中考數(shù)學(xué)知識點過關(guān)培優(yōu)易錯試卷訓(xùn)練∶二次函數(shù)含答案(編輯修改稿)
2025-03-31 07:32 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 種情況討論：當(dāng)PA=PE時，=，解得：n=1，此時P（﹣1，1）； 當(dāng)PA=AE時，=，解得：n=，此時點P坐標(biāo)為（﹣1，）； 當(dāng)PE=AE時，=，解得：n=﹣2，此時點P坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2）． 綜上所述：P點的坐標(biāo)為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．點睛：本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會求拋物線解析式，會運用二次函數(shù)分析三角形面積的最大值，會分類討論解決等腰三角形的頂點的存在問題時解決此題的關(guān)鍵．7．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：y＝kx+b（k＜0，b＞0），與x軸交于點A、與y軸交于點B，直線CD與x軸交于點C、與y軸交于點D．若直線CD的解析式為y＝﹣（x+b），則稱直線CD為直線AB的”姊線”，經(jīng)過點A、B、C的拋物線稱為直線AB的“母線”．（1）若直線AB的解析式為：y＝﹣3x+6，求AB的”姊線”CD的解析式為： ?。ㄖ苯犹羁眨?；（2）若直線AB的”母線”解析式為：，求AB的”姊線”CD的解析式；（3）如圖2，在（2）的條件下，點P為第二象限”母線”上的動點，連接OP，交”姊線”CD于點Q，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m，PQ與OQ的比值為y，求y與m的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；（4）如圖3，若AB的解析式為：y＝mx+3（m＜0），AB的“姊線”為CD，點G為AB的中點，點H為CD的中點，連接OH，若GH＝，請直接寫出AB的”母線”的函數(shù)解析式．【答案】（1）；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）當(dāng)m＝﹣，y最大值為；（4）y＝x2﹣2x﹣3．【解析】【分析】（1）由k，b的值以及”姊線”的定義即可求解；（2）令x＝0，得y值，令y＝0，得x值，即可求得點A、B、C的坐標(biāo)，從而求得直線CD的表達式；（3）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m，則點P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，從而求得直線OP的表達式，將直線OP和CD表達式聯(lián)立并解得點Q坐標(biāo)，由此求得，從而求得y＝﹣m2﹣m+3，故當(dāng)m＝﹣，y最大值為；（4）由直線AB的解析式可得AB的“姊線”CD的表達式y(tǒng)＝﹣（x+3），令x＝0，得 y值，令y＝0，得x值，可得點C、D的坐標(biāo)，由此可得點H坐標(biāo)，同理可得點G坐標(biāo)，由勾股定理得：m值，即可求得點A、B、C的坐標(biāo)，從而得到 “母線”函數(shù)的表達式．【詳解】（1）由題意得：k＝﹣3，b＝6，則答案為：y＝（x+6）；（2）令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝2或﹣4，點A、B、C的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），則直線CD的表達式為：y＝（x+4）＝x+2；（3）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m，則點P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，則直線OP的表達式為：y＝x，將直線OP和CD表達式聯(lián)立得，解得：點Q（，）則＝﹣m2﹣m+4，y＝＝﹣m2﹣m+3，當(dāng)m＝﹣，y最大值為；（4）直線CD的表達式為：y＝﹣（x+3），令x＝0，則y＝﹣，令y＝0，則x＝﹣3，故點C、D的坐標(biāo)為（﹣3，0）、（0，﹣），則點H（﹣，﹣），同理可得：點G（﹣，），則GH2＝（+）2+（﹣）2＝（）2，解得：m＝﹣3（正值已舍去），則點A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），則“母線”函數(shù)的表達式為：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2﹣2x﹣3），即：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故：“母線”函數(shù)的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3．【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題目，考查了“姊線”的定義，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.8．已知拋物線上有兩點M(m+1，a)、N(m，b).(1)當(dāng)a＝－1，m＝1時，求拋物線的解析式；(2)用含a、m的代數(shù)式表示b和c；(3)當(dāng)a＜0時，拋物線滿足，，求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）b=am，c=am；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到M(2，－1)、N(1，b)，代入拋物線解析式即可求出b、c；（2）將點M(m+1，a)、N(m，b)代入拋物線，可得，化簡即可得出；（3）把，代入可得，把，代入可得，然后根據(jù)m的取值范圍可得a的取值范圍.【詳解】解：(1)∵a＝－1，m＝1，∴M(2，－1)、N(1，b)由題意，得，解，得 (2) ∵點M(m+1，a)、N(m，b)在拋物線上①－②得，∴ 把代入②，得 (3)把，代入得，把，代入得， ，當(dāng)時，隨m的增大而增大 即【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，由函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征求出，是解題關(guān)鍵.9．如圖，拋物線y=ax2+bx過點B（1，﹣3），對稱軸是直線x=2，且拋物線與x軸的正半軸交于點A．（1）求拋物線的解析式，并根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)y≤0時，自變量x的取值范圍；（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上有一點P，當(dāng)PA⊥BA時，求△PAB的面積．【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣4x，自變量x的取值范圖是0≤x≤4；（2）△PAB的面積=15．【解析】【分析】（1）將函數(shù)圖象經(jīng)過的點B坐標(biāo)代入的函數(shù)的解析式中，再和對稱軸方程聯(lián)立求出待定系數(shù)a和b；（2）如圖，過點B作BE⊥x軸，垂足為點E，過點P作PE⊥x軸，垂足為F，設(shè)P（x，x24x），證明△PFA∽△AEB,求出點P的坐標(biāo)，將△PAB的面積構(gòu)造成長方形去掉三個三角形的面積．【詳解】（1）由題意得，解得，∴拋物線的解析式為y=x24x，令y=0，得x22x=0，解得x=0或4，結(jié)合圖象知，A的坐標(biāo)為（4，0），根據(jù)圖象開口向上，則y≤0時，自變量x的取值范圍是0≤x≤4；（2）如圖，過點B作BE⊥x軸，垂足為點E，過點P作PE⊥x軸，垂足為F，設(shè)P（x，x24x）,∵PA⊥BA∴∠PAF+∠BAE=90176。,∵∠PAF+∠FPA=90176。,∴∠FPA=∠BAE又∠PFA=∠AEB=90176?！唷鱌FA∽△AEB,∴，即，解得，x= ?1，x=4（舍去）∴x24x=5∴點P的坐標(biāo)為（1，5），又∵B點坐標(biāo)為（1，3），易得到BP直線為y=4x+1所以BP與x軸交點為（，0）∴S△PAB=【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，特別是利用待定系數(shù)法將兩條直線表達式解出，利用點的坐標(biāo)求三角形的面積是關(guān)鍵．10．如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A和點B（1，0），與y軸交于點C（0，3），其對稱軸l為x=﹣1．（1）求拋物線的解析式并寫出其頂點坐標(biāo)；（2）若動點P在第二象限內(nèi)的拋物線上，動點N在對稱軸l上．①當(dāng)PA⊥NA，且PA=NA時，求此時點P的坐標(biāo)；②當(dāng)四邊形PABC的面積最大時，求四邊形PABC面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)．【答案】（1）y
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