、 α截集（ αcut）、凸模糊集（ convex fuzzy set）及投影（ projections）定義如下： 論域 U 上模糊集 A 的支撐集是一個(gè)清晰集合，它包含了 U 中所有在 A 上具有非零隸屬度的元素，即 ? ?0)x(Uxs u p p ( A ) A ??? ? （ 2— 6） 式中， supp(A)—模糊集 A 的支撐集。 如果一個(gè)模糊集的支撐集是空的，則稱該模糊集為空模糊集；如果模糊集的支撐集僅包含 U 中的一個(gè)點(diǎn)，則稱該模糊集為模糊單值。 如果模糊集的隸屬度函數(shù)達(dá)到其最大值的所有點(diǎn)的均值是有限值，則將該均值定義為模糊集的中心；如果該均值為正（或負(fù)）無(wú)窮大，則將該模糊集的中心定義為所有達(dá)到最大隸屬值的點(diǎn)中的最?。ɑ蜃畲螅c(diǎn)的值，如圖 2— 2 所示： 圖 2— 2 一些典型模糊集的中心 一個(gè)模糊集的交叉點(diǎn)就是 U 中隸屬于 A 的隸屬度值等于 的點(diǎn)。 模糊集的高度，是指任意點(diǎn)所達(dá)到的最大隸屬度值。如果一個(gè)模糊集的高度等于 1，則稱之為標(biāo)準(zhǔn)模糊集。圖 2— 3 列出了一些常見(jiàn)的標(biāo)準(zhǔn)模糊集，其高度均為 1。 圖 2— 3 幾種標(biāo)準(zhǔn)模糊集 一個(gè)模糊集 A 的 α集是一個(gè)清晰集 Aα，它包含了 U 中所有隸屬于 A 的隸屬度值大于等于 α 的元素，即 ? ???? ??? )x(UxA A （ 2— 7） 當(dāng)論域 U 為 n 維歐氏空間 Rn 時(shí)，凸集的概念可以推廣到模糊集合。即：對(duì)于任意 α，當(dāng)且僅當(dāng)模糊集 A 在區(qū)間 (0,1]上的 α截集 Aα為凸集時(shí)，模糊集 A 是凸模糊集。 令 A 是 Rn 上一個(gè)模糊集，其隸屬度函數(shù)為 μA = μA(x1,……,x n)， H 為 Rn中的一個(gè)超平面（ hyperplane），定義 H 為 H ={ x∈ Rn x1 = 0 }（為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，這里只考慮了這個(gè)特殊的超平面，由它可直接推廣到一般的超平面）。定義 A 在 H 上的投影為在 Rn1上的模糊集合 AH，其隸屬度函數(shù)為 )x,x(s u p)x,x( n1ARxn1A 1H ????? ? ?? （ 2— 8） 式中， )x,x(s u pn1ARx 1 ??? ?表示當(dāng) x1在 R 中取值時(shí)函數(shù) μA(x1,……,x n)的最大值。 定義 設(shè)論域 U 中給定模糊集 A，則以 A 的全體子集為元素構(gòu)成的集合，稱為模糊集 A 的冪集，記作 F(A)。若將論域 U 看作一個(gè)模糊全集，則 F(U) 表示 U 中的所有模糊子集 A 的全體，即 ?? UAA)U(F ?? （ 2— 9） 模糊集合的基本運(yùn)算 單一模糊集合只能表示單個(gè)事物的特征。由于客觀事物之間存在著各種各樣復(fù)雜的聯(lián)系，這些聯(lián)系用模糊集合來(lái)表示就表現(xiàn)為模糊集合之間的運(yùn)算。兩個(gè)在下面的討論中，如不特別說(shuō)明，我們均假設(shè)所涉及的模糊集合定義在同一論域 U 上。 定義 兩個(gè)模糊集合 A 和 B 的等價(jià)（ equality）、包含（ containment）、補(bǔ)集（ plement）、并集（ union）和交集（ intersection）定義如下： 對(duì)任意 Ux? ，當(dāng)且僅當(dāng) )x()x( BA ?? ? 時(shí)，稱 A 和 B 是等價(jià)的。對(duì)任意Ux? ，當(dāng)且僅當(dāng) )x()x( BA ?? ? 時(shí)，稱 B 包含 A，記為 BA? 。定義集合的補(bǔ)集為 U 上的模糊集合，記為 ?A ，其隸屬度函數(shù)為 )x(1)x( AA ?? ??? （ 2— 10） U 上的模糊集 A 和 B 的并集也是模糊集 ，記為 BA? ，其隸屬度函數(shù)為 ? ?)x(),x(m a x)x( BABA ??? ?? （ 2— 11） U 上的模糊集 A 和 B 的交集也是模糊集，記為 BA? ，其隸屬度函數(shù)為 ? ?)x(),x(m in)x( BABA ??? ?? （ 2— 12） 定義 設(shè) A 和 B 均為 U 上的模糊集，其隸屬函數(shù)分別為 A? 和 B? ，則 A和 B 的代數(shù)積、代數(shù)和、有界和、有界差、有界積可用其隸屬函數(shù)定義如下： 代數(shù)積 :BA? )x()x()x( BABA ??? ??? （ 2— 13） 代數(shù)和 :BA? )x()x()x()x()x( BABABA ????? ????? （ 2— 14） 有界和 :BA? )1),x(B)x(A(m i n1))x()x(()x( BABA ?????? ??? （ 2— 15） 有界差 :BA? 0))x()x(()x( BABA ???? ??? （ 2— 16） 有界積 :BA? )1)x(B)x(A,0(m a x0)1)x()x(()x( BABA ???????? ??? （ 2— 17） 定義 模糊關(guān)系及其合成的定義如下： 模糊關(guān)系是一個(gè)定義在清晰集 U1,U2,……,Un 的笛卡兒積上的模糊集。