【正文】 函數(shù)的定義域 Df=A,而不會是 A的真子集 。 即如果集合 B中的元素 b是 a在 f作用下的像，且集合 C中的元素c是 b在 g作用下的像，那么 ｃ 就是 a在函數(shù) g?f作用下的像。f=f , f 10= f 2, f 11=f 3 … 2022/8/31 28 三 、 復合函數(shù)的性質(zhì) 此即 g?f(ai) ≠ g?f(aj) ， 故 g?f是內(nèi)射 證明： (1) g 注意：當 g?f 是內(nèi)射時， g可能不是內(nèi)射， 例如 2022/8/31 33 當 g?f 是滿射， f可能不是滿射 . 當 g?f 是雙射時， f可能不是滿射，g可能不是內(nèi)射 . 例如 例如 2022/8/31 34 例 6 設(shè)有函數(shù) f： A→B和 g： B→A，且 g?f是 A上的恒等函數(shù)，試證明 f 是內(nèi)射， g是滿射。 r12022/8/31 42 二、逆函數(shù)有關(guān)的一些性質(zhì) 定理 設(shè) f： A→B是雙射，則逆函數(shù) f1： B→A也是雙射。 h 2． 判斷以下函數(shù)是否有逆函數(shù) ， 在相應(yīng)的括號中鍵入 “ Ｙ ” 或“ Ｎ ” 。 證明 : (反證 ) 假設(shè) R1 ~N, 則將它的元素表示成如下小數(shù) : a1= a12 a13…… a2= a22 a23…… a3= a33 a34…… ┇ an= an2 an3…… ┇ 其中 0≤aij≤9, i,j=1,2,… b=…… 使得 ??????1211iiiiii aabb?{a1,a2,a3,…,a n,…} 這與 (0,1)={a1,a2,a3,…,a n,…} 矛盾 ! 2022/8/31 52 例 ４ 實數(shù)集 R是不可數(shù)集 f是一個雙射 ,因此 R1~R,將集合 R1的基數(shù)記作“ ?1”，讀作“阿列夫壹”。 f 2=f?f={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)} f 3=f 2?f={(1,4),(2,3),(3,1),(4,2)} f 1={(1,4),(2,3),(3,1),(4,2)} f? f1={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}=IA 2022/8/31 60 4．設(shè)有函數(shù) f:A?B和 g:B?C，使得 g?f是一個內(nèi)射，且 f是滿射。 ),(),(,)()(:)( 21212122 222 SSSSSSff UU ????f(S1,S2)=(S1?S2, S1?S2) f(S2,S1)=(S2?S1, S2?S1) 2022/8/31 58 f： Z7?Z7， f(x)=res7(3x) 解 : res7(3x)表示 3x被 7除后的非負余數(shù)，于是按照函數(shù) f的定義 f(0)=res7(0)=0, f(1)=res7(3)=3 f(2)=res7(6)=6, f(3)=res7(9)=2 f(4)=res7(12)=5, f(5)=res7(15)=1 f(6)=res7(18)=4 f 既是內(nèi)射又滿射，因此 f是一個雙射 2022/8/31 59 3．設(shè) A={1,2,3,4}，定義函數(shù) f:A?A，使得 f?IA，而且是雙射。 可數(shù)集的基數(shù)記作 “ ?0”。 因為 f?g＝ IB，所以 f?g是滿射，于是 f是滿射。 一、逆函數(shù)的定義 2022/8/31 41 f的逆函數(shù) f1： R{0}→R{0} 例 3 設(shè)有函數(shù) f： R{0}→R{0},定義為 f(r)= 對任意 r?R{0}, 有 所以 f是滿射。 則 g?f(ai)=g(f(ai))=g(b)=c g?f(aj)=g(f(aj)=g(b)=c g?f(ai)=g?f(aj) 這與 g?f 是內(nèi)射相矛盾 。f)(1)=f (f (1))=f (2)=3, f 2 (2)=4, f 2 (3)=1, f 2 (4)=2 f 3 (1)= (f (1) f1＝ {(1, 10),(2, 9),(3, 8),(4, 7),(5, 6)} （ ） (2) f2＝ {(3, 6),(1, 8),(2, 6),(4, 7)} （ ） (3) f3＝ {(3, 6),(2, 9),(1, 9),(4, 9),(5, 9)} （ ） (4) f4＝ {(2, 9),(3, 8),(1, 7),(2, 6),(4, 7),(5, 10)} （ ） Y N Y N 2022/8/31 20 ２ .對下列每一函數(shù)，確定是否內(nèi)射，是否滿射，是否雙射。 2022/8/31 11 函數(shù) 一、 函數(shù)的概念 1. 函數(shù) 例 １ .設(shè) A＝ {1, 2, 3, 4},B={2, 3, 4, 5, 6},A到 B的關(guān)系 ?={(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4)} 定義 設(shè)有集合 A、 B， f是一由 A到 B的關(guān)系 ， 如果對于每一個 a?A， 均存在唯一的 b?B， 使得 afb（ 或 (a,b)?f） ， 則稱關(guān)系 f是由 A到 B的一個函數(shù) 。 這一定義徹底地拋棄了前面一些定義中解析式的束縛，強調(diào)和突出函數(shù)概念的本質(zhì)，即對應(yīng)思想，使之具有更加豐富的內(nèi)涵。致使函數(shù)概念日趨精確化、科學化。這里的運算指的是五種代數(shù)運算以及求極限運算，但這一定義未能引起人們的重視。函數(shù)是用一個式子或多個式子表示，甚至是否通過式子表示都無關(guān)要緊。 19世紀康托爾創(chuàng)建了集合論，函數(shù)概念進入了集合論的范疇，使函數(shù)概念純粹地使用集合論語言進行定義。 2022/8/31 18 例 4 (a) 是內(nèi)射，但不是滿射； (b) 是滿射 , 但不是內(nèi)射； (c) 既不是內(nèi)射，也不是滿射； (d) 既是內(nèi)射 ， 又是滿射 ， 因此是雙射 。g 2022/8/31 25 例 3 設(shè)有函數(shù) f, g, h,均是由實數(shù)集 R到 R的函數(shù) ,且 f (x)=x+3, g(x)=2x+1, h (x) ＝ x/2 , 求復合函數(shù) h ?(g?f) , (h?g)?f 。 （ 2） g是內(nèi)射 ， 因為當 x1≠x2 時 ， x1＋ 1 ≠x2＋ 1 g是滿射 ， 因為對任意 y∈ I， 有 g (y－ 1) = y。 ~ 2022/8/31 40 定義 設(shè)函數(shù) f： A→B是一個雙射，定義函數(shù) g： B→A，使 得對于每一個元素 b?B， g (b)=a ,其中 a是使得 f (a)=b 的 A中的元素 ,稱 g為 f的逆函數(shù) , 記作 f1,并稱 f是可逆的。 定理 如果函數(shù) f： A→B是可逆的，則有 對于任一元素 a?A，設(shè) f(a)= b, a b 則 f1(b)= a a 由 a的任意性 , f1?f=IA。 定義 如果集合 A~N，則稱 A是可數(shù)集，如果 A是無限集，但不是可 數(shù)集，則稱 A是不可數(shù)集。 152)(,: 211 ????