【正文】 矩陣，再最終變成行最簡形矩陣，然后從中讀出所需的解。231。232。00111247。其中x2,x4為自由未知量。239。為矩陣，簡記為A=(aij)m180。231。0L00L0247。 231。ax+ax+ax=b定義：對于三元線性方程組237。定理：對換改變排列的奇偶性；在全部n級排列中，奇、偶排列的個數(shù)相等，各有二、n階行列式的定義n!個。a11 D=A=a12La1np1p2Lpna21Man1a22La2n=MMan2Lann229。ij163。n），那么(1)有唯一解，且解為xj=DjD(j=1,2,L,n)，其中Dj(j=1,2,L,n)是把D中第j列元素用方程組右端的常數(shù)項替代后所得到的n階行列式。a232。b1246。n注意：兩個矩陣是同型矩陣時才能進行加法運算。l=0或A=0矩陣的乘法定義3：設(shè)A=(aij)m180。2247。230。232。185。0，則X=Y。00247。248。231。248。a12La1n246。231。n，如果A=A，則稱A為對稱矩陣；如果A=A，則稱A為反對稱TTTTTTTTTT矩陣。n1*例1：試證：（1）AA*=A*A=AE；（2）當A185。A0L0246。MMMMMMMM247。*（2）對A*A=AE兩邊取行列式，得AA=AE*即 AA=AE=A，所以當A185。1推論：若AB=E（或BA=E），則B=A。231。例設(shè)A是三階方陣，且A=解：(3A)118A*=11*，求(3A)18A 271112A18AA1=A1A1 333=(1)A1=(1)3A11 33=27A=1例解矩陣方程231。 解：X=230。231。248。B1247。247。A1B1246。O231。13247。10246。247。01248。247。248。n矩陣A與B等價219。(E|A1B)或()190。1111246。min{② R(A)=R(A)③ R(A)=r219。247。又由R(A)=n1知矩陣A中至少有一個n1階子式不為零，也就是說A中至少有一個元素不為零。21113246。174。1231。230。247。247。nx=0（2），則 ① 僅有零解219。230。1008247。247。248。239。8239。1時，方程組有唯一解。174。1121246。231。174。0020247。x3=0三、習(xí)題P106 T1 T2 T3(2)T4 T5 T6 T731246。247。(j=1,2,L,n)為矩陣A的列設(shè)A=(aij)m180。其中bi=(ai1,ai2,L,ain)(i=1,2,L,m)為矩陣A的行向量組。因此，我們引入如下概念。）(3)若m個n維向量a1,a2,L,am線性相關(guān)，同時去掉其第i個分量(1163。s；(2)若rs，則向量組B線性相關(guān)。定義1：設(shè)x1,x2,L,xk是Ax=0的非零解，且滿足(1)x1,x2,L,xk線性無關(guān)；(2)Ax=0的任一個解x都可由x1,x2,L,xk線性表示，即x=c1x1+c2x2+L+ckxk 則稱x1,x2,L,xk是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系；且Ax=0的通解可表示為如下形式：x=c1x1+c2x2+L+ckxk(c1,c2,L,ck為任意常數(shù))。xy[x,y]xy為n維向量x與y的夾角。sinq246。1,i=jATA=E219。性質(zhì)3：設(shè)n階方陣A=(aij)n180。推論：n階方陣A有n個互異的特征值222。三、實對稱矩陣對角化方法n階實對稱矩陣A對角化的步驟：(1)解特征方程AlE=0，求出A的全部特征值l1,l2,...,ls，其中l(wèi)i是ni重特征值（i=1,2,L,s），s229。x1246。Lann248。c21其中，矩陣C=231。231。247。 二次型的標準形T一、二次型的標準形222定義：形如d1x1的二次型稱為二次型的標準形。定理2：實對稱陣A與B合同219。《線性代數(shù)》（第二版），科學(xué)出版社，2010年8月。234。LAn2A1=證必要性．已知A1存在，則有AA1=E222。0222。例1 A=234。(A+E)(A3E)=E222。510249。234。233。1, b174。012234。234。解密：A1234。233。235。0234。003Mn233。M1234。11E249。1A1Tr234。249。0222。3236。236。3, 2, 1] 或 A=[1 2 3 2 1]符號矩陣(顯示出來元素之間有逗號): 定義符號變量 sym syms用法：(1).sym(‘[a,b,c。239。BCAB235。234。, 求． O234。234。234。A1,A2,L,As)=234。MMA=, 234。234。12B=234。A21235。B1j249。MkA11LkA1r249。235。233。A11021 分塊矩陣233。235。 , A1234。235。529249。 =234。234。7135X=CB1AXB=C222。01541249。A可逆A1=A1E=A1(AB)=(A1A)B=EB=B推論2 對于An180。n為可逆矩陣219。234。a10例5 1a0＞0的充分必要條件是什么？411a10a10解：1a0=a21，即a＞1時，1a0＞0，411411a10所以1a0＞0的充分必要條件a＞1 411作業(yè)：課本35頁，1,2,3,4,5第三篇：線性代數(shù)電子教案LA22B：A=(aij)n180。