20xx-20xx備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)過關(guān)培優(yōu)訓(xùn)練∶平行四邊形附答案解析(編輯修改稿)
2025-03-30 22:26 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 線由G，作∠BGC的角平分線交AD于M，交BC于N，直線MN即為所求；【算一算】首先求出GD=9，由矩形的性質(zhì)得出AD∥BC，BC=AD=9，由平行線的性質(zhì)得出∠DGF=∠BFG，由翻折不變性可知，∠BFG=∠DFG，證出∠DFG=∠DGF，由等腰三角形的判定定理證出DF=DG=，再由勾股定理求出CF，可得BF，再利用翻折不變性，可知FB′=FB，由此即可解決問題．【詳解】（1）如圖1所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=42176。，由翻折的性質(zhì)可知，∠DBE=∠EBC=∠DBC=21176。，故答案為21．（2）【畫一畫】如圖所示： 【算一算】如3所示：∵AG=，AD=9，∴GD=9，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BC=AD=9，∴∠DGF=∠BFG，由翻折不變性可知，∠BFG=∠DFG，∴∠DFG=∠DGF，∴DF=DG=， ∵CD=AB=4，∠C=90176。，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF=，∴BF=BCCF=9，由翻折不變性可知，F(xiàn)B=FB′=，∴B′D=DFFB′=.【點(diǎn)睛】四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用翻折不變性解決問題．8．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，在Rt△PFE中，∠EPF=90176。，點(diǎn)E、F分別在邊AD、AB上．（1）如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)O重合：①求證：AF=DE；②若正方形的邊長為2，當(dāng)∠DOE=15176。時，求線段EF的長；（2）如圖2，若Rt△PFE的頂點(diǎn)P在線段OB上移動（不與點(diǎn)O、B重合），當(dāng)BD=3BP時，證明：PE=2PF．【答案】（1）①證明見解析，②；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證得：△AOF≌△DOE根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；②作OG⊥AB于G，根據(jù)余弦的概念求出OF的長，根據(jù)勾股定理求值即可；（2）首先過點(diǎn)P作HP⊥BD交AB于點(diǎn)H，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出PE與PF的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OD，∠OAF=∠ODE=45176。，∠AOD=90176。，∴∠AOE+∠DOE=90176。，∵∠EPF=90176。，∴∠AOF+∠AOE=90176。，∴∠DOE=∠AOF，在△AOF和△DOE中，∴△AOF≌△DOE，∴AF=DE；②解：過點(diǎn)O作OG⊥AB于G，∵正方形的邊長為2，∴OG=BC=，∵∠DOE=15176。，△AOF≌△DOE，∴∠AOF=15176。，∴∠FOG=45176。15176。=30176。，∴OF==2，∴EF=；（2）證明：如圖2，過點(diǎn)P作HP⊥BD交AB于點(diǎn)H，則△HPB為等腰直角三角形，∠HPD=90176。，∴HP=BP，∵BD=3BP，∴PD=2BP，∴PD=2HP，又∵∠HPF+∠HPE=90176。，∠DPE+∠HPE=90176。，∴∠HPF=∠DPE，又∵∠BHP=∠EDP=45176。，∴△PHF∽△PDE，∴，∴PE=2PF．【點(diǎn)睛】此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．9．在中，BD為AC邊上的中線，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長線于點(diǎn)F，在AF的延長線上截取，連接BG，DF．求證：；求證：四邊形BDFG為菱形；若，求四邊形BDFG的周長．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）8【解析】【分析】利用平行線的性質(zhì)得到，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證，利用平行四邊形的判定定理判定四邊形BDFG為平行四邊形，再利用得結(jié)論即可得證，設(shè)，則，利用菱形的性質(zhì)和勾股定理得到CF、AF和AC之間的關(guān)系，解出x即可．【詳解】證明：，，又為AC的中點(diǎn)，又，證明：，四邊形BDFG為平行四邊形，又，四邊形BDFG為菱形，解：設(shè)，則，在中，解得：，舍去，菱形BDFG的周長為8．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線，勾股定理等知識，正確掌握這些定義性質(zhì)及判定并結(jié)合圖形作答是解決本題的關(guān)鍵．10．猜想與證明：如圖1，擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF，若M為AF的中點(diǎn)，連接DM、ME，試猜想DM與ME的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．拓展與延伸：（1）若將”猜想與證明“中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關(guān)系為 ．（2）如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)M仍為AF的中點(diǎn)，試證明（1）中的結(jié)論仍然成立．【答案】猜想：DM=ME，證明見解析；（2）成立，證明見解析.【解析】試題分析：延長EM交AD于點(diǎn)H，根據(jù)ABCD和CEFG為矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根據(jù)Rt△HDE得到HM=DE，則可以得到答案；（1）、延長EM交AD于點(diǎn)H，根據(jù)ABCD和CEFG為矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根據(jù)Rt△HDE得到HM=DE，則可以得到答案；（2）、連接AE，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠FCE=45176。，∠FCA=45176。，根據(jù)RT△ADF中AM=MF得出DM=AM=MF，根據(jù)RT△AEF中AM=MF得出AM=MF=ME，從而說明DM=ME.試題解析：如圖1，延長EM交AD于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AM
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