20xx線性代數(shù)練習(xí)冊第四章習(xí)題及答案(編輯修改稿)
2025-03-26 02:19 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 )k1?1?k1(1,?1,0)TT，因此A的屬于特征值1的全部特征向量為(k1?0為任意常數(shù))．關(guān)于?2?1，解對應(yīng)齊次線性方程組(E?A)X?O，可得它的一個根底解系為?2?(1,?1,1)k2?2?k2(1,?1,1)T，因此A的屬于特征值1的全部特征向量為T(k2?0為任意常數(shù))．關(guān)于?3?3，解對應(yīng)齊次線性方程組(3E?A)X?O，可得它的一個根底解系為?3?(0,1,?1)k3?3?k3(0,1,?1)TT，因此A的屬于特征值3的全部特征向量為(k3?0為任意常數(shù))．(3) 矩陣A的特征多項式為??2202?(??2)(??1)(??4)，?E?A?20??12?因此A的特征值為?1?1，?2?4，?3??2．關(guān)于?1?1，解對應(yīng)齊次線性方程組(E?A)X?O，可得它的一個根底解系為?1?(2,1,?2)k1?1?k1(2,1,?2)T，因此A的屬于特征值1的全部特征向量為 (k1?0為任意常數(shù))．T關(guān)于?2?4，解對應(yīng)齊次線性方程組(4E?A)X?O，可得它的一個根底解系為?2?(2,?2,1)k2?2?k2(2,?2,1)TT，因此A的屬于特征值4的全部特征向量為(k2?0為任意常數(shù))．關(guān)于?3??2，解對應(yīng)齊次線性方程組(?2E?A)X?O，可得它的一個根底解系為?3?(1,2,2)k3?3?k3(1,2,2)TT，因此A的屬于特征值2的全部特征向量為(k3?0為任意常數(shù))．(4)矩陣A的特征多項式為??4?2?3?2?(??1)(??3)，2?E?A??21??12?因此A的特征值為?1,2?1（二重），?3?2．關(guān)于?1,2?1，解對應(yīng)齊次線性方程組(E?A)X?O，可得它的一個根底解系為?1?(1,2,?1)k1?1?k1(1,2,?1)TT，因此A的屬于特征值1的全部特征向量為(k1?0為任意常數(shù))．關(guān)于?3?2，解對應(yīng)齊次線性方程組(2E?A)X?O，可得它的一個根底解系為?2?(0,0,1)k2?2?k2(0,0,1)TT，因此A的屬于特征值2的全部特征向量為(k2?0為任意常數(shù))．(5)矩陣A的特征多項式為??4?2?11??(??2)，2?E?A?2?1??3?1?因此A的特征值為?1?0，?2,3?2（二重）．關(guān)于?1?0，解對應(yīng)齊次線性方程組(0E?A)X?O，可得它的一個根底解系為?1?(1,?1,?2)T，因此A的屬于特征值0的全部特征向量為Tk1?1?k1(1,?1,?2) (k1?0為任意常數(shù))．關(guān)于?2,3?2，解對應(yīng)齊次線性方程組(2E?A)X?O，可得它的一個根底解系為?2?(1,?1,0)k2?2?k2(1,?1,0)TT，因此A的屬于特征值2的全部特征向量為(k2?0為任意常數(shù))．(6)矩陣A的特征多項式為??4?2?3?2?(??1)(??3)，2?E?A??21??12?因此A的特征值為?1?6，?2,3?2（二重）．關(guān)于?1?6，解對應(yīng)齊次線性方程組(6E?A)X?O，可得它的一個根底解系為?1?(1,?2,3)k1?1?k1(1,?2,3)TT，因此A的屬于特征值6的全部特征向量為(k1?0為任意常數(shù))．關(guān)于?2,3?2，解對應(yīng)齊次線性方程組(2E?A)X?O，可得它的一個根底解系為?2?(1,?1,0)T，?3?(1,0,1)TT，因此A的屬于特征值2的全部特征向量T為k2?2?k3?3?k2(1,?1,0)2． 設(shè)A為n階矩陣，?k3(1,0,1) (k2,k3為不全為零的任意常數(shù))．k(1) 假設(shè)A?O，且存在正整數(shù)k，使得A?O(A稱為冪零矩陣)，證明:A的特征值全為零；(2) 假設(shè)A滿足A2?A(A稱為冪等矩陣)，證明:A的特征值只能是0或1；(3) 假設(shè)A滿足A2?E(A稱為周期矩陣)，證明: A的特征值只能是1或?1． 證明：設(shè)矩陣A的特征值為?，對應(yīng)的特征向量為?，即A????. （1）因Ak???k?，而Ak?O,故?k????O，故?k?0，得??0.（2）因A2???2?，而A2?A,故???A??A2???2?，即22(???)????O，故????0，得??0或1.（3）同（2）可得??A??A2???2?，即(?2?1)????O，故2??1?0，得??1或?1.3． 設(shè)?1,?2分別為n階矩陣A的屬于不同特征值?1和?2的特征向量，證明:?1??2不是A的特征向量．證明：?1??2是A的特征向量，相應(yīng)的特征值為?，那么有A(?1??2)??(?1??2)，即A?1?A?2???1????1,?2分別為矩陣A的屬于特征值?1和?2的特征向量，即A?1??1?1，A?2??2?2，那么??1???2??
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