教學(xué)重點：行列式的性質(zhì)，行列式按行（列）展開，克萊姆法則解方程組。()EC一、慣性定理和規(guī)范形定理1：設(shè)實二次型f=xTAx的秩為r，有兩個實滿秩線性變換x=Cy及x=Pz，222使得 f=k1y1+L+kpy2,2,L,r)（1）pkp+1yp+1Lkryr(ki0,i=12222及f=l1z1+L+lqzqlq+1zq,2,L,r)+1Llrzr(li0,i=1則p=q；且稱p為二次型f的正慣性指數(shù)，rp為二次型f的負慣性指數(shù)。因此，我們有f(x)=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yTCTACy=yTBy，其中B=CTAC，而且 BT=(CTAC)T=CTATC=CTAC=B三、矩陣的合同1．定義3：設(shè)A,B為兩個n階方陣，如果存在n階可逆矩陣C，使得CAC=B，則TB。則線性變換可用矩陣形式表示：x=Cy。c12230。xn=1y1+2y2+L+nyn的一個線性變量替換，簡稱線性變換。247。a232。二、實對稱矩陣的相似理論定理4：任意實對稱矩陣A都與對角矩陣相似。 相似矩陣一、相似矩陣的概念定義1：設(shè)A,B都是n階方陣，若存在可逆矩陣P，使PAP=B，則稱矩陣A與B相似，記為A~B，可逆矩陣P稱為相似變換矩陣。特征矩陣：(AlE)或者(lEA)lEA=0a11l特征多項式：AlE=a12Man2LOa1na2nM=j(l)a21Man1a22lLLannlnn1=al+al+L+an1l+an0[a0=(1)n]二、求n階方陣A的特征值與特征向量的步驟(1)求出特征方程j(l)=AlE=0的全部根l1,l2,...,ln，即是A的特征值；(2)對于每個特征值li求解線性方程組(AliE)x=0，得出的基礎(chǔ)解系就是A的屬于特征值li的特征向量；基礎(chǔ)解系的線性組合就是A的屬于特征值li的全部特征向量。248。230。0(2)齊次性：定義3：當x185。min{R(A),R(B)}性質(zhì)3：若P,Q可逆，則R(PAQ)=R(PA)=R(AQ)=R(A)五、習(xí)題P124 T1T2T3T9167。r)的一個部分組，若(1)向量組A0:a1,a2,L,ar線性無關(guān)；(2)A中的任意向量均可由向量組A0:a1,a2,L,ar線性表示； 則稱A0:a1,a2,L,ar為A的一個最大線性無關(guān)向量組（簡稱最大無關(guān)組）。推論3：任一個n維向量組中線性無關(guān)的向量最多有n個。：向量b能由向量組A:a1,a2,L,am線性表示的充要條件是R(A)=R(A,b)，其中A=(a1,a2,L,am)。247。231。247。x2=k（k206。1141247。231。231。232。231。238。231。x8/38231。0018/9247。230。174。230。nx=b（1），則① 有唯一解219。230。231。248。248。42232247。21561247。故R(A)+R(A)163。nBn180。Cn二、矩陣的秩定義：矩陣A的非零子式的最高階數(shù)，稱為矩陣A的秩，記為R(A)。n矩陣A中，任取k行k列(1163。初等行變換190。O248。248。231。02248。174。13246。三種初等變換對應(yīng)三種初等矩陣(1)交換第i行和第j行；對應(yīng)En(i,j)(2)第i行乘k倍；對應(yīng)En(i(k))(3)第j行乘k倍加至第i行；對應(yīng)En(i,j(k))230。231。A1k③A=231。247。O232。231。13247。232。 231。滿足什么條件時可逆，并求A。A按照逆矩陣的定義，即有A1注意：當A185。232。=AE 247。ja12La1n246。MM247。如果A=(aij)m180。248。性質(zhì)：lEA=lAE=lA M247。l2L0247。l1231。248。231。例1說明：矩陣的乘法不滿足交換律，即一般地AB185。231。247。231。4246。n248。n=Bm180。231。238。四、習(xí)題P36T1T4T5(3)(4)(8)T6(1)167。則n階行列式定義如下： M247。a11三對角線法則（記憶）：D=a21a12a22a32a13a11a23a21a33a31a12a22 a32a31三、習(xí)題P25 T1(2)(3)(5)T2T3167。DD236。a11a12246。F=231。M231。a232。a11x1+a12x2+L+a1nxn=0239。即237。231。231。1231。232。230。247。0016247。231。231。231。x=6239。3x=18238。2x1x2+3x3=1239。m1230。238。am1x1+am2x2+L+amnxn=bm稱(1)為非齊次線性方程組；當b1=b2=L=bm=0時則稱為齊次線性方程組。a11a12La1n231。例1：解線性方程組237。23238。x=6239。247。0412247。247。231。174。213230。248。247。00333247。247。236。ax+ax+L+ax=0239。m1a12a22Mam2La1n246。下的標準形：F=231。231。247。a11x1+a12x2+a13x3=b1230。 n階行列式的定義和性質(zhì)一、排列與逆序數(shù)：由1,2,L,n組成的一個有序數(shù)組稱為一個n級排列。247。 