【文章內(nèi)容簡介】 我們再來說明微分的幾何意義。 如下圖所示： 基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則。 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。 ：如下圖所示， 如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個導(dǎo)數(shù)不存在的點外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程 f’(x)=0的根及 f’(x) 不存在的點來劃分函數(shù) f(x)的定義區(qū)間，就能保證 f’(x) 在各個部分區(qū)間保持固定符號，因而函數(shù) f(x)在每個部分區(qū)間上單調(diào)。 函數(shù)的極值判定：設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間（ a,b）內(nèi)有定義， x0是（ a,b）內(nèi)的一個點，如果存在著點 x0 的一個鄰域，對于這鄰域內(nèi)的任何點 x，除了點 x0 外， f(x)f(x0)均成立，就稱 f(x0)是函數(shù) f(x)的一個極小值。 必要條件：設(shè)函數(shù) f(x)在點 x0 處具有導(dǎo)數(shù)，且在 x0處取得極值，那么這函數(shù)在 x0 處的導(dǎo)數(shù) f’(x)=0 。使導(dǎo)數(shù)為 0 的點叫做函數(shù) f(x)的駐點。 第一種充分條件：設(shè)函數(shù) f(x)在點 x0 的一個鄰域內(nèi)可導(dǎo)且 f’(x)=0 如果當(dāng) x取 x0左側(cè)鄰近的值時，f’(x) 恒為正，當(dāng) x取 x0右側(cè)鄰近的值時， f’(x) 恒為負(fù)，那么 f(x)在 x0 處取得極大值；如果當(dāng) x 取x0左側(cè)鄰近的值時， f’(x) 恒為負(fù)，當(dāng) x取 x0右側(cè)鄰近的值時， f’(x) 恒為正，那么 f(x)在 x0處取得極小值；如果當(dāng) x取 x0左右兩側(cè)鄰近的值時， f’(x) 恒為正或恒為負(fù)，那么函數(shù) f(x)在 x0 處沒有極值。 第二種充分條件：設(shè)函數(shù) f(x)在點 x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且 f’(x0)=0 ， f’(x0)≠0 ，那么（ 1）當(dāng) f’’(x0)0時，函數(shù) f(x) 在 x0處取得極大值；（ 2） f’’(x0)0 時，函數(shù) f(x) 在 x0處取得極小值。 例 1求函數(shù) f(x)=（ x21） 3+1的極值。 解： f’(x)=6x （ x21） 2令 f’(x)=0 ，求得駐點 x1=1,x2=0,x3=1， f’’(x)=6 （ x21） (5x21),因f’’(0)=60,f(x) 在 x=0 處取得極小值，極小值為 0；因 f’’( 1)= f’’(+1)=0, 用定理無法判別，只能看導(dǎo)數(shù) f’(x) 在駐點 x1=1， x3=1左右鄰近的符號。當(dāng) x 取 1左側(cè)鄰近的值時， f’(x)0 ，當(dāng) x取 1 右側(cè)鄰近的值時， f’(x)0 ，所以在 x=1處沒有極值。 函數(shù)的最大值和最小值的判定：設(shè) f(x)在 (a,b)內(nèi)的駐點為 x1,x2,?xn 則比較 f(a)、 f(x1)、f(x2)?f(xn),f(b) 的大小，其中最大的便是 f(x)在 [a,b]上的最大值，最小的便是 f(x)在 [a,b]上的最小值。 例 1求函數(shù) y=2x3+3x212x+14 在 [3， 4]上的最大值與最小值。 解： f(x)= 2x3+3x212x+14,f’(x)=6x 2+6x12=0，解得 x1=2,x2=1。，求得 f(3)、 f(2)、 f(1)、 f(4)可得在 x=4 處取得它在 [3， 4]上的最大值，在 x=1 取得它在該區(qū)間上的最小值。 曲線的凹凸性與拐點的判定：設(shè) f(x)在 (a,b)內(nèi) 2，內(nèi)如果對 (a,b)內(nèi)任意兩點 x1,x2，恒有 3 多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用。 偏導(dǎo)數(shù)及全微分： 多元函數(shù)的概念：設(shè) D是平面上的一個點集，如果對于每個點 P(x,y)∈D 變量 z 按照一定的法則總有確定的值和它對 應(yīng)，則稱 z 是變量 x,y的二元函數(shù)，記為 z=f(x,y)點集 D稱為該函數(shù)的定義域， x,y稱為自變量， z 稱為因變量。 偏導(dǎo)數(shù)的定義 ：設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在點（ x0,y0）的某一鄰戴內(nèi)有定義，當(dāng) y固定在 y0 上面的結(jié)果，就得到結(jié)果。 ：若函數(shù) z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù) fx(x,y)及 fy(x,y)存在，則稱它們?yōu)?f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)，二階及二階以 上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。 多元函數(shù)的極值 ：（必要條件）設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在點（ x0,y0）具有偏導(dǎo)數(shù)，在點（ x0,y0） 處有極值，則它 在該點的偏導(dǎo)數(shù)為零，即 fx（ x0,y0） =0 fy（ x0,y0） =0 （充分條件）設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在點（ x0,y0）的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 fx（ x0,y0）=0 fy （ x0,y0） =0,記 A= fxx（ x0,y0） B= fxy（ x0,y0） C= fyy（ x0,y0）則當(dāng) ACB20時，具有極值 f（ x0,y0）且當(dāng) A0時， f（ x0,y0）為極大值，當(dāng) A0 時， f（ x0,y0）為極小值。 ACB20時，沒有極值。 ACB2=0時，可能有極值 ，也可能沒有極值，還需另作討論。 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) z=f(x,y)極值的求法敘述如下： 第一步：解方程組， fx(x,y)=0 f(x,y) =0 求得一切實數(shù)解，即可求得一切駐點。 第二步：對于每一個駐點（ x0,y0），求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值 A、 B、 C。 第三步：定出 ACB2的符號，按上述定理的結(jié)論判定 f(x,y)時否有極值，是極大值還是極小值。 例 2求曲線 x=t,y=t2,z=t3在占點（ 1， 1， 1）處的切線及法平面方程。 第四講 不定積分、定積分、廣義積分的的概念及計算 一、內(nèi)容提要： 本講主要是講解不定積分的概念與性質(zhì)，不定積分的換元積分法和分部積分法，定積分的概念與性質(zhì)， 定積分的換元積分法和分部積分法，無窮限的廣義積分和無界函數(shù)的廣義積分。 二、重點： 本講的重點是 不定積分和定積分的換元積分法和分部積分法 。 難點：本講的難點是廣義積分的計算。 三、內(nèi)容講解： 不定積分： ：如果在區(qū)間 I內(nèi)，可導(dǎo)函數(shù) F(x)的導(dǎo)函數(shù)為 f(x)，即對任一 x∈I 都有 F’(x)=f(x)或 d F(x)= f(x)dx，那末函數(shù) F(x)就稱為 f(x)(或 f(x)dx)在區(qū)間 I 內(nèi)的原函數(shù)。 原函數(shù)存在的定理：如果函數(shù) f(x)在區(qū)間 I 內(nèi)連續(xù)，那末在區(qū)間 I內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù) F(x)，使對任一 x∈I都有 F’(x)=f(x) 。 ：在區(qū)間 I內(nèi)，函數(shù) f(x)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為 f(x