南充高中20xx年自主招生考試數(shù)學試題(編輯修改稿)
2024-09-28 15:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 _ 12． _____1_______ 13． ___0_________ 14． ______2 或－ 3____ 15． ___ 1300 _______ 16． ______27 13 3? ____ 三、解答題：（ 本大題共 6個小題 ,共 70分 ,解答應寫出必要的說明 ,證明過程和推演步驟 ) 17.(本小題 10分 ) 能否在圖中的四個圓圈內(nèi)填入 4個互不相同的數(shù)，使得任意兩個圓圈中所填的數(shù)的平方和等于另外兩個圓圈中所填數(shù)的平方和？如果能填，請?zhí)畛鲆粋€例；如果不能填，請說明理由。 解： 不能填。 …………………………………… 2 分 理由如下： 設(shè)所填的互不相同的 4個數(shù)為 a, b, c, d；則有 ………………… 6 分 ①－②得 2222 cddc ??? 即 22 dc ? 因為： c≠ d，只能是 c = d ④ 同理可得 22 bc ? 因為 c ≠ b ,只能 c = b ⑤ 比較④，⑤得 b=d ,與已知 b≠ d 矛盾，所以題設(shè)要求的填數(shù)法不存在。 ………… 10分 ① ② ③ 南充高中 2020 年面向省內(nèi)外自主招生考試數(shù)學試卷 第 8 頁 共 13 頁 18. (本小題 12 分 ) 如圖是一個長為 400 米的環(huán)形跑道，其中Ａ，Ｂ為跑道對稱軸上的兩點，且Ａ，Ｂ之間有一條 50 米的直線通 道．甲乙兩人同時從Ａ點出發(fā)，甲按逆時針方向以速度 1v 沿跑道跑步，當跑到Ｂ時繼續(xù)沿跑道前進，乙按順時針方向以速度 2v 沿跑道跑步，當跑到Ｂ時沿直線通道跑回Ａ點處，假設(shè)兩人跑步的時間足夠長．求： （ 1）如果 12: 3:2vv? ，那么甲跑了多少路程后，兩人首次在Ａ點處相遇； （ 2）如果 12: 5:6vv? ，那么乙跑了多少路程后，兩人首次在Ｂ點處相遇． 解：（ 1）設(shè)甲跑了 n 圈后，兩人首次在 A點處相遇，再設(shè)甲、乙 兩人的速度分別為 123 , 2v m v m?? 由題意可得在 A處相遇時，他們跑步的時間是 400 800233n mnm ?? 因乙跑回到 A 點處，所以 8003n應是 250 的整數(shù)倍，從而知 n 的最小值是 15，此時，甲跑過的路程為 400 15=6000（米） 故甲跑了 6000米后，兩人首次在 A點處相遇……………………………… .6分 （ 2）設(shè)乙跑了 250p+200米，甲跑了 400q+200米時，兩人首次在 B處相遇，設(shè)甲、乙兩人的速度分別為 125 , 6v m v m??，由題意可得 4 0 0 2 0 0 2 5 0 2 0 056qpmm??? ，即8 4 5 456qp??? 所以 48 24 25 20qp? ? ?，即 48 4 25 ( ,q p p q?? 均 為 正 整 數(shù) ）， pq? 的最小值為2 與 4 此時，乙跑過的路程為 250 4+200=1200米 故乙跑了 1200米后，兩人首次在 B點處相遇……………………………………… ..12分 19. (本小題 12 分 ) 已知：如圖， BD 為⊙ O 的直徑，點 A 是劣弧 BC 的中點， AD 交 BC于點 E，連結(jié) AB. （ 1）求證： 2AB AE AD??； （ 2）過點 D 作⊙ O 的切線，與 BC 的延長線交于點 F， 若 AE=2， ED=4，求 EF 的長． （ 1）證明：如圖 4． ∵ 點 A 是劣弧 BC 的中點， ∴ ∠ ABC＝ ∠ ADB． ……………………… 2 分 又 ∵ ∠ BAD＝ ∠ EAB， ∴ △ ABE∽△ ADB． ……………………… 4 分 ∴ AB ADAE AB? ． ∴ 2AB AE AD??． ……………………………………………………… 6 分 A B 甲 乙 甲 乙 南充高中 2020 年面向省內(nèi)外自主招生考試數(shù)學試卷 第 9 頁 共 13 頁 （ 2）解： ∵ AE=2， ED=4， ∴ ? ?2 2 6 12A B A E A D A E A E E D? ? ? ? ? ? ?． ∴ 23AB? （舍負）． ……………………………………………………… 8 分 ∵ BD 為⊙ O 的直徑， ∴ ∠ A=90? ． 又∵ DF 是⊙ O 的切線， ∴ DF⊥ BD. ∴ ∠ BDF=90? ． 在 Rt△ ABD 中， 2 3 3ta n 63ABADB AD? ? ? ?， ∴ ∠ ADB=30? ． ∴ ∠ ABC=∠ ADB=30? . ∴∠ DEF=∠ AEB= 60? ， 9 0 3 0 6 0EDF BDF ADB? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． ∴ ∠ F =1 8 0 6 0DE F ED F? ? ? ? ? ? ?． ∴ △ DEF 是等邊三角形 ． ∴ EF=DE=4． ……………………………………………………………… 12 分 20. (本小題 12分 ) 2020 年 3 月 11 日 13 時 46 分日本發(fā)生了 ，伴隨著就是海嘯。山坡上有一棵與水平面垂直的大樹，海嘯過后，大樹被刮傾
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