【正文】 （ 2）若不等式 對任意 x∈ R 恒成立，求實數(shù) k 的范圍； （ 3）對于定義在 [p， q]上的函數(shù) m（ x），設(shè) x0=p， xn=q，用任意 xi（ i=1， 2， …， n﹣ 1）將 [p， q]劃分成 n個小區(qū)間，其中 xi﹣ 1＜ xi＜ xi+1，若存在一個常數(shù) M＞ 0，使 得不等式 |m（ x0）﹣ m（ x1） |+|m（ x1）﹣ m（ x2） |+…+|m（ xn﹣ 1）﹣ m（ xn） |≤ M恒成立，則稱函數(shù) m（ x）為在 [p， q]上的有界變差函數(shù)，試證明函數(shù) f（ x）是在 [1， 3]上的有界變差函數(shù)，并求出M 的最小值． 21．?dāng)?shù)列 {bn}的前 n 項和為 Sn，且對任意正整數(shù) n，都有 ； （ 1）試證明數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列，并求其通項公式； （ 2）如果等比數(shù)列 {an}共有 2017 項，其首項與公比均為 2，在數(shù)列 {an}的每相鄰兩項 ai與ai+1之間插入 i個（﹣ 1） ibi（ i∈ N*）后，得到一個新數(shù)列 {}，求數(shù)列 {}中所有項的和； （ 3）如果存在 n∈ N*，使不等式 成立，若存在，求實數(shù) λ的范圍，若不存在，請說明理由． 2017 年上海市金山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷 參考答案與試題解析 一 .填空題（本大題共 12題， 16 每題 4 分， 712每題 5 分，共 54 分） 1．若集合 M={x|x2﹣ 2x＜ 0}， N={x||x|＞ 1}，則 M∩N= （ 1， 2） ． 【考點】 交集及其運(yùn)算． 【分析】 解 x2﹣ 2x＜ 0 可得集合 M={x|0＜ x＜ 2}，解 |x|＞ 1 可得集合 N，由交集的定義，分析可得答案． 【解答】 解： x2﹣ 2x＜ 0?0＜ x＜ 2，則集合 M={x|0＜ x＜ 2}=（ 0， 2） |x|＞ 1?x＜ ﹣ 1 或 x＜＞ 1，則集合 N={x|﹣ 1＜ x＜ 1}=（﹣ ∞ ，﹣ 1） ∪ （ 1， +∞ ）， 則 M∩N=（ 1， 2）， 故答案為：（ 1， 2） 2．若復(fù)數(shù) z 滿足 2z+ =3﹣ 2i，其中 i為虛數(shù)單位，則 z= 1﹣ 2i ． 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算． 【分析】 設(shè)復(fù)數(shù) z=a+bi，（ a、 b 是實數(shù)），則 =a﹣ bi，代入已知等式，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的含義可得 a、 b 的值，從而得到復(fù)數(shù) z 的值． 【解答】 解：設(shè) z=a+bi，（ a、 b 是實數(shù)），則 =a﹣ bi， ∵ 2z+ =3﹣ 2i， ∴ 2a+2bi+a﹣ bi=3﹣ 2i， ∴ 3a=3， b=﹣ 2， 解得 a=1， b=﹣ 2， 則 z=1﹣ 2i 故答案為： 1﹣ 2i． 3．若 sinα=﹣ ，且 α為第四象限角，則 tanα的值等于 ． 【考點】 同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用． 【分析】 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求 cosα，進(jìn)而可求 tanα的值． 【解答】 解： ∵ sinα=﹣ ，且 α為第四象限角， ∴ cosα= = = ， ∴ tanα= = = ． 故答案為： ． 4．函數(shù) 的最小正周期 T= π ． 【考點】 二階行列 式與逆矩陣；兩角和與差的余弦函數(shù)；三角函數(shù)的周期性及其求法． 【分析】 利用行列式的計算方法化簡 f（ x）解析式，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化為一個角的余弦函數(shù)，找出 ω 的值，即可求出最小正周期． 【解答】 解： f（ x） =cos2x﹣ sin2x=cos2x， ∵ ω=2， ∴ T=π． 故答案為： π 5．函數(shù) f（ x） =2x+m 的反函數(shù)為 y=f﹣ 1（ x），且 y=f﹣ 1（ x）的圖象過點 Q（ 5， 2），那么m= 1 ． 【考點】 反函數(shù)． 【分析】 根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)可知：原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于 y=x對稱，利用對稱關(guān)系可得答案 ． 【解答】 解： f（ x） =2x+m 的反函數(shù) y=f﹣ 1（ x）， ∵ 函數(shù) y=f﹣ 1（ x）的圖象經(jīng)過 Q（ 5， 2），原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于 y=x對稱， ∴ f（ x） =2x+m 的圖象經(jīng)過 Q′（ 2， 5）， 即 4+m=5， 解得： m=1． 故答案為： 1． 6．點（ 1， 0）到雙曲線 的漸近線的距離是 ． 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì)． 【分析】 求出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式求解即可． 【解答】 解：雙曲線 的一條漸近線方程為： x+2y=0， 點（ 1， 0）到雙曲線 的漸近線的距離是： = ． 故答案為： ． 7．若 x， y 滿足 ，則 2x+y 的最大值為 4 ． 【考點】 簡單線性規(guī)劃． 【分析】 由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案． 【解答】 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）． 設(shè) z=2x+y 得 y=﹣ 2x+z， 平移直線 y=﹣ 2x+z， 由圖象可知當(dāng)直線 y=﹣ 2x+z 經(jīng)過點 A時，直線 y=﹣ 2x+z 的截距最大， 此時 z 最大． 由 ，解得 ，即 A（ 1， 2）， 代入目標(biāo)函數(shù) z=2x+y 得 z=1 2+2=4． 即目標(biāo)函數(shù) z=2x+y 的最大值為 4． 故答案為： 4． 8．從 5 名學(xué)生中任選 3 人分別擔(dān)任語文、數(shù)學(xué)、英語課代表，其中學(xué)生甲不能擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，共有 48 種不同的選法（結(jié)果用數(shù)值表示）． 【考點】 排列、組合的實際應(yīng)用． 【分析】 根據(jù)分步計數(shù)原理，先安排數(shù)學(xué)課代表，再安排語文、英語課代表． 【解答】 解：先從除了甲之外的 4 人選 1 人為數(shù)學(xué)課代表，再從包含甲在內(nèi)的 4 人中選 2人為語文、英語