【正文】 2,3 2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明 2)1()13(1037241 ?????????? nnnn? 例 2： 用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 1 1 11 2 3 1n n n? ? ??? ?? ? ?(n∈ N,n≥ 2) 說明： 注意從 n=k 到 n=k+1 時(shí) ,添加項(xiàng)的變化。 ②注意從“ n=k 到 n=k+1”時(shí)項(xiàng)的變化。 例 2： 長方形的對(duì)角線與過同一個(gè)頂點(diǎn)的兩邊所成的角為 ,??，則 22cos sin??? =1，將長 方形與長方體進(jìn)行類比，可猜測的結(jié)論為：_______________________。 3k+1 (2k+7) （ 2）設(shè) n=k 時(shí)上式成立，即 Sk= 12)1( ?kk (3k2+11k+10) 那么 Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2= 2 )1( ?kk (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 = 12 )2)(1( ?? kk (3k2+5k+12k+24)= 12 )2)(1( ?? kk［ 3(k+1)2+11(k+1)+10］ 也就是說，等式對(duì) n=k+1 也成立新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 綜上所述，當(dāng) a=3,b=11,c=10 時(shí)，題設(shè)對(duì)一切自然數(shù) n 均成立 新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 【課堂小結(jié)】 體會(huì)常用的思維模式和證明方法。通過學(xué)習(xí)，進(jìn)一步 感受和體會(huì)常用的思維 模式和證明方法，形成對(duì)數(shù)學(xué)的完整認(rèn)識(shí)。 數(shù)學(xué)歸納法是直接證明的一種重要方法，應(yīng)用十 分廣泛，主要體現(xiàn)在與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式；數(shù)的整除性、幾何問題；探求數(shù)列的通項(xiàng)及前 n 項(xiàng)和等問題。 【例題評(píng)析】 例 1： 以知數(shù)列 {an}的公差為 d，求證： 1 ( 1)na a n d? ? ? 說明： ①歸納證明時(shí)， 利用歸納假設(shè)創(chuàng)造遞推條件，尋求 f(k+1)與 f(k)的遞推關(guān)系，是解題的關(guān)鍵。反證法可以分為歸謬反證法 (結(jié)論的反面只有一種 )與窮舉反證法 (結(jié)論的反面不只一種 )。 課題：間接證明 反證法 1．教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)與技能 ：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)。 5．教學(xué)設(shè)想：分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn) . “變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。 提出問題 我們知道，前 n個(gè)正整數(shù)的和為 1S (n)=1+2+3+…….+n= 21 n(n+i) ① 那么 ， 前 n 個(gè)正整數(shù)的平方和 2S （ n）＝ 2222 ........321 n???? ＝？ ② 三 ， 數(shù)學(xué)活 動(dòng) 思路 1 （歸納的方案） 參照課本 第 36頁 － 37頁 三表 猜想 2S （ n）＝ 6)12)(1( ?? nnn 思考 ：上面的數(shù)學(xué)活動(dòng)是由哪些環(huán)節(jié)構(gòu)成的？ 在這個(gè)過程中提出了哪些猜想？ 提出猜想時(shí)使用了哪些推理方法？ 合情推理和演繹推理分別發(fā)揮了什么作用？ 思路 2 （演繹的方案） 嘗試用直接相加的方法求出正整數(shù)的平方和。類比――提出猜想 二． 問題情境。在銳角三角形 ABC 中 ,AD⊥ BC, BE⊥ AC, D,E 是垂足 ,求證 AB 的中點(diǎn) M 到 D,E 的距離相等 解： (1)因?yàn)橛幸粋€(gè)內(nèi)角是只直角的三角形是直角三角形 ,—— 大前提 在△ ABC 中 ,AD⊥ BC,即∠ ADB=90176。 四，數(shù)學(xué)理論： 上面的案例說明： （ 1）數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程是一個(gè)探索創(chuàng)造的過程 .是一個(gè)不斷地提出猜想驗(yàn)證猜想的過程， 合情推理和論證推理相輔相成，相互為用，共同推動(dòng)著發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的進(jìn)程。對(duì)于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。反證法可以分為歸謬反證法 (結(jié)論的反面只有一種 )與窮舉反證法 (結(jié)論的反面不只一種 )。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。 EX:1. 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證明 : 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 2 1 2 1 2 2n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? (1)當(dāng) n=1 時(shí) ,左邊有 _____項(xiàng) ,右邊有 _____項(xiàng)； (2)當(dāng) n=k 時(shí) ,左邊有 _____項(xiàng) ,右邊有 _____項(xiàng)； (3)當(dāng) n=k+1 時(shí) ,左邊有 _____項(xiàng) ,右邊有 _____項(xiàng)； (4)等式的左右兩邊 ,由 n=k 到 n=k+1 時(shí)有什么不同 ? 變題 : 用數(shù)學(xué)歸納法證明21 1 1 12 2 2 n? ? ??? ? (n∈ N+) 例 3： 設(shè) f(n)=1+ 1 1 123 n? ???? ,求證 n+f(1)+f(2)+? f(n1)=nf(n) (n∈ N,n≥ 2) 說明： 注意分析 f(k)和 f(k+1)的關(guān)系。 【例題評(píng)析】 例 1： 求證 : 1 2 1( 1)nnaa???? 能被 2 1aa?? 整除（ n∈ N+）。 變題 1： 已知， m是非零常數(shù)， x∈ R,且有 ()f x m? = 1 ( )1 ( )fxfx??,第 1 個(gè) 第 2 個(gè) 第 3 個(gè) 問 f(x)是否是周期函數(shù)？若是，求出它的一個(gè)周期，若不是，說明理由。 3k=(6k+27) 32+? +n(n+1)2 （ 1） n=1 時(shí)，等式以證，成立。 難點(diǎn)： 認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)，提高創(chuàng)新能力 三、教學(xué)過程： 【創(chuàng)設(shè)情境】 一、知識(shí)結(jié)構(gòu)： 【探索研究】 推理與證明 推理 證明 合情推理 演繹推理 直接證明 間接證明 類比推理 歸納推理 分析法 綜合法 反證法 數(shù)學(xué)歸納法 我們從 邏輯上 分析歸納、類比、演繹的 推理形式 及特點(diǎn)；揭示了分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法和反證法的 思維過程 及特點(diǎn)。（歸納證明） 由 (1)， (2)可知，命題對(duì)于從 n0 開始的所有正整數(shù) n 都正確。（歸納證明） 由 (1)， (2)可知，命題對(duì)于從 n0 開始的所有正整數(shù) n 都正確。試根據(jù)上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點(diǎn)？ 例 設(shè) 0 a, b, c 1，求證： (1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同時(shí)大于 41 證：設(shè) (1 ? a)b 41 , (1 ? b)c 41 , (1 ? c)a 41 , 則三式相乘： ab (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a 641 ① 又∵ 0 a, b, c 1 ∴412 )1()1(02 ??????? ????? aaaa 同理： 41)1( ?? bb , 41)1( ?? cc 以上三式相乘： (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤ 641 與①矛盾 ∴原式成立 例 已知 a + b + c 0， ab + bc + ca 0， abc 0，求證：a, b, c 0 證：設(shè) a 0, ∵ abc 0, ∴ bc 0 又由 a + b + c 0, 則 b + c = ?a 0 ∴ ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0 與題設(shè)矛盾 又：若 a = 0，則與 abc 0 矛盾， ∴必有 a 0 同理可證： b 0, c 0 鞏固練習(xí)：第 83 頁練習(xí) 6 課后作業(yè)：第 84 頁 6