【文章內(nèi)容簡介】 ∠NEQ=∠MEN?∠END= (∠MEN?∠END)=m176。；（3）∠GEK＝∠BMN＋n∠GEH．如圖3，∵∠BMN=n?∠EMN，∠GEK=n?∠GEK，∴∠EMN＝∠BMN，∠GEM＝∠GEK，∵EH∥MN，∴∠HEM＝∠ENM＝∠BMN，∵∠GEH=∠GEM∠HEM=∠GEK?∠BMN，∴n∠GEH=∠GEK∠BMN，即∠GEK＝∠BMN＋n∠GEH．點(diǎn)睛：本題主要考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是會(huì)綜合運(yùn)用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義解決問題．完成下面的證明如圖，端點(diǎn)為P的兩條射線分別交兩直線ll2于A、C、B、D四點(diǎn)，已知∠PBA=∠PDC，∠l=∠PCD，求證：∠2+∠3=180176。．證明：∵∠PBA=∠PDC（　 ?。唷? ?。ㄍ唤窍嗟龋瑑芍本€平行）∴∠PAB=∠PCD（　 ?。摺?=∠PCD（　 　）∴　 ?。ǖ攘看鷵Q）∴PC//BF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴∠AFB=∠2（　 ?。摺螦FB+∠3=180176。（　 ?。唷?+∠3=180176。（等量代換）【答案】已知；l1∥l2；兩直線平行，同位角相等；已知；∠1=∠PAB；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；鄰補(bǔ)角定義【解析】【分析】由∠PBA=∠PDC，根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得l1∥l2，∠PAB=∠PCD，由∠1=∠PCD根據(jù)等量代換可得∠1=∠PAB，繼而可得PC//BF，從而可得∠AFB=∠2，根據(jù)鄰補(bǔ)角定義可得∠AFB+∠3=180176。，利用等量代換即可得∠2+∠3=180176。.【詳解】∵∠PBA=∠PDC（ 已知），∴l(xiāng)1∥l2（同位角相等，兩直線平行），∴∠PAB=∠PCD（ 兩直線平行，同位角相等），∵∠1=∠PCD（ 已知），∴∠1=∠PAB（等量代換），∴PC//BF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴∠AFB=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠AFB+∠3=180176。（ 鄰補(bǔ)角定義），∴∠2+∠3=180176。（等量代換），故答案為：已知；l1∥l2；兩直線平行，同位角相等；已知；∠1=∠PAB；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；鄰補(bǔ)角定義.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵.如圖，∠1+∠2=180176。，∠3=∠B，求證:EF∥BC．【答案】見解析.【解析】【分析】先依據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，即可得到DF∥AB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得出∠B=∠FDH，進(jìn)而得到∠3=∠FDH，即可依據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，判定EF∥BC．【詳解】證明：∵∠1+∠2=180176。（已知）∠2=∠4（對頂角相等）∴∠1+∠4=180176。（等量代換）∴DF∥AB（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）∴∠B=∠FDH（兩直線平行，同位角相等）∵∠3=∠B（已知）∴∠3=∠FDH（等量代換）∴EF∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，補(bǔ)角定義的應(yīng)用，能運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，反之亦然．（問題發(fā)現(xiàn)）如圖1，D是△ABC邊AB延長線上一點(diǎn)，求證:∠A+∠C=∠CBD．小白同學(xué)的想法是，過點(diǎn)B作 BE∥AC，從而將∠A和∠C轉(zhuǎn)移到∠CBD處，使這三個(gè)角有公共頂點(diǎn)B，請你按照小白的想法，完成解答；（問題解決）在上述問題的前提，,如圖3，從點(diǎn)B引一條射線與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)F，且∠CBF=∠DBF，探究∠A與∠F的數(shù)量關(guān)系。在小白想法的提示下，小黑同學(xué)也想通過作平行線將∠A或∠F的位置進(jìn)行轉(zhuǎn)移，使兩角有公共頂點(diǎn),，請你根據(jù)小黑的想法或者學(xué)過的知識(shí)解決此問題。【答案】問題發(fā)現(xiàn):見解析. 問題解決:∠A與∠F的數(shù)量關(guān)系是∠F＝∠A,見解析。【解析】【分析】先根據(jù)兩直線平行，同位角相等，∠CBE=∠C，∠DBE=∠A再根據(jù)∠CBD=∠CBE+∠DBE即可得出結(jié)論．根據(jù)角平分線及外角定理可得∠5=（∠A+2∠1）再化簡即可得∠F＝∠A.【詳解】解：問題發(fā)現(xiàn):∵BE∥AC，∴∠CBE=∠C，∠DBE=∠A．∴∠CBD=∠CBE+∠DBE=∠A+∠C．問題解決:如圖：延長CB至G，∵∠CBF=∠DBF，∠CBA=∠DBG∠5=∠GBF∵CF為∠ACB的內(nèi)角平分線，∴∠1=∠2，∵∠GBA=∠ACB+∠A∴∠5=（∠A+2∠1），∵∠3=∠4，∠A=180176?！?∠3∴∠F=180176?！?∠5=180176?！?（∠A+2∠1）＝180176?！?∠1∠A即∠F=∠A∠A＝∠A．所以，∠A與∠F的數(shù)量關(guān)系是∠F＝∠A．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，同位角相等．另考查了三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．（1）同題情境：如圖1,AB∥CD，∠PAB＝130176。，∠PCD＝120176。.求∠APC的度數(shù).小明想到一種方法，但是沒有解答完：如圖2，過P作PE∥AB，∴∠APE＋∠PAB＝180176。.∴∠APE＝180176。－∠PAB＝180176。－130176。＝50176。.∵AB∥CD．∴PE∥CD．…………請你幫助小明完成剩余的解答.（2）問題遷移：請你依據(jù)小明的思路，解答下面的問題：如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，∠MDP＝∠α，∠BCP＝∠β.①當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由.②當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O不重合），請直接寫出∠CPD，∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)110176。(2) 詳見解析【解析】分析：（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)補(bǔ)充即可； （2）①過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案； ②畫出圖形（分兩種情況（i）點(diǎn)P在BA的延長線上，（ii）點(diǎn)P在AB的延長線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．詳解：（1）剩余過程：∴∠CPE＋∠PCD＝1800， ∴∠CPE＝1800—1200＝600，∴∠APC＝500＋600＝1100．（2）①∠CPD=∠α+∠β．理由如下：過P作PQ∥AD ．∵AD∥BC，∴PQ∥BC ，∴，同理，∴；②（i）當(dāng)P在BA延長