圓錐曲線中的蝴蝶定理及其應(yīng)用(留存版)
【正文】 線為橢圓，AB為平行長軸的弦的特殊情形.定理2：在圓錐曲線中，過弦AB端點的切線交于點M，過M的直線l∥AB，過M任作兩條弦CD和EF，直線CE與DF交直線l于P，Q，則有.證明：如圖2，以M為原點，AB所在的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系.圖2設(shè)圓錐曲線的方程為(*)，設(shè)A（），B（），則切線MA的方程是，切線MB的方程是，得，所以.（下面與定理1的證明相同，略）特別的，當(dāng)弦AB垂直圓錐曲線的對稱軸時，點M在圓錐曲線的該對稱軸上.性質(zhì)1：過點M（m，0）做橢圓、雙曲線的弦CD，EF是其焦點軸，則直線CE、DF的連線交點G在直線l：，當(dāng)M為焦點時，l就是過焦點的直線.圖3證明：如圖3，過M做直線AB垂直焦點軸所在的直線，直線CE與DF交直線AB于P，Q，則根據(jù)定理1，定理2得.過G做GH垂直焦點軸所在直線于H，得，設(shè)M（m，0），H（n，0），焦點軸長為2a，則有，得.注:性質(zhì)1就是文[1]中的性質(zhì)1，文[2]中的推論2.若圓錐
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