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離散數(shù)學(xué)講解第三章(更新版)

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【正文】 例 3 集合 R1={x|x?R, 0x1}是不可數(shù)集。 定義 如果集合 A與集合 Nm={1,2,…,m}(m 為某一正整數(shù) )同基 ,稱A為 有限集 ,且 A=m. ?=0, ?也是有限集 ,不是有限集的集合稱為 無限集。 g ? f f ? g 2022/8/31 46 1.填空: 設(shè) A={a, b, c, d},B={1, 2, 3, 4}, f, g和 h均是由A到B的函數(shù) ,這些函數(shù)的值域分別為 f(A )={1,2,4}, g(A )={1,3}, h(A )=B, 這三個(gè)函數(shù)中 , 有逆函數(shù) 。 于是 f(a)=(f1)1(a),由 a的任意性知 f=(f1)1。 2111rr ?對(duì)任意 r∈ R{0} f1(r)= 。 g?f (3)= g?f (3)=11。 令 b=f(a),則 g (b)=c, 由 c的任意性 , 知 g是滿射。 于是有 g?f(a)=g(f(a))=g(b)=c , 2022/8/31 30 例 5 設(shè)有函數(shù) f: I→I和 g: I→I ( I是整數(shù)集) f(x)=x32 , g(x)=x+ 1, 試判斷 f, g, g?f是否內(nèi)射 ,滿射或雙射。f=f , f 6= f 2, f 7=f 3 , 故 f 4n=I A, f 4n+ 1=f , f 4n+ 2=f 2 , f 4n+ 3=f 3 … , 即對(duì)任意正整數(shù) n , 若 n=4m, 則 fn= IA ,若 n=4m+i ( i= 1, 2, 3) , 則 fn=fi 例 4 設(shè) A= {1, 2, 3 ,4}, 定義函數(shù) f: A→A ,為 f= {(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)} ,試求 fn 解 對(duì)任意正整數(shù) n, fn都是由 A到 A的函數(shù) , 類似的 f 8= IA, f 9= IA 2022/8/31 24 定理 設(shè)有函數(shù) f: A→B, g: B→C和 h: C→D,則有 h?(g?f)= (h?g)?f g定義為:對(duì)于任一 a∈ A,(g?f)(a)=g(f(a))。 ( 2) 若對(duì)任意 b∈ B, 必存在 a∈ A, 使 f(a)=b, 則稱 f是A到 B的 滿射 。 若 f是一由 A到 B的函數(shù),且 (a,b)?f,則常記作 f(a)=b。從而使函數(shù)概念擺脫了數(shù)的束縛,使得函數(shù)概念能廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)的各個(gè)分支及其它學(xué)科中。這樣就使函數(shù)成了一個(gè)非常廣泛的概念。 在這次函數(shù)概念的擴(kuò)張中,十九世紀(jì)最杰出的法國數(shù)學(xué)家柯西在 1821年所著的 《 解析教程 》 中,給出了如下函數(shù)定義: “ 在某些變量間存在著一定的關(guān)系,當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變量的值,其他變量的值也隨之確定,則將最初的變量稱為自變量,其他各個(gè)變量稱為函數(shù) ” 。 瑞士數(shù)學(xué)家約翰.伯努利于 1698年給出了函數(shù)新的定義:由變量 x和常量用任何方式構(gòu)成的量都可以叫做 x的函數(shù)。 英國數(shù)學(xué)家格雷果里在 1667年給出的函數(shù)的定義,被認(rèn)為是函數(shù)解析定義的開始。笛卡兒在1637年出版的 《 幾何學(xué) 》 中,第一次涉及到變量,他稱為 “ 未知和未定的量 ” ,同時(shí)也引入了函數(shù)的思想 。 2022/8/31 5 ? 