利用式 ()，可以將 U1,U2,……,Un 上的模糊關(guān)系 R 定義為如下的模糊集合： }UUU)u,u,(u))u,u,u(),u,u,u{( (R n21n21n21Rn21 ????????????? ? （ 2— 18） 其中， ]1,0[UUU: n21R ??????? 。 設(shè) U、 V、 W 為三個(gè)論域， R 為 U 到 V 的一個(gè)模糊關(guān)系， S 為 V 到 W 的一個(gè)模糊關(guān)系，則模糊關(guān)系 R(U,V)和 S(V,W) 的合成 SR? 是 U W 中的一個(gè)模糊關(guān)系，其隸屬度函數(shù)為： )]w,v(),v,u( t [ma x)w,u( sRVvSR ??? ??? （ 2— 19） 其中， WU)w,u( ?? ， t 表示任一 t范數(shù)。 由于 t范數(shù)可以取很多種形式，所以每種取一種 t范數(shù)就能得到一個(gè)特定的關(guān)系合成。最常用的兩種關(guān)系合成就是 “最大 —最小（ maxmin） ”合成和 “最大 —代數(shù)積（ maxproduct） ”合成，其定義如下： 模糊關(guān)系 R(U,V) 和 S(V,W) 的最大 —最小合成是指由如下隸屬度函數(shù)定義的 U W 中的模糊關(guān)系 SR? ： )]w,v(),v,u(mi n [ ma x)w,u(sRVvSR ??? ??? （ 2— 20） 其中 WU)w,u( ?? 。 模糊關(guān)系 R(U,V) 和 S(V,W) 的最大 —代數(shù)積合成是指由如下隸屬度函數(shù)定義的 U W 中的模糊關(guān)系 SR? ： )]w,v(),v,u([ ma x)w,u(sRVvSR ??? ??? （ 2— 21） 其中 WU)w,u( ?? 。 模糊控制基礎(chǔ) 把模糊數(shù)學(xué)理論用于自動(dòng)控制領(lǐng)域而產(chǎn)生的控制方式稱為模糊控制。模糊控制是一種新的控制方式，其理論基礎(chǔ)和實(shí)現(xiàn)方法都與傳統(tǒng)的控制方式有很大的區(qū)別。模糊控制的誕生是和社會(huì)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和需要分不開(kāi)的。傳統(tǒng)的模擬和數(shù)字控制方法在執(zhí)行控制時(shí)，往往需要取得對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型，而在實(shí)際中，很多被 控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型是難于求取甚至無(wú)法求取的，特別是那些時(shí)變的、非線性的復(fù)雜系統(tǒng)，往往根本無(wú)法取得精確的數(shù)學(xué)模型；或取得的數(shù)學(xué)模型十分復(fù)雜而不能實(shí)現(xiàn)。所以，利用傳統(tǒng)方法對(duì)這些復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行有效的控制基本上是不可能的。要解決這些問(wèn)題，只有利用新的控制方法。 在生產(chǎn)實(shí)踐中，人們發(fā)現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)的操作人員雖然不知道被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模 型，但卻能十分有效地對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制。這是因?yàn)椴僮魅藛T對(duì)系統(tǒng)的控制是建立在直觀的經(jīng)驗(yàn)上的，憑借在實(shí)際中取得的經(jīng)驗(yàn)采取相應(yīng)的決策就可以很好的完成控制工作。 人的經(jīng)驗(yàn)是一系列含有語(yǔ)言變量值的條件語(yǔ)句和規(guī)則，而模糊集合理論又能十分恰當(dāng)?shù)乇磉_(dá)具有模糊性的語(yǔ)言變量和條件語(yǔ)句。因此，模糊集合理論非常適合于描述人的經(jīng)驗(yàn)。很明顯，把人的經(jīng)驗(yàn)用模糊條件語(yǔ)句表示，然后，用模糊集合理論對(duì)語(yǔ)言變量進(jìn)行量化，再用模糊推理對(duì)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)輸入狀態(tài)進(jìn)行處理，產(chǎn)生相應(yīng)的控制決策無(wú)疑是一種新穎而有效的方法。這就產(chǎn)生了模糊控制器。 模糊控制實(shí)現(xiàn)了人的某些智能，是一種典型的智能控制，在自動(dòng)控制和智能控制學(xué)科中占有相當(dāng)重要的地位，代表了新時(shí)代極有生命力的智能化發(fā)展方向。目前，在世界范圍 內(nèi)已掀起了一股模糊控制技術(shù)熱潮，有些專