【正文】 g?f是滿射 ， 則 g是滿射； (3) 如果 g?f是雙射，則 f是內(nèi)射而 g是滿射。 f 3 (s)= 。 因此逆函數(shù) f1就是 f的逆關(guān)系 。 ≠又由逆函數(shù)定義 ， f1(b1)= a1 , f1(b2)= a2 因此 f1(b1)≠ f1(b2) 這說明 f1是內(nèi)射。 f f ~ f1?f 2022/8/31 45 證明 因?yàn)?g?f＝ IA ，所以 g?f是內(nèi)射，于是 f是內(nèi)射。記作 A~B。 所有正有理數(shù)的集合 Q+，所有負(fù)有理數(shù)的集合 Q和所有有理數(shù)的集合 Q都是可數(shù)集。 (1)A ={2n|n?N}是可數(shù)集。 又 (?,U)?(2U)2,但不存在 S1?2U和 S2 ?2U,使得 S1?S2=?而S1?S2=U ,即 (?,U)在 (2U)2 中沒有像源，所以 f也不是滿射，因此 不是雙射。 證明：任取 b1,b2?B，并設(shè) b1?b2，因?yàn)?f是滿射，所以必有 a1,a2?A,使得 f(a1)=b1,f(a2)=b2. b1 ≠ b2 a1 a2 2022/8/31 61 因?yàn)?g?f是內(nèi)射，所以由 a1?a2可知 c1?c2 ，此即 g(b1)?g(b2) ， 故 g是內(nèi)射。證明 g是一個(gè)內(nèi)射。 152)(,: 211 ???? rrrfRRf0)3()5(),3)(5(152112?????????ffrrrr 所以.16)1(16)12()( 221 ??????? rrrrf顯然對(duì)于任意的 均有 ,Rr? 01 2 ?? )(r所以對(duì)于任意的 ,Rr? .16)(1 ??rf16??y因此 f1不是內(nèi)射。于是 R1=R=?1。 定義 如果集合 A~N，則稱 A是可數(shù)集，如果 A是無限集，但不是可 數(shù)集，則稱 A是不可數(shù)集。 (1) f:I→I, f(i)=3i ( ) (2) g:R→R, f(r)=3r ( ) N Y 練 習(xí) 2022/8/31 47 3 對(duì)下列論斷作出判斷，在相應(yīng)括號(hào)內(nèi)填入“ Y”或“ N” (1)設(shè)集合 A={a1,a2,…, an},B={b1,b2,…, bn} , 則由 A到 B至少存在一個(gè) 雙射函數(shù) f:Ａ →B. ( ) (2)設(shè)集合 A={a1, a2,…, a n} , B={b1,b2,…, bm},nm, 則由 A到 B至少存 在一個(gè)內(nèi)射函數(shù) f： A→B. ( ) (3) 設(shè)集合 A={a1, a2,…, a n} ,B={b1,b2,…, bm},nm,則 A到 B至少存 在一個(gè)滿射函數(shù) f： A→B. ( ) Y N N 2022/8/31 48 集合的基數(shù) 一、集合的同基 定義 設(shè)有集合 A， B，如果存在一個(gè)雙射函數(shù) f： A→B，則稱 A與 B 同基（有相同的基數(shù)）。 定理 如果函數(shù) f： A→B是可逆的，則有 對(duì)于任一元素 a?A，設(shè) f(a)= b, a b 則 f1(b)= a a 由 a的任意性 , f1?f=IA。 證明 (1) f1是內(nèi)射。 ~ 2022/8/31 40 定義 設(shè)函數(shù) f： A→B是一個(gè)雙射，定義函數(shù) g： B→A，使 得對(duì)于每一個(gè)元素 b?B， g (b)=a ,其中 a是使得 f (a)=b 的 A中的元素 ,稱 g為 f的逆函數(shù) , 記作 f1,并稱 f是可逆的。 