第一次擴(kuò)張主要是解析擴(kuò)張,提出了 “ 解析的函數(shù)概念 ” 。形成了 “ 科學(xué)函數(shù)定義的雛型 ” 。 為使函數(shù)概念適用范圍更加廣泛,人們對(duì)函數(shù)定義作了如下補(bǔ)充:“ 函數(shù) y=f(x)的自變量,可以不必取 [a,b]中的一切值,而可以僅取其任一部分 ” ,換句話說就是 x的取值可以是任意數(shù)集,這個(gè)集合中可以有有限個(gè)數(shù)、也可以有無限多個(gè)數(shù),可以是連續(xù)的、也可以是離散的。 從 “ 數(shù)集 ” 到 “ 集 ” 僅一字之差,但含意卻大不相同。 2022/8/31 12 ? 例 2 對(duì)例 1中關(guān)系 ?的序偶進(jìn)行調(diào)整或修改,使 f= {(1,2),(2,6),(3,6),(4,4)} 或 g={(1,3),(2,2),(3,6),(4,5)} 則 f和 g都是由 A到 B的函數(shù)。 2022/8/31 17 二 、 幾種特殊的函數(shù) 定義 設(shè) f是一由 A到 B的函數(shù) , ( 1) 若當(dāng) ai≠aj 時(shí) , 有 f (ai)≠f (aj), (或者說當(dāng) f (ai)= f (aj) 時(shí) , 有 ai = aj)則稱 f是由 A 到 B的 內(nèi)射 。 ???????? 是奇數(shù)是偶數(shù)iiiifIIf212:11? ? 152: 22 ??? rrfRRf2121323 ),(: nnnnfNNf ??nnfNNf 2)(: 44 ??(1) (2) (3) (4) 滿 雙 滿 內(nèi) 2022/8/31 21 函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算 一、復(fù)合函數(shù) 定義 設(shè)有函數(shù) f: A →B和 g: B→C, f和 g的復(fù)合函數(shù)是一個(gè)由 A到 C的函數(shù),記為 g?f。f 則 f?IA= IB?f= f。f 3)(1)=f (f 3 (1))=f (4)=1, f 4 (2)=2, f 4 (3)=3, f 4 (4)=4 因此 f 4=IA, f 5= IA c b a 由 c的任意性得 g?f是滿射 。f 令 f(ai)=f(aj) =b,且令 g(b)=c, c jiaa?2022/8/31 32 (2) 因?yàn)?g?f 是滿射,所以對(duì)任一元素 c?C,必存在元素 a?A,使得 g?f(a)=c , 而 g?f(a)= g(f(a))=c , (3) 由結(jié)論 (1)和 (2)直接推得 。 因?yàn)?3 ≠3 ,但 f(3)=f(3)=7 (2) g?f不是內(nèi)射 g?f(x)= g (f (x))= g (x 22)=x 22+ 4= x 2+ 2 。 rfrr?? 111 )(r1當(dāng) r1 ≠ r2時(shí) , 所以 f是內(nèi)射。 任取 a?A,由 f的定義 ,必有 b?B,使 f(a)= b, a b 2022/8/31 43 定理 設(shè)函數(shù) f :A→B是雙射,則 (f1)1=f。 故有 g= f 1 定理 設(shè)有函數(shù) f: A→B, 若有函數(shù) g: B→A, 使得 g?f= IA,f?g= IB, 則有 g= f 1 。 ( 3 ) 可傳遞性:對(duì)于任意集合 A,B和 C,若 A~B,B~C,則 A~C。 因此N=N2=I=Q=?0 0 1 1 2 2 3 3… ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 2 3 4 5 6 7… 例 2 整數(shù)集I是可數(shù)集 。 ( ) (4)D={2n|n?R,0≤n≤1}是可數(shù)集。能否找到一個(gè)雙射 g:A?A,使出 g?IA ,但 g2=IA ? 解: 定義函數(shù) f={ (1,3), (2,4), (3,2), (4,1) } ,顯然 f?IA , 且 f是雙射
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