【正文】 舉出一個例子說明，若 f不是滿射，則 g不一定是內射。 2022/8/31 57 解：對任意 S1?2U,S2?2U, 若 S1?S2，則 (S1,S2)?(S2,S1)而 有 f(S1,S2)= f(S2,S1) 因此 f不是內射。 ???????????????1211)1(2 1210121)(xxxxxf證明 定義函數(shù) f： R1→R 2022/8/31 53 有窮集 (finite set): 不能與自身真子集建立雙射的集合 無窮集 (infinite set) : 可以與自身真子集建立雙射的集合 對任意的無限基數(shù) ,?0是最小的無限基數(shù) 不存在最大的基數(shù) 2022/8/31 54 ，在相應的括號內鍵入“Ｙ”或“Ｎ”。 注： A可數(shù)當且僅當 A可以寫成無窮序列的形式 {a1, a2, a3, …} 2022/8/31 50 f是一雙射，所以 I=N，即 I~N， I是可數(shù)集?；蚍Q A與 B等勢。 BA IffIff ???? ?? 11 , 證明 由復合函數(shù)定義 , f1?f 是一由 A到 A的函數(shù)。 設 b1, b2∈ B， b1≠b2 ， b1 ≠ b2 因為 f是滿射，所以在 A中必有元素 a1, a2 ，使得 f(a1)=b1, f (a2)=b2 a1 a2 且由函數(shù)定義中像的唯一性，有 a1≠a2 。 由上述定義 ， 若函數(shù) f使 f(a)=b， 則逆函數(shù) f1使 f–1(b)=a, 即若 (a,b)∈ f, 則 (b,a)∈ f1 。 2022/8/31 35 例如 f({1, 2, 3, 4, 5})={2, 3, 5} 若將 f (S)表示為 SP ,即 f (S)=SP 因此 f 2 (s)= 。 g?f是內射 ， g?f不是滿射 。 (2) 如果 f和 g都是滿射，則 g?f也是滿射 。 解 : 所求的復合函數(shù)都是由 R到 R的函數(shù) ))(()( xfgxfg ?? 721)3(2)3( ??????? xxxg))(())(( xfghxfgh ????? 272 72)72( ?????? xxxh212 12)12())(()()( ???????? xxxhxghxgh又27213)3( ???????? xxxgh由上可知 h?(g?f)=(h?g)?f ))()(()()( xfghxfgh ????2022/8/31 26 設有函數(shù) f1： A1→A2 , f2： A2→A3 ,… ， fn： An→A n＋ 1 ,則不加括號的表達式 fn ? fn1 ? … ? f1 唯一地表示一個由 A1到 An+1的函數(shù)。 要注意的是為了方便 ， 當將其看作復合函數(shù)時 ， 在其表示記號中顛倒 f和 g的位置而寫成 g?f。 2022/8/31 19 練習 １ .設 A＝ {1, 2, 3, 4, 5} , B={6, 7, 8, 9, 10}, 判斷下列由 A到 B的關系哪些是函數(shù) ,哪些不是函數(shù)。 即 f(A)=Rf ={b|b∈ B且存在 a∈ A使 f(a)=b} 例如 例 2中 f (2)=6, f (4)=4, g (1)=3, g (3)= 6 Df =Dg=Ａ f(A)=Rf={2, 4, 6}, g (A)=Rg={2, 3, 5, 6} 2022/8/31 14 ? f要是集合 A到 B的函數(shù) , 必須滿足以下條件 : 1. A中的每個元素都要有像 2. A中的一個元素不可以有兩個不同的像 3. A中不同的元素可以映射到相同的像 2022/8/31 15 ３ .函數(shù)的相等 定義 設 f和 g都是由集合 A到 B的函數(shù) ,如果對于所有的a?A ,均有 f(a)=g(a),則稱函數(shù) f和 g相等 ,記作 f=g 。 在這種情形下，函數(shù)、映射又歸結為一種更為廣泛的概念 —— 關系。 所謂變量，是代表某集合中任意一個 “ 元素 ” 的記號，由變量所表示的任一元素，稱為該變量的值。 2022/8/31 8 ? 函數(shù)概念的第四次擴張，可稱為 “ 科學函數(shù)定義 ” 進入精確化階段。 1734年歐拉還曾引入了函數(shù)符號 ，并區(qū)分了顯函數(shù)和隱函數(shù)、單值函數(shù)和多值函數(shù)、一元函數(shù)和多元函數(shù)。 一般公認最早給出函數(shù)定義的是德國數(shù)學家萊布尼茲，他在1673年的一篇手稿中，把任何一個隨著曲線上的點變動而變動的幾何量，如切線、法線、點的縱坐標都稱為函數(shù)；并且強調這條曲線是由一個方程式給出的。2022/8/31 1 第三章 函 數(shù) 函數(shù) 函數(shù)的復合運算 逆函數(shù) 集合的基數(shù) 2022/8/31 2 函數(shù)概念的產(chǎn)生與發(fā)展 ? 函數(shù)概念的起源 函數(shù)概念的萌芽，可以追溯到古代對圖形軌跡的研究，隨著社會的發(fā)展，人們開始逐漸發(fā)現(xiàn)，在所有已經(jīng)建立起來的數(shù)的運算中，某些量之間存在著一種規(guī)律：一個或幾個量的變化，會引起另一個量的變化，這種從數(shù)學本身的運算中反映出來的量與量之間的相互依賴關系，就是函數(shù)概念的萌芽。 2022/8/31 4 ? 函數(shù)概念的擴張 函數(shù)概念被提出后，由于微積分學的發(fā)展，函數(shù)概念也不斷進行擴張，日趨深化。 2022/8/31 6 ?函數(shù)概念的第二次擴張是從幾何方而的擴張，提出了“ 幾何的函數(shù)概念 ” 。 德國數(shù)學家狄利克雷于 1837年給出了函數(shù)定義： “ 若對 x(a≤x≤b) 的每一個值， y總有完全確定的值與之對應，不管建立起這種對應的法則的方式如何，都稱 y是 x的函數(shù) ” 。變量 x代表的 “ 元素 ” 的集合 ,為該變量的變域，而常量是上述集合中只包含一個 “ 元素 ” 情況下的特殊變量。 這就是現(xiàn)代的函數(shù)定義，它在形式上回避了 “ 對應 ” 術語，使用的全部是集合論的語言，一掃原來定義中關于 “ 對應 ” 的含義存在著的模糊性，而使函數(shù)念更為清晰、正確，應用范圍更加廣泛了 。 根據(jù)定義 ， 若在 A中有一個元素 a， 使得 f(a) ≠g (a) , 則 f≠g 。在相應的括號中鍵入“ Y”或“ N”。 2022/8/31 23 定理 設 f是一個由集合 A到 B的函數(shù)， IA和 IB分別是 A和 B上的恒等函數(shù)，則有 f?IA=IB?f＝ f。 若有函數(shù) f:A→A,則對任意正整數(shù) n， 唯一地表示一個由 A到 A的函數(shù)，并將其簡記為 . fff ??? ?nf2022/8/31 27 f (1)=2, f (2)=3, f (3)=4, f(4)=1 f 2 (1)=( f (3) 如果 f和 g都是雙射，由 g?f也是雙射。 （ 3） g?f(x)=g(f(x)=g(x3－ 2)=x3－ 2＋ 1=x3－ 1 2022/8/31 31 定理 設有函數(shù) f： A→B 和 g： B→C (1) 如果 g?f是內射 ， 則 f是內射； (2) 如果