證明： g?f是 A上的恒等函數(shù)，所以 g?f是雙射； 因?yàn)?g?f是內(nèi)射，則 f是內(nèi)射； 因?yàn)?g?f是滿射，則 g是滿射。 （ 2） g是內(nèi)射 ， 因?yàn)楫?dāng) x1≠x2 時(shí) ， x1＋ 1 ≠x2＋ 1 g是滿射 ， 因?yàn)閷?duì)任意 y∈ I， 有 g (y－ 1) = y。f jiaa?)()(jiafaf?))(())((jiafgafg?定理 設(shè)有函數(shù) f： A→B g： B→C (1) 如果 f和 g都是內(nèi)射，則 g?f也是內(nèi)射 。g 2022/8/31 25 例 3 設(shè)有函數(shù) f, g, h,均是由實(shí)數(shù)集 R到 R的函數(shù) ,且 f (x)=x+3, g(x)=2x+1, h (x) ＝ x/2 , 求復(fù)合函數(shù) h ?(g?f) , (h?g)?f 。 2022/8/31 22 例 1 設(shè)集合 A={a1,a2,a3,a4}, B={b1,b2,b3,b4,b5}, C＝ {c1,c2,c3,c4} 函數(shù) f:A→B和 g:B→C， 分別定義為 f={(a1, b2), (a2, b2), (a3, b3), (a4, b4)}, g={(b1,c1), (b2,c2), (b3,c1), (b4,c3), (b5,c3)}, 因此 g?f ={(a1,c2),(a2,c2),(a3,c1),(a4, c3)} 復(fù)合函數(shù) g?f就是復(fù)合關(guān)系 f?g 。 2022/8/31 18 例 4 (a) 是內(nèi)射，但不是滿射； (b) 是滿射 , 但不是內(nèi)射； (c) 既不是內(nèi)射，也不是滿射； (d) 既是內(nèi)射 ， 又是滿射 ， 因此是雙射 。 函數(shù)的值域滿足 Rf ? f,常將 Rf記作 f(A)。 19世紀(jì)康托爾創(chuàng)建了集合論，函數(shù)概念進(jìn)入了集合論的范疇，使函數(shù)概念純粹地使用集合論語言進(jìn)行定義。 美國數(shù)學(xué)家維布倫的函數(shù)定義，這個(gè)定義是建立在重新定義變量、變域和常量的基礎(chǔ)上的。函數(shù)是用一個(gè)式子或多個(gè)式子表示，甚至是否通過式子表示都無關(guān)要緊。 1748年歐拉在 《 無窮小分析引論 》 中給出的函數(shù)定義是： “ 變量的函數(shù)是一個(gè)解析表達(dá)式，它是由這個(gè)變量和一些常量以任何方式組成的 ” 。這里的運(yùn)算指的是五種代數(shù)運(yùn)算以及求極限運(yùn)算，但這一定義未能引起人們的重視。在代數(shù)學(xué)的方程理論中，對(duì)不定方程的求解，使得人們對(duì)函數(shù)概念逐步由模糊趨向清晰。致使函數(shù)概念日趨精確化、科學(xué)化。 十八世紀(jì)中期的一些數(shù)學(xué)家發(fā)展了萊布尼茲將函數(shù)看作幾何量的觀點(diǎn)，而把曲線稱為函數(shù) (因?yàn)榻馕霰磉_(dá)式在幾何上表示為曲線 )。 這一定義徹底地拋棄了前面一些定義中解析式的束縛，強(qiáng)調(diào)和突出函數(shù)概念的本質(zhì)，即對(duì)應(yīng)思想，使之具有更加豐富的內(nèi)涵。這樣的變量與常量的定義，比原來的定義更趨一般化了，而且克服了以往變量定義的缺陷，變量 “ 變動(dòng) ” 改進(jìn)為變量在變域（集合）中代表一個(gè)元素。 2022/8/31 11 函數(shù) 一、 函數(shù)的概念 1. 函數(shù) 例 １ .設(shè) A＝ {1, 2, 3, 4},B={2, 3, 4, 5, 6},A到 B的關(guān)系 ?={(2, 2),(2,