【正文】 BCGFFM ?ABBCDEEM ? DG與 EF交與點(diǎn) M ∵ △ GFM∽ △ ABC ∴ ∴FM= 又 ∵ △ DEM∽ △ ABC ∴ ∴DE= M F G D E 1m A B C 另解 :過(guò)點(diǎn) G作 GH∥EF, 則 △ DHG∽ △ ABC,DE=DH+HE=DH+GF= 再如 :過(guò)點(diǎn) F作 FP∥DG, 則 △ PEF∽ △ ABC,DE=DP+PE=GF+PE= H P 三、位似變換 例題：如圖，在直角坐標(biāo)系中△ ABC 的 A、 B、 C三點(diǎn)坐 標(biāo)為 A(7， 1)、 B(8， 2)、 C(9， 0)． (1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出△ ABC的一個(gè)以點(diǎn) P (12， 0)為位似中 心，相似比為 3的位似圖形 (要求與△ ABC 同在 P點(diǎn)一側(cè) )。 ，面積比等于 相似比的平方。 二、相似三角形的判斷與性質(zhì) 例 1:如圖所示，在△ＡＢＣ中，Ｄ為ＢＣ邊的中點(diǎn)，延長(zhǎng)ＡＤ至Ｅ，延長(zhǎng)ＡＢ交ＣＥ于Ｐ．若ＡＤ＝２ＤＥ， 求證：ＡＰ＝３ＡＢ． P E D A B C 典型例題 提示：本題有多種證明方法，現(xiàn)提供幾種輔助線的作法供選用： ①過(guò)Ｂ作ＢＫ ∥ ＰＣ，交ＡＥ于Ｋ； K P E D A B C 證法１：過(guò)Ｂ作ＢＫ ∥ ＰＣ，交ＡＥ于Ｋ， ∴ ＡＥ ∶ ＡＫ＝ＡＰ ∶ ＡＢ． 由已知ＢＤ＝ＤＣ， ∴ ＤＫ＝ＤＥ． 又 ∵ ＡＤ＝２ＤＥ， ∴ ＡＥ ∶ ＡＫ＝３． ∴ ＡＰ ∶ ＡＢ＝３，即ＡＰ＝３ＡＢ． K P E D A B C 提示：本題有多種證明方法，現(xiàn)提供幾種輔助線的作法供選用： ②過(guò)Ｄ作ＤＧ ∥ ＰＣ交ＢＰ于Ｇ； G P E D A B C 證法２：過(guò)Ｄ作ＤＧ ∥ ＰＣ交ＡＰ于Ｇ． 在△ＢＰＣ中， ∵ ＢＤ＝ＤＣ， ∴ ＢＧ＝ＧＰ． 在△ＡＰＥ中， ∵ ＡＤ＝２ＤＥ， ∴ ＡＧ＝２ＧＰ． ∴ ＡＧ＝２ＢＧ． ∴ ＡＢ＝ＢＧ＝ＧＰ． ∴ ＡＰ＝３ＡＢ． G P E D A B C 提示：本題有多種證明方法，現(xiàn)提供幾種輔助線的作法供選用： ③設(shè)ＣＰ的中點(diǎn)為Ｍ，連接ＤＭ； M P E D A B C 提示：本題有多種證明方法，現(xiàn)提供幾種輔助線的作法供選用： ④延長(zhǎng)ＤＥ至Ｆ，使ＥＦ＝ＤＥ，連接ＣＦ． F P E D A B C 例 2:已知如圖所示，△ＡＢＣ中， ＣＥ ⊥ ＡＢ于Ｅ，ＢＦ ⊥ ＡＣ于Ｆ， 若Ｓ △ＡＢＣ ＝３６ｃｍ ２ ， Ｓ △ＡＥＦ ＝４ｃｍ ２ ， 求 EC∶AC 的值． E F A B C 【 解析 】 要求線段ＥＣ與ＡＣ的比值，由題目條件易證△ＡＥＣ ∽ △ＡＦＢ，得出比例式ＡＥ ∶ ＡＦ＝ＡＣ ∶ ＡＢ，可換個(gè)角度看圖形，則比例式ＡＥ ∶ ＡＦ＝ＡＣ ∶ ＡＢ又可看成是使△ＡＥＦ ∽ △ＡＣＢ成立的條件，從而尋求到轉(zhuǎn)機(jī)，后面的問(wèn)題就易于解決了． E F A B C 解： ∵ ＣＥ ⊥ ＡＢ于Ｅ， ＢＦ ⊥ ＡＣ于Ｆ， ∴∠ ＡＥＣ＝ ∠ ＡＦＢ． ∵∠ Ａ＝ ∠ Ａ， ∴ △ＡＥＣ ∽ △ＡＦＢ， ∴ ＡＢ ∶ ＡＦ＝ＡＣ ∶ ＡＥ， 又 ∵∠ Ａ是公共角， ∴ △ＡＥＦ ∽ △ＡＣＢ， ∴ ( ＡＥ ∶ ＡＣ )２ ＝Ｓ △ＡＥＦ ∶ Ｓ △ＡＣＢ ＝４ ∶ ３６． 設(shè)ＡＥ＝ｋ，則ＡＣ＝３ｋ， ∴ ＥＣ ＝２ √ ２ｋ， ∴ EC∶AC= ２ √ ２ ∶ 3 E F A B C 當(dāng)證兩個(gè)三角形相似時(shí)，若兩個(gè)三角形有公共角，一般運(yùn)用 “ 兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角也相等，兩三角形相似 ”證明． 一般證明線段成比例的問(wèn)題或者計(jì)算問(wèn)題．在證明時(shí)我們一般要遵循以下三步： （１） “ 定 ” ：先確定比例式中的四條線段所在的兩個(gè)可能相似的三角形． （２） “ 找 ” ：找出這兩個(gè)三角形相似所需的條件． （３） “ 證 ” ：根據(jù)以上分析，寫(xiě)出證明過(guò)程．如果這兩個(gè)三角形不相似，只能采用其他方法，如利用找中間比代替或引平行線等． 例 3:如圖所示，點(diǎn)Ｅ在正方形ＡＢＣＤ的邊ＣＤ上運(yùn)動(dòng)，ＡＣ與ＢＥ交于點(diǎn)Ｆ． （１）如圖①，當(dāng)點(diǎn)Ｅ運(yùn)動(dòng)到ＤＣ的中點(diǎn)