20xx屆北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三12月月考試數(shù)學(xué)試題(含解析)(編輯修改稿)
2025-04-05 05:46 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 利用平面向量的數(shù)量積求即可.【詳解】因?yàn)槭钦呅?，且邊長(zhǎng)為1，則,所以，且與的夾角為，因此． 故答案為：.14．平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)Q(xQ，yQ)在拋物線上，滿足|PQ|=xQ+1，則的面積是____________．【答案】【分析】由拋物線的定義可得，而，則可得點(diǎn)在的垂直平分線上，從而可求出的垂直平分線是，再與拋物線方程聯(lián)立方程組，可求出的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出的面積【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則，因?yàn)?，所以點(diǎn)在的垂直平分線上，而，所以的垂直平分線是，由，解得，即，所以，故答案為：15．如圖，定點(diǎn)A到平面a的距離為，B，C為平面內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AB=2，AC=，給出下列四個(gè)結(jié)論：①BC∈[2，4]；②∠BAC可能為；③在平面內(nèi)，所有滿足AB≤AP≤AC的點(diǎn)P所構(gòu)成的區(qū)域的面積為9π；④設(shè)點(diǎn)D為A在平面內(nèi)的正射影，則三棱錐ABCD體積的最大值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_____________．【答案】①②【分析】先找到點(diǎn)A在面上的投影，然后逐項(xiàng)分析即可.【詳解】由題意，D是點(diǎn)A在面上的投影，又A到平面的距離為, B，C為平面內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足,由勾股定理可得即點(diǎn)B是以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)點(diǎn)C是以點(diǎn)D為圓心，3為半徑的圓上的點(diǎn),當(dāng)B、C、D共線且在點(diǎn)D的同側(cè)時(shí)，線段BC最短，長(zhǎng)度為半徑之差，為當(dāng)B、C、D共線且在點(diǎn)D 的異側(cè)時(shí)，線段BC最長(zhǎng)，長(zhǎng)度為半徑之和，為故BC∈[2，4] ①正確；因?yàn)锽C∈[2，4]，所以若在中，故②正確；在平面內(nèi)，所有滿足AB≤AP≤AC的點(diǎn)P所構(gòu)成的區(qū)域環(huán)形圓面，其面積是大圓面與小圓面的面積之差其值為 故③不正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B到邊DC的距離最長(zhǎng)，此時(shí)的面積最大，最大值是 又棱錐的高為 故三棱錐體積的最大值是 故④不正確.綜上，①②正確. 故答案為：①②.【點(diǎn)睛】本題考查空間位置關(guān)系與距離，幾何體體積的求法，圓與圓的位置關(guān)系，涉及到的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，考查了空間想像能力，難度較大，解答的關(guān)鍵是判斷出B，C兩點(diǎn)在變化中的相對(duì)位置.三、解答題16．已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，=1，且，成等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先由已知求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出；（2）由（1）先得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用等差等比公式法求和即可．【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，設(shè)數(shù)列的公比為，則，解得，或（舍），所以；（2）因?yàn)椋桑?）知：，則，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則 ，數(shù)列的前n項(xiàng)和為：.17．如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=，AB=AA1=2，M為棱AB的中點(diǎn)N是A1C與AC1的交點(diǎn)．（1）證明：平面BCC1B1；（2）求直線A1C與平面AMN所成角的正弦值．
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