行列式的展開公式一、余子式與代數(shù)余子式定義：在n階行列式det(aij)中，劃去元aij所在的第i行和第j列的元后，剩下的元按原來的順序所構(gòu)成的n1階行列式稱為aij的余子式，記作Mij；又記Aij=(1)i+jMij，稱Aij為aij的代數(shù)余子式。an1x1+an2x2+L+annxn=bn稱(1)為非齊次線性方程組；當b1=b2=L=bn=0時稱為齊次線性方程組。a21A=231。n219。二、矩陣的運算矩陣的加法定義1：設(shè)A=(aij)m180。Llamn230。4246。16248。247。BA。11247。232。231。=diag(l1,l2,L,ln)MM247。247。232。n，則AT=(aij)n180。247。230。247。00LA247。0時，稱A為非奇異矩陣，否則稱A為奇異矩陣。232。247。411247。247。232。230。 A2B2247。231。OA2248。24246。230。231。232。247。232。m180。190。k163。若R(A)=r，則A中至少有一個r階子式不為0，且所有r+1階子式都為0。s=O，則R(A)+R(B)163。n，R(A)163。232。174。232。a3246。247。112231。R(A)=R(A,b)=n② 有無窮多解219。1090246。231。1008246。232。2247。1247。lx1+lx2+(l+3)x3=2l1ll2ll2解：A=l2l13=0l11=l(l1)(l+1)lll+300l+1由克拉默法則知，當l185。231。00因R(A)=2，R(B)=3，R(A)185。232。1131247。248。R）238。231。247。231。三、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)齊次線性方程組Am180。定理4：(1)設(shè)向量組A:a1,a2,L,am線性無關(guān)，而向量組B:a1,a2,L,am,b線性相關(guān)，則向量b必能由向量組A線性表示，且表示法是唯一的。顯然，最大無關(guān)組一般不唯一；任意向量組都與它的最大無關(guān)組等價。 線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)對于齊次線性方程組Am180。0，y185。01/21/2246。TT1定理2：A為正交矩陣219。講教材P152 例3和例4三、特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1：設(shè)A是n階方陣，則A與A有相同的特征值。相似矩陣的基本性質(zhì)：(1)反身性：對任意方陣A，都有A~A(2)對稱性：若A~B，則B~A(3)傳遞性：若A~B，B~C，則A~C定理1：若A~B，則① A與B有相同的特征多項式和特征值；② A=B； ③ R(A)=R(B)；mm④ A與B也相似（m為正整數(shù)）；1⑤ tr(A)=tr(B)二、矩陣可對角化的條件定義：n階方陣A可以相似于一個對角矩陣L，則稱A可對角化。即實對稱陣一定可以對角化。n1a12a22Lan2i,j=1229。231。230。x1246。MM231。稱矩陣A與B合同，記為：A~B（合同）定理：若A~，則AB（等價），且R(A)=R(B)。對二次型f的標準形（1）式再作滿秩線性變換(y1,L,yr,yr+1,L,yn)T=diag(11,L，1,L,1)(t1,L,tr,tr+1,L,tn)T k1kr2222則有f=t1+L+tptp+1Ltr，稱之為二次型f的規(guī)范形。教學(xué)難點：行列式按行按列展開。n, detA中元素aij的代數(shù)余子式為Aij．233。LanndetA185。n, 若有Bn180。例2 設(shè)An180。X=A1CB1233。235。011234。233。235。4381249。201234。234。B11LB1r249。Bs1LBsr=234。234。Cs1LCsr1234。2234。M234。A=dia(g234。234。0235。X235。O=A1=O=BCA=B111O249。課后作業(yè)：習(xí)題二 7(1)(3)(5), 8(2)(4), 10～14第四篇：Matlab 與線性代數(shù)教案Matlab 與線性代數(shù)一、Matlab 入門：、退出、運行： ： ： =：賦值符號[ ]：數(shù)組定義符號 , 區(qū)分列 函數(shù)參數(shù)分隔符。4x1+2x2+x3+2x4+3x5=4例子: +2x+3x+2x+x=02345239。3 2 1]或 A=[1, 2, 3。En235。 解 detM=(detA)(detB)185。234。234。1A2249。235。234。1024110330249。235。1 要求：A的列劃分方式與B的行劃分方式相同．233。LAit]234。n234。MM234。：Am180。234。A21234。234。52發(fā)出∕接收密碼：67, 44, 43, 81, 52, 43 233。加密：A234。235。密碼問題：a174。11249。216233。A22A3E=E222。10123A1可逆, 且(A1)1=A．對于A1, 取B=A, 有A1B=A1A=E．(2)A可逆, k185。n為可逆矩陣222。A1nA21A22MA2nLAn1249。a21A=234?！毒€性代數(shù)》，北京郵電大學(xué)出版社，2005年10月。即規(guī)范形中正項的