【正文】 心 是 (2, 3)C ? ，且經(jīng)過原點(diǎn)的圓的方程為 ( )． A． 22( 2) ( 3) 13xy? ? ? ? B． 22( 2) ( 3) 13xy? ? ? ? C． 22( 2) ( 3 ) 13xy? ? ? ? D． 22( 2) ( 3 ) 13xy? ? ? ? 1．解析：因?yàn)閳A C 經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以圓 C 的半徑 ? ?222 3 1 3r ? ? ? ?．因此，所求圓的方程是 2 2 2( 2) ( 3 ) ( 13 ) 13xy? ? ? ? ?． 答案： B 2．★直線 2 3 0xy? ? ? 將 圓 22( ) ( 5) 3x a y? ? ? ?平分，則 a? （ ）。 解： 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 25)3()2( 22 ???? yx . 方法一：因?yàn)?rMA ??????? 5)73()52(|| 22，所以點(diǎn) M 在圓上． 因?yàn)?rNA ??????? 2)13()22(|| 22，所以點(diǎn) N 在圓內(nèi)． 因?yàn)?rPA ??????? 10)93()102(|| 22，所以點(diǎn) P 在圓外． 方法二：因?yàn)?25)37()25( 22 ????? ，所以點(diǎn) M 在圓上． 因?yàn)?254)31()22( 22 ?????? ，所以點(diǎn) N 在圓內(nèi)． 因?yàn)?25100)39()210( 22 ?????? ，所以點(diǎn) P 在圓外． 點(diǎn)撥： 求點(diǎn)與圓心之間的距離或?qū)Ⅻc(diǎn)的坐標(biāo)代入方程是關(guān)鍵． 探究三 如何 確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法和步驟 ？ 想一想：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中有幾個(gè)參變數(shù)？使用什么方法求解？ 議一議：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)參變數(shù)，必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件，才能定出一個(gè)圓的方程。 4．提出坐標(biāo)法 的思想，即根據(jù)給出的圓心坐標(biāo)以及半徑寫出圓的方程 —— 從幾何到代數(shù)；根據(jù)坐標(biāo)是否滿足方程，來認(rèn)識(shí)所對(duì)應(yīng)的幾何對(duì)象之間的關(guān)系 —— 從代數(shù)到幾何。 5．在引導(dǎo)學(xué)生列關(guān)于 a、 b、 r 的方程或方程組時(shí)，要注意聯(lián)系平面幾何的知識(shí)，尤其是其中的一些直角三角形 、垂弦定理 。 當(dāng)已知曲線為圓時(shí)，一般采用待定系數(shù)法求圓的方程． 提升總結(jié)：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟為： (1)根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 222 )()( rbyax ???? ． (2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于 a， b， r 的方程組； (3)解此方程組，求 出 a， b， r 的值； . (4)將所得的 a， b， r 的值代回所設(shè)的圓的方程中，就得到所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 例 4 在平面直角坐標(biāo)系中，求與 x 軸相交于 A(1,0)和 B(5,0)兩點(diǎn)且半徑為 5 的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 . 分析： 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解或利用平面幾何的知識(shí)求解。 A． 13 B． 7 C． 13 D．以上答案都不對(duì) 2．解析：直線過圓心時(shí)才將圓平分，將圓心 (, 5)a? 代入直線方程 2 3 0xy? ? ? ，解得7a? ． 答 案： B 3．★ (2021重慶 )圓 5)2( 22 ??? yx 關(guān)于原點(diǎn)（ 0， 0）對(duì)稱的圓的方程為 ( )。 