【正文】 是 310A 29A =10 9 89 8=648. 對于例 9 這類計數(shù)問題，可用適當(dāng)?shù)姆椒▽栴}分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解題方法．解法 1 根據(jù)百位數(shù)字不能是。 同樣，問題 2 可以歸結(jié)為： 從 4個不同的元素 a, b, c， d中任取 3 個，然后按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？ 所有不同排列是 abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. 共有 4 3 2=24種 . 樹形圖如下 a b ｃ ｄ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｄ ａ ｂ ｄ ａ ｂ ｃ 2．排列的概念： 從 n 個不同元素中，任取 m （ mn? ）個元素（這里的被取元素各不相同）按照 一定 ． ．的順序 ． ． ． 排成一列，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的 一個排列 ． ． ． ． 說明：（ 1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列； （ 2）兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同 3．排列數(shù)的定義： 從 n 個不同元素中，任取 m （ mn? ）個元素的所有排列的個數(shù)叫做從 n 個元素中取 出 m 元素的排列數(shù)，用符號 mnA 表示 注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個排列”是指：從 n 個不同元素中，任取 m 個元素按照 一定的順序 ． ． ． ． ． 排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從 n 個不同元素中，任取 m （ mn? ）個元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)所以符號 mnA 只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列 4．排列數(shù)公式及其推導(dǎo)： 由 2nA 的意義：假定有排好順序的 2個空位， 從 n 個元素 1 2, na a a 中任取 2個元素去填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列，反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù) 2nA ．由分步計數(shù)原理完成上述填空共有 ( 1)nn? 種填法，∴ 2nA = ( 1)nn? 由此，求 3nA 可以按依次填 3個空位來考慮，∴ 3nA = ( 1)( 2)n n n??， 求 mnA 以按依次填 m 個空位來考慮 ( 1 ) ( 2) ( 1 )mnA n n n n m? ? ? ? ?， 排列數(shù)公式： ( 1 ) ( 2) ( 1 )mnA n n n n m? ? ? ? ? （ ,m n N m n???） 說明：（ 1）公式特征：第一個因數(shù)是 n ，后面每一個因數(shù)比它前面一個少 1，最后一個因數(shù)是 1nm??，共有 m 個因數(shù)； （ 2）全排列：當(dāng) nm? 時即 n 個不同元素全部取出的一個排列 全排列數(shù)： ( 1 ) ( 2 ) 2 1 !nnA n n n n? ? ? ? ?（叫做 n的階乘） 另外，我們規(guī)定 0! =1 . 例 1．用計算器計算： (1） 410A ； (2） 518A 。的要求，分步完成選 3 個數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)這件事，依據(jù)的是分步乘法計數(shù)原理；解法 2 以 O 是否出現(xiàn)以及出現(xiàn)的位置為標(biāo)準(zhǔn)，分類完成這件事情，依據(jù)的是分類加法計數(shù)原理；解法 3 是一種逆向思考方法：先求出從 10個不同數(shù)字中選 3個不重復(fù)數(shù)字的排列數(shù)，然后從中減去百位是。中任取 2 個，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb, 共有 3 2=6 種． 問題 2．從 1,2,3,4 這 4 個數(shù)字中，每次取出 3 個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？ 分析 ：解決這個問題分三個步驟：第一步先確定左邊 的數(shù)，在 4個字母中任取 1個，有4種方法；第二步確定中間的數(shù)，從余下的 3個數(shù)中取，有 3種方法；第三步確定右邊的數(shù)，從余下的 2個數(shù)中取，有 2種方法 由分步計數(shù)原理共有： 4 3 2=24 種不同的方法，用樹型圖排出，并寫出所有的排列由此可寫出所有的排法 顯然，從 4 個數(shù)字中，每次取出 3 個，按“百”“十”“個”位的順序排成一列，就得到一個三位數(shù)．因此有多少種不同的排列方法就有多少個不同的三位數(shù)．可以分三個步驟來解決這個問題： 第 1 步，確定百位上的數(shù)字，在 1 , 2 , 3 , 4 這 4 個數(shù)字中任取 1 個，有 4 種方法； 第 2 步，確定十位上的數(shù)字，當(dāng)百位上的數(shù)字確定后，十位上的數(shù)字只能從余下的 3 個數(shù)字中去取，有 3 種方法； 第 3 步，確定個位上的數(shù)字，當(dāng)百位、十位上的數(shù)字確定后，個位的數(shù)字只能從余下的 2 個數(shù)字中去取，有 2 種方法． 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從 1 , 2 , 3 , 4 這 4 個不同的數(shù)字中，每次取出 3 個數(shù)字，按“百”“十”“個”位的順序排成一列，共有 4 3 2=24 種不同的排法， 因而共可得到 24個不同的三位數(shù)，如圖 1. 2一 2 所示． 由此可寫出所有的 三位數(shù)： 123， 124, 132, 134, 142, 143， 213， 214, 231, 234, 241, 243， 312， 314, 321, 324, 341, 342， 412， 413, 421, 423, 431, 432 。的排列數(shù)（即不是三位數(shù)的個數(shù)），就得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)．從上述問題的解答過程可以看到，引進(jìn)排列的概念，以及推導(dǎo)求排列數(shù)的公式，可以更加簡便、快捷地求解“從 n個不同元素中取出 m (m≤ n）個元素的所有排列的個數(shù)”這類特殊的計數(shù)問題． 9 是否也是這類計數(shù)問題？你能用排列的知識解決它嗎？ 四、課堂練習(xí) ： 1．若 !3!nx? ，則 x? （ ） ()A 3nA ()B 3nnA? ()C 3nA ()D 33nA? 2．與 3710 7AA? 不等的是 （ ） ()A 910A