【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 E=2OC，然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG．（1）如圖1，若正方形OEFG的對(duì)角線交點(diǎn)為M，求證：四邊形CDME是平行四邊形．（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OE′F′G′，如圖2，連接AG′，DE′，求證：AG′=DE′，AG′⊥DE′；（3）在（2）的條件下，正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊相交于點(diǎn)N，如圖3，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0176。＜α＜180176。），若△AON是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出α的值．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）176?；?5176。176?；?35176。176。．【解析】【分析】（1）由四邊形OEFG是正方形，得到ME=GE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到CD∥GE，CD=GE，求得CD=GE，即可得到結(jié)論；（2）如圖2，延長(zhǎng)E′D交AG′于H，由四邊形ABCD是正方形，得到AO=OD，∠AOD=∠COD=90176。，由四邊形OEFG是正方形，得到OG′=OE′，∠E′OG′=90176。，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠G′OD=∠E′OC，求得∠AOG′=∠COE′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，即可得到結(jié)論；（3）分類討論，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形OEFG是正方形，∴ME=GE，∵OG=2OD、OE=2OC，∴CD∥GE，CD=GE，∴CD=GE，∴四邊形CDME是平行四邊形；（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)E′D交AG′于H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AO=OD，∠AOD=∠COD=90176。，∵四邊形OEFG是正方形，∴OG′=OE′，∠E′OG′=90176。，∵將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OE′F′G′，∴∠G′OD=∠E′OC，∴∠AOG′=∠COE′，在△AG′O與△ODE′中，∴△AG′O≌△ODE′∴AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，∵∠1=∠2，∴∠G′HD=∠G′OE′=90176。，∴AG′⊥DE′；（3）①正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊AD相交于點(diǎn)N，如圖3，Ⅰ、當(dāng)AN=AO時(shí)，∵∠OAN=45176。，∴∠ANO=∠AON=176。，∵∠ADO=45176。，∴α=∠ANO∠ADO=176。；Ⅱ、當(dāng)AN=ON時(shí)，∴∠NAO=∠AON=45176。，∴∠ANO=90176。，∴α=90176。45176。=45176。；②正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊AB相交于點(diǎn)N，如圖4，Ⅰ、當(dāng)AN=AO時(shí)，∵∠OAN=45176。，∴∠ANO=∠AON=176。，∵∠ADO=45176。，∴α=∠ANO+90176。=176。；Ⅱ、當(dāng)AN=ON時(shí)，∴∠NAO=∠AON=45176。，∴∠ANO=90176。，∴α=90176。+45176。=135176。，Ⅲ、當(dāng)AN=AO時(shí)，旋轉(zhuǎn)角a=∠ANO+90176。=+90=176。，綜上所述：若△AON是等腰三角形時(shí)，176。或45176。176?；?35176。176。．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，有一定的綜合性，分類討論當(dāng)△AON是等腰三角形時(shí)，求α的度數(shù)是本題的難點(diǎn)．8．如圖1，在正方形ABCD中，AD=6，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，連接PA，PC過點(diǎn)P作PE⊥PC交直線AB于E．（1） 求證：PC=PE。（2） 延長(zhǎng)AP交直線CD于點(diǎn)F.①如圖2，若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求△APE的面積；②若ΔAPE的面積是，則DF的長(zhǎng)為 （3） 如圖3，點(diǎn)E在邊AB上，連接EC交BD于點(diǎn)M,作點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接PQ，MQ，過點(diǎn)P作PN∥CD交EC于點(diǎn)N，連接QN，若PQ=5，MN=，則△MNQ的面積是 【答案】（1）略；（2）①8，②4或9；（3）【解析】【分析】（1）利用正方形每個(gè)角都是90176。，對(duì)角線平分對(duì)角的性質(zhì)，三角形外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，等角對(duì)等邊等性質(zhì)容易得證。（2）作出△ADP和△DFP的高，△PAE的底和高，通過面積法列出方程求解即可。（3）根據(jù)已經(jīng)條件證出△MNQ是直角三角形，計(jì)算直角邊乘積的一半可得其面積.【詳解】(1) 證明：∵點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，∴△ADP≌△CDP,∴AP=CP, ∠DAP =∠DCP,∵PE⊥PC，∴∠EPC=∠EPB+∠BPC=90176。,∵∠PEA=∠EBP+∠EPB=45176。+90176?！螧PC=135176?！螧PC,∵∠PAE=90176?！螪AP＝90176?！螪CP,∠DCP=∠BPC∠PDC=∠BPC45176。,∴∠PAE=90176。(∠BPC45176。)= 135176。∠BPC,∴∠PEA=∠PAE,∴PC=PE。（2）①如圖2，過點(diǎn)P分別作PH⊥AD,PG⊥CD,垂足分別為H、.∵四邊形ABCD是正方形，P在對(duì)角線上，∴四邊形HPGD是正方形，∴PH=PG,PM⊥AB,設(shè)PH=PG=a,∵F是CD中點(diǎn)，AD＝6，則FD=3,=9,∵==,∴,解得a=2,∴AM=HP=2,MP=MGPG=62=4,又∵PA=PE, ∴AM=EM,AE=4,∵=,②設(shè)HP＝b,由①可得AE=2b,MP=6b,∴=,解得b=,∵==,∴,∴當(dāng)b=，DF=4；當(dāng)b＝，DF＝9,即DF的長(zhǎng)為4或9。（3）如圖，∵E、Q關(guān)于BP對(duì)稱，PN∥CD,∴∠1＝∠2，∠2+∠3＝∠BDC=45176。,∴∠1+∠4=45176。,∴∠3=∠4,易證△PEM≌△PQM, △PNQ≌△PNC,∴∠5=∠6, ∠7=∠8 ,EM=QM,NQ=NC,∴∠6+∠7=90176。,∴△MNQ是直角三角形,設(shè)EM=a,NC=b列方程組,可得ab=,∴,【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握正方形的性質(zhì)，.9．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在對(duì)角線BD上（不與點(diǎn)B，D重合），GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，連結(jié)AG．（1）寫出線段AG，GE，GF長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠AGF=105176。，求線段BG的長(zhǎng)．【答案】（1）AG2=GE2+GF2（2）【解析】試題分析：（1）結(jié)論：AG2=GE2+GF2．只要證明GA=GC，四邊形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可證明；（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一點(diǎn)M，使得AM=BM．設(shè)AN=x．易證AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，根據(jù)AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+x）2，解得x=，推出BN=，再根據(jù)BG=BN247。cos30176。即可解決問題.試題解析：（1）結(jié)論：AG2=GE2+GF2．理由：連接CG．∵四邊形ABCD是正方形，∴A、C關(guān)于對(duì)角線BD對(duì)稱，∵點(diǎn)G在BD上，∴GA=GC，∵GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90176。，∴四邊形EGFC是矩形，∴CF=GE，在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，∴AG2=GF2+GE2．（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一點(diǎn)M，使得AM=BM．設(shè)AN=x．∵∠AGF=105176。，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45176。，∴∠AGB=60176。，∠GBN=30176。，∠ABM=∠MAB=15176。，∴∠AMN=30176。，∴AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，∴1=x2+（2x+x）2，解得x=，∴BN=，∴BG=BN247。cos30176。=．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形30度的性質(zhì)10．（1