10． ★★★ 已知兩定點(diǎn) A( 2? ,0)、 B(8,0)，動(dòng)點(diǎn) P 在圓 C： 1)3( 22 ??? yx 上移動(dòng)， (1)求證： 22 |||| BPAP ? 恒為定值； (2)據(jù) (1)猜測(cè)：對(duì)任意圓 C? ，當(dāng)兩定點(diǎn) A、 B 與點(diǎn) C? 滿足什么關(guān)系時(shí)， 22 |||| BPAP ?恒為定值 . 10．解： (1)設(shè) P(x,y)，則 2||AP = 22)2( yx ?? ， 2||BP = 22)8( yx ?? ，于是 22 |||| BPAP ? = 22)2( yx ?? + 22)8( yx ?? = 68)6(2 22 ??? xyx ∵ P(x,y)在圓上， ∴ 1)3( 22 ??? yx ，即 8622 ???? xyx ， ∴ 22 |||| BPAP ? = 5268)8(2 ???? . (2)當(dāng)點(diǎn) C? 平分線段 AB 時(shí)， 22 |||| BPAP ? 恒為定值 . 。 A． 2??k ， 5?b B． 2?k ， 5?b C． 2?k ， 5??b D． 2??k ， 5??b 4．解析：已知兩圓圓心分別為 ( 4, 2) (0,0)AB? 、 ， 12ABk ??， AB 的中點(diǎn)為 (2,1)? ．故 直線的方程為 1 2( 2)yx? ? ? ，即 25yx??，所以 2?k ， 5?b ，選 B． 答案： B。 解： (1)設(shè) P(x,y)，則 P 點(diǎn)的軌跡就是已知圓 C： 6)3()3( 22 ???? yx . 而 xy 的幾何意義就是直線 OP 的斜率 (O 為坐標(biāo)原點(diǎn) )，如圖 4113 所示， 設(shè) xy =k，則直線 OP 的方程為 kxy? . 由圖可知，當(dāng)直線 OP 與圓相切時(shí)，斜率取最值 . 點(diǎn) C 到直線 kxy? 的距離1|33| 2 ??? kkd. ∴ 當(dāng) 61|33| 2 ???kk，即 223??k 時(shí)，直線 OP 與圓相切 . ∴ xy 的最大值與最小值分別是 223? 和 223? . (2)設(shè) byx ?? ，則 bxy ??? ，由圖知直線與圓相切時(shí)，截距 b 取最值 . 而圓心 C 到直線 bxy ??? 的距離為2 |6| bd ??， ∵ 62 |6| ??b，即 326??b 時(shí)，直線 bxy ??? 與圓相切， ∴ yx? 的最大值與最小值分別為 326? 與 326? . 點(diǎn)撥： 針對(duì)這個(gè)類型的題目一般考慮所求式子的集合意義，然后利用數(shù)形結(jié)合的方法求出其最值。 編寫要求： 注意要用條目式呈現(xiàn)，層次性條理性要強(qiáng)。即若點(diǎn) M 在圓上，由上述結(jié)論可知，點(diǎn) M 的坐標(biāo)適合方程；反之，若 N 的坐標(biāo)適合方程，說明點(diǎn) N 與圓心 A 的距離為 r。 議一議：如何通過距離進(jìn)行比較呢？ 其判斷方法 是看點(diǎn)到圓心的距離 d 與圓半徑 r 的關(guān)系． dr 時(shí)點(diǎn)在圓內(nèi)； d=r 時(shí)點(diǎn)在圓上； dr 時(shí)點(diǎn)在圓外． 議一議：如何通過方程進(jìn)行比較呢？ 探究：以圓 2 2 21xy??為例，在圓上的點(diǎn) 00( , )xy 都滿足 2 2 2021xy??． 數(shù) 形 結(jié) 合 易 知 點(diǎn) 1 1 1 1 1 1( 0 , 0 ) ( , ) ( , ) ( , )2 2 2 2 3 2??、 、 、都 在 圓 的 內(nèi) 部 ， 它 們 都 滿 足2 2 2 2 2 2110 0 1 ( ) ( ) 122? ? ? ?、 、 2 2 211( ) ( ) 122? ? ? ?、 2 2 211( ) ( ) 132??．事實(shí)上若點(diǎn) 00( , )xy 在圓的內(nèi)部，過點(diǎn) 00( , )xy 作 x 軸的垂線，交圓于 01( , )xy ，顯然有 01| | | |yy? 且 2 2 2021xy??，從而有2 2 2 2 20 0 0 1 1x y x y? ? ? ?．也就是說圓的內(nèi)部的點(diǎn) 00( , )xy 都滿足 2 2 2021xy??． 數(shù)形結(jié)合易知點(diǎn) 1 1 1( 1 , ) ( , 2 ) ( ,1 ) ( 6 , 5 )2 2 2?、 、 、都在圓的外部，它們都滿足2 2 2 2 2 2111 ( ) 1 ( ) 2 122? ? ? ?、 、 2 21( ) 12?